高考试题中集合问题的五种类型

集合是高中数学中最基本的概念 ,也是历年高考的必考点 .本文结合近年高考集合题 ,对其常见类型加以分类解析 ,供参考 .一、基本型这类题型主要考查集合的基本概念和基本运算 ,常用解法有定义法、列举法、性质法、韦恩图法及语言转换法等 .例 1　 (2 0 0 0年上海高考题 )若集合Ｓ ={ｙ｜ｙ=3 ｘ,ｘ∈Ｒ},Ｔ ={ｙ｜ｙ=ｘ2 -1,ｘ∈Ｒ},则Ｓ∩Ｔ是 (　　 )(Ａ)Ｓ　 (Ｂ)Ｔ　 (Ｃ) 　 (Ｄ)有限集解　集合Ｓ、Ｔ的代表元素是 ｙ ,Ｓ、Ｔ分别是两个函数的值域 ,也就是Ｓ ={ｙ｜ｙ >0 },Ｔ ={ｙ｜ｙ≥ -1},显然应选 (Ａ) .例 2　 (2 0 0 0年春季高…     

椭圆中点弦的一个性质及其应用

1999年第 5期《数学教学研究》刊登了袁良佐老师“双曲线中点弦性质的应用”和王景斌老师“抛物线弦的中点问题”两篇文章 ,读后颇有启发 .本文给出椭圆中点弦的一个性质 ,并举例说明它的应用 .性质　设Ａ、Ｂ是椭圆ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >0 ,ｂ >0 )上两点 ,Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是弦ＡＢ的中点 ,则有ｋＡＢ·ｋＯＰ=- ｂ2ａ2 .证明　设Ａ(ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 )是椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2= 1上两点 ,则有ｘ21 ａ2 ｙ21 ｂ2 =1,　 ｘ22ａ2 ｙ22ｂ2 =1,两式相减 ,得　 ｘ21 -ｘ22ａ2 ｙ21 - ｙ22ｂ2 =0 ,即　(ｘ1 ｘ2 ) (ｘ1 -ｘ2 )ａ2 …     

圆锥曲线的中点弦方程及应用

性质 1　圆 (ｘ -ｈ) 2 (ｙ-ｋ) 2 =ｒ2 中 ,以Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) (ｘ0 ≠ｈ或ｙ0 ≠ｋ)为中点弦的所在的直线方程为(ｘ0 -ｈ) (ｘ-ｘ0 ) (ｙ0 -ｋ) (ｙ- ｙ0 ) =0 .当ｈ =ｋ=0时方程变为ｘ0 (ｘ -ｘ0 ) ｙ0 (ｙ - ｙ0 ) =0 .证明　设弦所在直线与圆交于Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,所以有(ｘ1-ｈ) 2 (ｙ1-ｋ) 2 =ｒ2 ,(1)(ｘ2 -ｈ) 2 (ｙ2 -ｋ) 2 =ｒ2 . (2 )(2 ) - (1)得　　 (ｘ2 -ｘ1) (ｘ1 ｘ2 - 2ｈ)　　 =- (ｙ2 - ｙ1) (ｙ1 ｙ2 - 2ｋ) .当ｘ2 ≠ｘ1时 ,可变为ｘ1 ｘ2 - 2ｈｙ1 ｙ2 - 2ｋ =- ｙ2 - ｙ1ｘ2 -ｘ1.又Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0…     

关于抛物线的两条性质

性质 1　如图 1,过点Ｑ( -ａ ,0 ) (ａ >0 )的直线ｌ与抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ( ｐ >0 )相交于Ｍ、Ｎ两点 ,Ｈ为 (ａ ,0 ) ,则∠ＭＨＱ =∠ＮＨｘ .证明　设Ｍ (ｘ1,ｙ1) ,Ｎ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,直线ｌ:ｙ=ｋ(ｘ ａ)　 (ｋ≠ 0 ) ,与抛物线方程 ｙ2 =2 ｐｘ联立 ,消去 ｙ得ｋ2 ｘ2 ( 2ａｋ2 - 2 ｐ)ｘ ｋ2 ａ2 =0 .　　由韦达定理知　ｘ1ｘ2 =ａ2 .又Ｍ、Ｎ在抛物线上 ,且在ｘ轴的同侧 ,∴ｙ1ｙ2 =4 ｐ2 ｘ1ｘ2 =2ａｐ ,ｘ1=ｙ212 ｐ,ｘ2 =ｙ222 ｐ.由ｘ1≠ｘ2 ,知ｘ1≠ａ ,ｘ2 ≠ａ ,故直线ＭＨ、ＮＨ的斜率存在 .又ｋＨＭ ｋＮＨ =ｙ1ｘ1-ａ ｙ2…     

