一道高考数学题的推广

下面是 2 0 0 2年的一道高考题 :设Ａ、Ｂ是双曲线ｘ2 -ｙ22 =1上的两点 ,点Ｎ( 1 ,2 )是线段ＡＢ的中点 .( 1 )求直线ＡＢ的方程 ;( 2 )如果线段ＡＢ的垂直平分线与双曲线交于Ｃ、Ｄ两点 ,那么Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ 4点是否共圆 ?第 ( 1 )小题 .应用作差法和中点坐标公式易求得直线ＡＢ的斜率ｋ=1 ,方程为ｘ -ｙ+1 =0 .第 ( 2 )小题 ,解法很多 ,为简化解题过程 ,可绕过求交点 ,直接建立圆的方程 ,证明 4点在这个圆上 .∵ＣＤ ⊥ＡＢ ,且过点Ｎ( 1 ,2 ) ,∴ＣＤ的方程为ｘ +ｙ-3 =0把直线ＡＢ、ＣＤ看成二次曲线 (ｘ-ｙ+1 ) (ｘ +ｙ-3 ) =0 ,这样…     

求直线对称点的一种新方法

在平面解析几何中 ,关于平行直线有如下结论 :设有两条平行直线ｌ1:Ａｘ Ｂｙ Ｃ1=0和ｌ2 :Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 =0 ,则到这两条直线距离相等的直线方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ1 Ｃ22 =0 .证明　设Ｐ(ｘ ,ｙ)是所求直线上任一点 ,由题设以及点到直线的距离公式 ,有｜Ａｘ Ｂｙ Ｃ1｜Ａ2 Ｂ2 =｜Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 ｜Ａ2 Ｂ2 .　　因为ｌ1与ｌ2 在点Ｐ的两侧 ,所以有Ａｘ Ｂｙ Ｃ1=- (Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 ) ,即　Ａｘ Ｂｙ Ｃ1 Ｃ22 =0为所求的直线方程 .运用该结论可以得到一种求直线对称点的新方法 .例　已知Ａ(- 2 ,4 ) ,求它关于直线ｌ:2ｘ- ｙ -1=0的对…     

关于抛物线焦点弦的若干结论

在抛物线与直线的关系中 ,过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要 ,这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质 ,这些性质常常是高考命题的切入点 .本文对此作一些探讨 .不妨设抛物线方程为 ｙ2 =2 ｐｘ( ｐ>0 ) ,则焦点Ｆ ｐ2 ,0 ,准线ｌ的方程 :ｘ=-ｐ2 .过焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ(ｘ1 ,ｙ1 )、Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 )两点 ,又作ＡＡ1 ⊥ｌ,ＢＢ1 ⊥ｌ,垂足分别为Ａ1 、Ｂ1 .ＡＢ⊥ｘ轴时 ,ｘ1 =ｘ2 =ｐ2 ,Ａ ｐ2 ,ｐ ,Ｂ ｐ2 ,-ｐ ,此时弦ＡＢ叫抛物线的通径 ,它的长｜ＡＢ｜ =2 ｐ .ＡＢ与ｘ轴不垂直也不平行时 ,设弦ＡＢ所在直线的斜率为…     

直线方程教与学中须重视的几个问题

直线方程由于其形式简单且容易理解和接受往往不被人所重视 ,然而在实际应用过程中 ,稍不留神 ,就会产生错误 .本文想通过对几个典型案例的分析 ,提请大家在教与学中须重视以下几个问题 :1　要重视概念的教与学 ,强化分类、比较的数学思想方法例 1　 (教科书 4 4页习题 7.2第 11题 )直线方程Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ =0的系数Ａ、Ｂ、Ｃ满足什么条件时 ,这条直线有以下性质 ?(1)与两坐标轴都相交 ;(2 )只与ｘ轴相交 ;(3)只与 ｙ轴相交 ;(4)是ｘ轴所在的直线 ;(5 )是 ｙ轴所在的直线 .解　 (1)与两坐标轴都相交有两种可能 :①不过原点 ,此时方程可化为截…     