直线方程x0x／a^2＋y0y／b^2=1的几何意义

文 [1]给出了直线方程ｘ0 ｘ ｙ0 ｙ =ｒ2 的三种几何意义 .笔者认为直线方程 ｘ0 ｘａ2 ｙ0 ｙｂ2 =1也有类似的几何意义 .先求经过椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >0 ,ｂ >0 )上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的切线方程 .设切线的斜率为ｋ ,则其方程为ｙ - ｙ0 =ｋ(ｘ -ｘ0 )或ｙ=ｋ(ｘ -ｘ0 ) ｙ0 .将ｙ的表达式代入椭圆方程 ,得ｘ2ａ2 [ｋ(ｘ -ｘ0 ) ｙ0 ] 2ｂ2 =1.化简并整理为ｘ的二次方程就是(ｂ2 ａ2 ｋ2 )ｘ2 - 2ａ2 ｋ(ｋｘ0 - ｙ0 )ｘ ａ2 (ｋｘ0 -ｙ0 ) 2 -ａ2 ｂ2 =0 .　　由于点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是切点 ,所以ｘ0 是这个方程的二重实…     

椭圆的光学性质

本文从一个定理的证明出发 ,利用数学知识探讨椭圆的光学性质 .定理 :圆锥曲线Ｅ :ｍｘ2 +ｎｙ2 =1(ｍ >0 ,ｎ >0或ｍｎ <0 ) ,不平行于对称轴的任一弦ＡＢ与过ＡＢ中点Ｍ的直线ＯＭ的斜率之积为常数 - ｍｎ .证明 :设Ａ(ｘ1 ,ｙ1 )、Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 )、Ｍ (ｘ0 ,ｙ0 ) .由 ｍｘ21 +ｎｙ21 =1,ｍｘ22 +ｎｙ22 =1,两式相减 ,得ｍ(ｘ1 +ｘ2 ) (ｘ1 -ｘ2 ) +ｎ(ｙ1 +ｙ2 ) (ｙ1 -ｙ2 ) =0 .因ｘ1 +ｘ2 =2ｘ0 ,ｙ1 + ｙ2 =2 ｙ0 ,故ｍｘ0 (ｘ1 -ｘ2 ) +ｎｙ0 ( ｙ1 - ｙ2 ) =0 .又∵　ｘ1 -ｘ2 ≠ 0 ,ｘ0 ≠ 0 ,∴　 ｙ1 - ｙ2ｘ1 -ｘ2·ｙ0ｘ0=- …     

错在哪里

题　已知ｘ ｙ =1 ,ｘｙ <0 ,(ｘ ｙ) 9按ｘ的降幂排列的展开式中 ,第二项不大于第三项 ,求ｘ的范围。解　由Ｔ2 ≤Ｔ3 得Ｃ19ｘ8ｙ≤Ｃ29ｘ7ｙ2 ,即ｘ8ｙ≤ 4ｘ7ｙ2 ①∵ｘｙ <0 ,∴ｘ7ｙ<0 ,①式两边同除以ｘ7ｙ ,得ｘ≥ 4ｙ。又ｘ ｙ =1 ,∴ｘ≥ 4(1 -ｘ) ,解得ｘ≥ 4/5     

一望而解2002年部分高考题

20 0 2年高考数学试题的解法灵活多样 ,丰富多彩 .其中许多试题不需动笔就能一望而解 ,答案一见得知 .1 活用性质例 1　函数ｙ =2ｘ1 ｘ,ｘ∈ (-1 , ∞ )图像与其反函数图像的交点坐标为 .解　利用性质“函数ｙ=ｆ(ｘ)的图像和它的反函数ｙ=ｆ-1(ｘ)的图像关于直线ｙ=ｘ对称” ,易知两函数图像若有交点 ,则交点必在对称轴ｙ=ｘ上 ,那么由ｙ=2ｘ1 ｘ=ｘ(ｘ>-1 )即得ｘ=0或ｘ =1 ,从而ｙ=0或ｙ=1 ,故交点坐标为 (0 ,0 ) ,(1 ,1 ) .2 逆向思考例 2　函数ｙ =ａｘ 在 [0 ,1 ]上的最大值与最小值的和为 3 ,则ａ =.简析 :反过来考虑 ,易知 ,函…     