例谈向量在求曲线方程时的应用

在新编高中数学教材中增加了向量一章后 ,向量的坐标可用其起点、终点的坐标来表示 ,使向量与平面解析几何有了必然的联系 ,特别是两向量垂直与平行的充要条件 ,给求曲线的轨迹方程带来了极大的方便 ,使解题过程由复杂而变为简单 ,下面举几例来说明向量在求曲线方程时的简单应用 :例 1　过定点Ｍ ( 2 ,1)引动直线ｌ,ｌ与ｘ轴、ｙ轴分别交于Ａ、Ｂ两点 ,求线段ＡＢ中点Ｐ的轨迹方程 .分析　以往解析几何中 ,设过点 ( 2 ,1)的直线的斜率为ｋ ,由点斜式得直线ｌ的方程为 :ｙ- 1=ｋ(ｘ - 2 ) ,然后分别令ｘ=0 ,ｙ=0 ,求出Ａ、Ｂ两点的坐标 ,再设…     

谈用直线方程解题的完整性

解析几何中,关于直线的点斜式、斜截式、截距式以及直线系方程中对斜率、截距、及直线系方程中参数人均作了规定：一直线与ｘ轴的正方向的夹角的正切值,叫做该直线的斜率,垂直于ｘ轴的直线的斜率不存在;一直线与ｘ轴交点为（ａ,０）,与ｙ轴的交点为（０,ｂ）时,称ａ与ｂ为直线在ｘ轴和ｙ轴上的截距;直线系方程中参数入取任何实数．笔者认为用直线（系）方程解题时应注意完整性：用点斜式与斜截式方程解题时,既要考虑斜率存在的情况,也要考虑斜率不存在的情况;用截距式方程解题不应忽略截距为零的情况;用直线系方程Ａ１ｘ＋Ｂ１…     

圆锥曲线问题中参数范围的求解

一、直接由题设得不等关系 ,求得结果若问题中给出了某相关参数的取值范围 ,而所求参数依赖于已知参数 ,则可先建立起它们之间的关系 ,再利用已知参数的范围求得未知参数的范围 ,从而达到解决问题的目的 .例 1　已知双曲线Ｃ :ｘ2 + 1-ｔ2ｔ2 ｙ2 =1(ｔ>1)的右支分别与ｘ轴及直线ｘ + ｙ =0相交于Ａ、Ｂ两点 .以Ａ为焦点 ,对称轴是ｘ轴且开口向左的抛物线经过点Ｂ ,设抛物线的顶点为Ｍ .求当双曲线的一条渐近线的斜率在 415 ,+∞ 上变化时 ,直线ＢＭ的斜率的变化范围 .解 :由ｙ=-ｘ ,ｘ2 + 1-ｔ2ｔ2 ｙ2 =1,得Ｂ(ｔ,-ｔ) .设Ｍ (ｍ ,0 ) ,由…     

巧解直线与圆锥曲线的相切问题

我们知道圆ｘ2 + ｙ2 =Ｒ2 在其上任一点 (ｘ0 ,ｙ0 )处的切线方程为ｘ0 ｘ+ ｙ0 ｙ=Ｒ2 如果对于直线Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ =0 (Ｃ ≠ 0 )作如下变形 :Ｒ2 Ａ-ＣＲ2 ｘ +Ｒ2 Ｂ-ＣＲ2 ｙ =1.若点Ｐ(- Ｒ2 ＡＣ ,- Ｒ2 ＢＣ )满足圆的方程 ,则直线与圆相切于点Ｐ .椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1在其上任一点 (ｘ0 ,ｙ0 )处的切线方程为 ｘ0 ｘａ2 + ｙ0 ｙｂ2 =1,对于直线Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ =0 (Ｃ≠ 0 )作如下变形 :　　　　ａ2 Ａ-Ｃａ2 ｘ+ｂ2 Ｂ Ｃｂ2 ｙ=1.若点Ｐ(- ａ2 ＡＣ , ｂ2 ＢＣ )满足椭圆方程 ,则直线与椭圆相切于点点Ｐ .双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2…     