妙解二元二次不定方程

对于二元二次不定方程 ,若能整理成某个字母的一元二次方程 ,应用根的判别式求解 ,有时显得十分简捷 ,下面列举几例 ,供参考 .例 1　求不定方程ｘ ｙ=ｘ2 -ｘｙ ｙ2 的整数解 .解　将方程整理成关于ｘ的一元二次方程　　ｘ2 - (ｙ 1)ｘ (ｙ2 - ｙ) =0 ,判别式Δ =(ｙ 1) 2 - 4(ｙ2 - ｙ)≥ 0 ,即 (ｙ - 1) 2 ≤ 43.因 ｙ为整数 ,∴ｙ =0 ,1,2 .把 ｙ=0代入原方程中 ,得ｘ =0或ｘ =1;把 ｙ =1代入原方程中 ,得ｘ =0或ｘ =2 ;把 ｙ=2代入原方程中 ,得ｘ =1或ｘ =2 ;∴原不定方程的整数解为ｘ =0 ,ｙ=0 ;　 ｘ =1,ｙ=0 ;　 ｘ =0 ,ｙ=1;…     

浅析天津市2002年中考数学综合题

题目　已知二次函数ｙ1=ｘ2 - 2ｘ- 3.( 1 )结合函数ｙ1的图像 ,确定当ｘ取什么值时 ,ｙ1>0 ,ｙ1=0 ,ｙ1<0 ;( 2 )根据 ( 1 )的结论 ,确定函数ｙ2 =12 ( |ｙ1| -ｙ1)关于ｘ的解析式 ;( 3)若一次函数ｙ =ｋｘ +ｂ(ｋ≠ 0 )的图像与函数ｙ2 的图像交于三个不同的点 ,试确定实数ｋ与ｂ应满足的条件 .该题是天津市 2 0 0 2年中考题 .图 1由图 1及绝对值意义易得 :( 1 )当ｘ <- 1或ｘ>3时 ,ｙ1>0 ;当ｘ =- 1或ｘ =3时 ,ｙ1=0 ;当 - 1 <ｘ <3时 ,ｙ1<0 .( 2 )ｙ2 =0 (ｘ≤ - 1或ｘ≥ 3) ,-ｘ2 + 2ｘ + 3(- 1<ｘ <3) .而问题 ( 3)有较强的综合性 ,…     

要正确地重视数形结合

贵刊 2 0 0 0年第 4期文 [1 ]提出在“集合”的教学中渗透数形结合思想是很对的 .但该文例 4的分析有误 !原例 4　设Ｉ ={ (ｘ ,ｙ) |ｘ∈Ｒ} ,Ａ ={ (ｘ ,ｙ) |ｙ-3ｘ -2 =1 } ,Ｂ ={ (ｘ ,ｙ) |ｙ =ｘ 1 } .求Ａ∩Ｂ .原分析 :Ａ ={ (ｘ ,ｙ) |ｙ =ｘ 1 ,ｘ≠ 2 } ,它表示直线 ｙ =ｘ 1上去掉点 ( 2 ,3)的全体 ,从而Ａ={ ( 2 ,3) } .而集合Ｂ表示直线 ｙ =ｘ 1上的全体点的集合 ,如图 2所示 (原文 ) ,得Ａ∩Ｂ ={ ( 2 ,3) } .问题 :“从而Ａ ={ ( 2 ,3) }”有误 !正解 :∵Ａ ={ (ｘ ,ｙ) |ｙ -3ｘ -2 =1 } ={ (ｘ ,ｙ) |ｙ =ｘ 1 ,ｘ…     

对《曲线的运动与变换》一文的一点修正

《中学数学杂志》2 0 0 1年第 6期《曲线的运动与变换》一文中有一个结论是 :“函数ｙ =ｆ(ｘ)定义在Ｒ上 ,则函数 ｙ =ｆ(ωｘ Ａ)与ｙ=ｆ(Ｂ-ωｘ)的图象关于直线ｘ =Ｂ-Ａ2 对称” .我认为 ,函数 ｙ= ｆ(ωｘ Ａ)与 ｙ =ｆ(Ｂ -ωｘ)的图象关于直线ｘ= Ｂ-Ａ2ω 对称 .事实上 ,若点Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )是函数 ｙ =ｆ(ωｘ Ａ)图象上任意一点 ,则 ｙ0 =ｆ(ωｘ0 Ａ) .设点Ｍ关于直线ｘ =Ｂ-Ａ2ω 的对称点为Ｎ(ｘ′,ｙ′) ,则有ｘ0 ｘ′2 =Ｂ-Ａ2ωｙ0 =ｙ′ ｘ′=Ｂ -Ａω -ｘ0 ,ｙ′=ｙ0因为 ｆ(Ｂ -ωｘ′) =ｆ[Ｂ-ω(Ｂ-Ａω -ｘ0 ) ] =…     