数学奥林匹克高中训练题(60)

第　一　试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1.方程 6× (5ａ2 +ｂ2 ) =5ｃ2 满足ｃ≤2 0的正整数解 (ａ ,ｂ,ｃ)的个数是 (　　 ) .(Ａ) 1　　 (Ｂ) 3　　 (Ｃ) 4　　 (Ｄ) 52 .函数ｙ =ｘ2ｘ - 1(ｘ∈Ｒ ,ｘ≠ 1)的递增区间是(　　 ) .(Ａ)ｘ≥2 (Ｂ)ｘ≤0或ｘ≥2(Ｃ)ｘ≤0 (Ｄ)ｘ≤1- 2 或ｘ≥ 23.过定点Ｐ(2 ,1)作直线ｌ分别交ｘ轴正向和ｙ轴正向于Ａ、Ｂ ,使△ＡＯＢ(Ｏ为原点 )的面积最小 ,则ｌ的方程为 (　　 ) .(Ａ)ｘ +ｙ - 3=0 (Ｂ)ｘ +3ｙ - 5 =0(Ｃ) 2ｘ +ｙ - 5 =0 (Ｄ)ｘ +2ｙ - 4=04 .若方程ｃｏｓ 2ｘ +3ｓｉｎ 2ｘ =ａ +…     

2001年广东省高考数学第21题的拓广

20 0 1年广东省高考数学第 2 1题 :已知椭圆 :ｘ22 ｙ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 .此题对一般性结论仍成立 ,还可以拓广到其它圆锥曲线 .拓广 1　已知椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 (ａ >ｂ>0 ) .　　　　　图 1证明　如图 1,记直线ＡＣ与ｘ轴的交点为Ｎ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足 .…     

浅谈函数综合题

函数是初中数学的重要内容 ,也是中考命题的热点 ,特别是两个函数的综合问题更显重要 .现结合中考试题进行分析 ,供参考 .图 1例 1　如图 1,双曲线ｙ =ｋｘ与直线ｙ =-ｘ -ｋ相交于Ａ ,过Ａ作ｘ轴的垂线ＡＢ (Ｂ是垂足 ) .如果Ｓ△ＡＢＯ=2 ,求 :( 1)两个函数的解析式 ;( 2 )Ｓ△ＡＢＣ.( 1998年甘肃省中考题 )解　 ( 1)由Ｓ△ＡＢＯ=2知 ,|ｋ|=|ｘｙ|=4.又ｋ <0 ,∴　ｋ =-4 .∴　双曲线的解析式为ｙ =-4ｘ,直线的解析式为ｙ =-ｘ +4.( 2 )由方程组 ｙ =-4ｘ,ｙ =-ｘ +4,得Ａ( 2 -2 2 ,2 +2 2 ) .又Ｃ( 4 ,0 ) ,Ｂ( 2 -2 2 ,0 ) ,∴　ＢＣ …     

由“锥体体积公式”想到的——抛物线围成的曲边三角形面积公式的推导

锥体的体积公式为Ｖ =13 Ｓｈ(其中Ｓ是锥体的底面积 ,ｈ为锥体的高 ) .由此可类比地得出抛物线ｙ=ａｘ2 (ａ >0 )与ｘ轴及直线ｘ =ｍ(ｍ >0 )所围成的曲边三角形的面积公式为Ｓ =13 Ｌｍ(其中Ｌ为ｘ=ｍ时的函数值 ,即Ｌ =ａｍ2 ) .下面给出其初等证明 .图 1证明　如图 1 ,设抛物线ｙ=ａｘ2 的焦点为Ｆ(0 ,ａ4) ,准线方程为 ｙ =- ａ4 ,直线ｘ =ｍ与抛物线ｙ=ａｘ2 交于点Ｃ ,与准线交于点Ｂ ,与ｘ轴交于点Ｄ ,准线与 ｙ轴交于点Ａ .则梯形ＡＢＣＦ的面积为Ｓ梯形ＡＢＣＦ =12 ｍ(ａ2 ｌ ａ4)=12 ｍ(34 ａ ｌ) .矩形ＡＢＤＯ(Ｏ为坐标原点 …     

排除干扰、抓住主体、分清层次、寻找突破口—解高考题的有效途径

题目　 ( 1999年高考压轴题 )如图 1,给出定点Ａ(ａ ,0 ) (ａ >0 )和直线ｌ:ｘ =- 1,Ｂ是直线ｌ上的动点 ,∠ＢＯＡ的角平分线交ＡＢ于点Ｃ .求点Ｃ的轨迹方程 ,并讨论方程表示的曲线类型与ａ值的关系 .这是一道“直线交轨”型的轨迹问题 .点Ｃ在∠ＢＯＡ的平分线上且点Ｃ在直线ＡＢ上的两个特征很明显 ,由此而引发的条件较多 ,自然干扰因素也较多 ,给选择最佳解题方法带来了困难 ,增加了试题的难度 .以下就考生答题失利的原因 ,阐述解题时“排除干扰 ,抓住主体 ,分清层次 ,寻找突破口”的观点 .1　切入点选择不当 ,突破口难寻有些考生从点…     

点与直线关系的一个应用

已知点Ｐ(ｘ1,ｙ1)不在直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 (Ｂ≠ 0 )上 ,若Ｐ在ｌ的上方 ,则Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ)>0 ;若Ｐ在ｌ的下方 ,则Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ) <0 .1　证明　设Ｐ0 (ｘ1,ｙ0 )为ｌ上的一点 ,则Ａｘ1 Ｂｙ0 Ｃ=0 ,所以Ｂｙ0 =- (Ａｘ1 Ｃ) ,有Ｂ2 ｙ0 =-Ｂ(Ａｘ1 Ｃ) .　　若Ｐ在ｌ的上方 ,则ｙ1>ｙ0 ,∴Ｂ2 ｙ1>Ｂ2 ｙ0 ,即　　　Ｂ2 ｙ1>-Ｂ(Ａｘ1 Ｃ) ,得Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ) >0 ;　　若Ｐ在ｌ的下方 ,则 ｙ1<ｙ0 ,同上可得Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ) <0 .2　应用例 1　已知直线ｌ :ａｘ ｙ 2 =0 ,点 Ｐ( - 2 ,1) ,Ｑ( 3,2 ) ,且Ｐ、Ｑ位于直…     

“211”杯圆锥曲线知识竞赛

参赛说明 :参赛者请独立完成 ,依题序将答案写上后寄本刊编辑部 .在信封正面左下角注明“4月号数学竞赛 (高 )” ,并写清所在学校、年级、班别、邮编 (有辅导老师的请写明 ) .7月号刊登获奖名单 .一、选择题 :　　 1.双曲线的渐近线方程是 2ｘ -ｙ - 10 =0和 2ｘ + ｙ + 2 =0 ,则双曲线的离心率是 (　　 ) .Ａ .3或 62 　　Ｂ .5或 53　　Ｃ .5或 52 　　Ｄ .5或 542 .设ｘ2 + 3ｙ2 - 4ｘ + 6 ｙ + 3≤ 0 ,则 2 3ｙ-ｘ的取值范围是 (　　 ) .Ａ . 12 7,12 3 　　Ｂ . 12 9,12 　　Ｃ . 12 5,12 　　Ｄ . 12 7,13.经过圆ｘ2 + ｙ2 =1( ｙ≠ 0…     