点与直线关系的一个应用

已知点Ｐ(ｘ1,ｙ1)不在直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 (Ｂ≠ 0 )上 ,若Ｐ在ｌ的上方 ,则Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ)>0 ;若Ｐ在ｌ的下方 ,则Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ) <0 .1　证明　设Ｐ0 (ｘ1,ｙ0 )为ｌ上的一点 ,则Ａｘ1 Ｂｙ0 Ｃ=0 ,所以Ｂｙ0 =- (Ａｘ1 Ｃ) ,有Ｂ2 ｙ0 =-Ｂ(Ａｘ1 Ｃ) .　　若Ｐ在ｌ的上方 ,则ｙ1>ｙ0 ,∴Ｂ2 ｙ1>Ｂ2 ｙ0 ,即　　　Ｂ2 ｙ1>-Ｂ(Ａｘ1 Ｃ) ,得Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ) >0 ;　　若Ｐ在ｌ的下方 ,则 ｙ1<ｙ0 ,同上可得Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ) <0 .2　应用例 1　已知直线ｌ :ａｘ ｙ 2 =0 ,点 Ｐ( - 2 ,1) ,Ｑ( 3,2 ) ,且Ｐ、Ｑ位于直…     

“211”杯圆锥曲线知识竞赛

参赛说明 :参赛者请独立完成 ,依题序将答案写上后寄本刊编辑部 .在信封正面左下角注明“4月号数学竞赛 (高 )” ,并写清所在学校、年级、班别、邮编 (有辅导老师的请写明 ) .7月号刊登获奖名单 .一、选择题 :　　 1.双曲线的渐近线方程是 2ｘ -ｙ - 10 =0和 2ｘ + ｙ + 2 =0 ,则双曲线的离心率是 (　　 ) .Ａ .3或 62 　　Ｂ .5或 53　　Ｃ .5或 52 　　Ｄ .5或 542 .设ｘ2 + 3ｙ2 - 4ｘ + 6 ｙ + 3≤ 0 ,则 2 3ｙ-ｘ的取值范围是 (　　 ) .Ａ . 12 7,12 3 　　Ｂ . 12 9,12 　　Ｃ . 12 5,12 　　Ｄ . 12 7,13.经过圆ｘ2 + ｙ2 =1( ｙ≠ 0…     

解析几何的两类对称问题

一、关于点的对称问题1 点关于点的对称点点关于点的对称是最基本的中心对称问题 ,可通过中点公式解决 .一般地 ,设点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )关于点Ｍ(ａ ,ｂ)对称的对称点为Ｑ(ｘ0 ′,ｙ0 ′) .则ａ =ｘ0 +ｘ0 ′2 ,ｂ=ｙ0 +ｙ0 ′2 ,或 ｘ0 ′=2ａ -ｘ0 ,ｙ0 ′=2ｂ -ｙ0 .2 曲线 (包括直线 )关于点的对称曲线曲线 ｆ(ｘ ,ｙ) =0关于点Ｍ (ａ ,ｂ)的对称曲线为 ｆ( 2ａ -ｘ ,2ｂ -ｙ) =0 .证明　设点Ｑ(ｘ ,ｙ)是曲线 ｆ(ｘ ,ｙ) =0关于点Ｍ (ａ ,ｂ)的对称曲线上的任一点 ,则Ｑ关于点Ｍ(ａ ,ｂ)的对称点Ｐ(ｘ′ ,ｙ′)应在曲线 ｆ(ｘ ,ｙ) =0上 …     

真的把简单的讲复杂了吗?——一个关于个案交流的案例

20 0 1年 12月 2 6日下午 ,是华东师范大学第三期国家级骨干教师培训班数学个案学习课最后一节———优秀个案交流 .有两个老师的发言引起了争论 ,从课上到课下 ,各方争论不休 .本文作者 ,作为旁听 ,也参与了他们的思考 .第一个发言交流的是湖北的宋庆福老师 ,针对他个案中谈到的 :ｆ(ｘ) =ｘ2 ,ｘ ∈ {2 ,3} ,ｇ(ｘ) =5ｘ- 6,ｘ ∈{2 ,3}是否是同一函数的判断 ,老师们如同案例中的学生一样展开了积极的讨论 .有的老师认为解析式不同 ,不是同一函数 (并回顾判断函数相同的三个条件 ) ;有的老师干脆跑到讲台画出由 2到 4 ,由 3到 9的映射图式…     