高二数学(上)期末测试

一、选择题 :(本大题共 1 2小题 ,每小题 5分 ,共 60分 )1 .过点 ( 3 ,-4)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 (　　 )　　 (Ａ)ｘ+ｙ +1 =0　　 (Ｂ) 4ｘ -3 ｙ=0　　 (Ｃ) 4ｘ+3 ｙ =0　　 (Ｄ) 4ｘ+3 ｙ=0或ｘ +ｙ+1 =02 .已知直线 2ｘ +ｙ-2 =0和ｍｘ -ｙ+1 =0的夹角为 π4,那么ｍ的值为 (　　 )　　 (Ａ) -13 或 -3　 (Ｂ) 13 或 3　　 (Ｃ) -13 或 3 (Ｄ) 13 或 -33 .点Ｐ1 (ａ ,ｂ)关于直线ｘ+ｙ=0的对称点是Ｐ2 ,Ｐ2 关于原点的对称点是Ｐ3,则｜Ｐ1 Ｐ3｜=(　　 )　　 (Ａ) 2 (ａ-ｂ) 2　　 (Ｂ) 2 ｜ａ +ｂ｜　　 (Ｃ) 2 ｜ａ -ｂ…     

深化例习题课教学 优化学生思维品质

未来需要创造型人才 ,培养学生的创新意识和创新能力是当今数学的一个重要方向 .随着数学教学改革的不断深入 ,学案导学在教学过程中已发挥明显的作用 ,我们在撰写例习题课学案时 ,既注重教材这个丰富资源 ,又结合教学实际 ,借助于课本例习题 ,在培养学生创造思维和探索性思维方面作了一些有益的尝试 .下面是使用学案时对例题教学及深化过程的简录 .例题　斜率为 1的直线经过抛物线 ｙ2 =4ｘ的焦点 ,与抛物线相交于两点Ａ、Ｂ ,求线段ＡＢ的长 .解题思路　设直线ＡＢ的方程为ｙ =ｘ- 1,代入抛物线方程 ｙ2 =4ｘ ,得ｘ2 - 6ｘ 1=0 .( )解得…     

点线距公式的简捷证明

设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )为任一点 ,直线ｌ的方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 (Ａ2 Ｂ2 ≠ 0 ) ,我们来求Ｐ到ｌ的距离ｄ .设Ｑ(ｘ1,ｙ1)为Ｐ在ｌ上的射影 ,当ＡＢ≠ 0 ,且Ｐ不在ｌ上时 ,有ｄ =|ＰＱ|=(ｘ1-ｘ0 ) 2 (ｙ1-ｙ0 ) 2=(ｘ1-ｘ0 ) 2 [1 (ｙ1-ｙ0ｘ1-ｘ0) 2 ]=(ｘ1-ｘ0 ) 2 (1 Ｂ2     

解题分析“从尝试到严谨

罗增儒教授倡导的以解题分析为主旨的数学解题学是一个很有价值的数学教育学课题 ,被认为是具有中国特色的问题解决模式 .他的专著《数学解题学引论》和在《中学数学教学参考》上刊载的一组“解题分析”文章正在不断完善这个理论 .本文意在运用解题分析的观点来探求一道对数选择题的解法 .题目　已知ｘ1 是方程ｘ ｌｇｘ =3的根 ,ｘ2 是方程ｘ 10 ｘ=3的根 ,则ｘ1 ｘ2 等于(　　 ) .Ａ .6　　Ｂ .3　　Ｃ .2　　Ｄ .1分析 :两个方程都是超越方程 ,课本中对此类问题只有图象法求交点个数或近似根两种 ,用在这里不太合适 .例如将第二个方…     

求直线方程的几种思考途径

求不同条件下的直线方程是高考必涉及的考查内容 .要求方程 ,一要灵活选用方程形式 ,二要熟悉求直线方程的常用方法 .以下举例说明直线方程的几种求解策略 ,以期对求直线方程有较全面的把握 .1 .利用轨迹思想直线是满足一定条件的简单轨迹 ,因此按求轨迹方程的方法可较简单地获得某些直线方程 .例 1　已知△ＡＢＣ的顶点Ａ(3,4) ,Ｂ(6 ,0 ) ,Ｃ(-5,-2 ) ,求∠Ａ的平分线ＡＴ所在的直线方程 .分析 :按常规思路 ,求直线ＡＴ方程 ,必须求出ＡＴ的斜率或Ｔ点坐标 ,但这样较繁 .ＡＴ为∠Ａ的平分线 ,联想角平分线定义 ,运用轨迹思想 ,设直线ＡＴ…