过两已知点的圆系方程

我们知道 ,若圆Ｃ1:ｘ2 ｙ2 Ｄｘ Ｅｙ Ｆ =0和圆Ｃ2 :ｘ2 ｙ2 Ｄ1ｘ Ｅ1ｙ Ｆ1=0相交于两点 ,那么过两点的圆系方程为ｘ2 ｙ2 Ｄｘ Ｅｙ Ｆ λ(ｘ2 ｙ2 Ｄ1ｘ Ｅ1ｙ Ｆ1) =0 (不含圆Ｃ2 ) (λ∈Ｒ)《解析几何》课本第 70页第 3题　已知一个圆的直径的两个端点是Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,证明 :圆的方程是 (ｘ -ｘ1) (ｘ -ｘ2 ) (ｙ-ｙ1) (ｙ -ｙ2 ) =0 .结合以上两个结论可得 :命题 :过两已知点Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 )的圆系方程为 (ｘ -ｘ1) (ｘ -ｘ2 ) (ｙ -ｙ1) (ｙ-ｙ2 ) λ(ａｘ ｂｙ ｃ) =0 . ①(λ∈Ｒ…     

抛物线的一对特征量及其应用

文 [1]证明了有心圆锥曲线任一弦的斜率和弦中点与椭圆中心连线的斜率 (均存在且不为零 )之积为一定值 ,受此启发 ,本文给出抛物线的有关斜率的一对定值 ,并举例说明其在解题中的应用 ,聊作文[1]的补缀 .定理 1　设Ｍ (ｘ0 ,ｙ0 )是抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ (ｐ>0 )上的定点 ,Ａ、Ｂ是抛物线上的两动点 ,若ｋＭＡ·ｋＭＢ =ｔ (ｔ≠ 0 ) ,则直线ＡＢ过定点ｘ0 - 2ｐｔ ,- ｙ0 .证明　设Ａ(ｘ1 ,ｙ1 )、Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,则有ｙ21 =2 ｐｘ1 ( 1) ,ｙ22 =2 ｐｘ2 ( 2 ) ,ｙ20 =2 ｐｘ0 ( 3) .( 1) - ( 2 )得　 ( ｙ1 ｙ2 ) ( ｙ1 - ｙ2 ) =2 ｐ(ｘ1…     

2003届高中毕业班第一次教学质量检测数学(理科)试卷

一、选择题 :(本大题 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 ,每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.已知集合Ａ ={ｙ｜ｙ =ｌｏｇｘ2 ,ｘ >1},Ｂ ={ｙ｜ ｙ =( 12 ) ｘ ,ｘ >1},则Ａ ∪Ｂ等于 (　 )Ａ .{ｙ｜ 0 <ｙ<12 }　　Ｂ{ｙ｜ ｙ >0 }Ｃ .ΦＤ .Ｒ2 .下列函数中 ,同时具有性质 :①图象过点 ( 0 ,1) ;②在区间 ( 0 ,+∞ )上是减函数 ;③是偶函数 ,这样的函数是 (　 )Ａ .ｆ(ｘ) =ｘ2 　Ｂ .ｆ(ｘ) =ｌｏｇ2 ( ｜ｘ｜+2 )Ｃ .ｆ(ｘ) =( 12 ) ｜ｘ｜ 　Ｄ .ｆ(ｘ) =2 ｜ｘ｜2 (新 )下列导数正确的是 (　　 )Ａ .(ｘ +1ｘ)′ =…     

导数在高考中的三项基本应用

应用 1:利用导数的几何意义解题函数 ｙ =ｆ(ｘ)在ｘ0 处的导数的几何意义 ,就是曲线 ｙ =ｆ(ｘ)在点Ｐ(ｘ0 ,ｆ(ｘ0 ) )处的切线的斜率 .例 1　若抛物线ｙ =4ｘ2 上的点Ｐ到直线ｙ =4ｘ - 5的距离最短 ,则点Ｐ的坐标为 .　　解 :在抛物线 ｙ =4ｘ2 上求一点Ｐ到直线ｙ =4ｘ - 5的距离为最短 ,即找一点Ｐ使过该点的切线与直线 ｙ =4ｘ - 5平行 .对函数ｙ =4ｘ2 求导 ,得 ｙ′ =8ｘ ,所以曲线上任一点的切线斜率ｋ =8ｘ .令 8ｘ =4 ,求出ｘ=12 ,代入抛物线方程得ｙ=1.故Ｐ 12 ,1.应用 2 :利用导数求函数的单调区间一般地 ,设函数ｙ =ｆ(ｘ)在…