几个不等式问题的统一处理

1　几个不等式问题问题 1　设ａ >0 ,ｂ >0 ,ａ3 ｂ3=2 ,求证 :ａ ｂ≤ 2 . (1 986年宿州市初中数学竞赛试题 )《中学数学教学参考》2 0 0 2年第 7期发表的文 [1 ]专门对这一个问题的多种表述形式和多种解法进行了综述 .问题 2　设ｘ ,ｙ∈Ｒ ,ｘ ｙ =1 ,ｎ >0 ,λ >0 ,求1ｘ     

命题“若P则Q”的否定形式

自从高中数学新教材增添了“简易逻辑”内容以来 ,很多中学数学期刊都发表了不少关于“简易逻辑”的内容及其教学的探讨文章 .最近 ,笔者在《中学数学杂志 (高中 )》2 0 0 3年第 6期上又看到了《例谈简易逻辑学习中的九点误区》(以下简称《误区》)一文 .该文对命题的概念、几个常用逻辑联结词的用法、命题的否定形式以及否命题等容易出错的一些问题进行了比较详细深入的讨论 ,并配以具体的例子说明 ,这对中学师生颇有参考价值 .但是《误区》一文也有美中不足之处 ,比如 ,在命题“若P则Q”的否定形式这一问题上 ,《误区》一文的观点是不正确…     

欢迎订阅《中学数学月刊》

由苏州大学、江苏省数学会主办的《中学数学月刊》是面向中学数学教与学的普及性学术期刊 ,融科学性、资料性、实用性、可读性于一身 ,是广大中学数学教师、中学生与数学爱好者的良师益友 .为了配合高中课程改革 ,本刊明年将开辟专栏就江苏教育出版社组织编写的高中新课程教材进行分析、研究与学习 ,并已约请参加教材编写的专家和教师撰文对该教材的特点、与现行教材的比较、教学中应该注意的问题提出教学建议 .这些文章将从 2 0 0 5年第 1期起陆续刊出 .《中学数学月刊》每月 1 5日出版 ,1 6开 48页 ,每册定价 3 .0 0元 (全年 3 6 0 0元 ) …     

关于球面上两点间距离定理的证明

关于“球面上两点间的距离等于过这两点的一条大圆劣弧的长”的证明。不少刊物都作了证明。如《数学教学通讯》83年第2期,《湖南数学通讯》83年第4期,《中学数学》(武汉师院)84年第3期等。他们的论点是     

杨乐不等式的又一初等证明

对杨乐不等式: 设A>0,B>0,A B≤π,0≤λ≤1,则 cos~2λA cos~2λB-2cosλA·cosλB·cosλπ ≥sin~2λπ (1)《中学数学》(苏州)93年第4期及《中学数学》(湖北)95年第1期分别给出了两种初等证明,本文用配方法给出它的又一初等证明。     

对一道高中数学教材练习题答案的商榷

《全日制普通高级中学教科书 (试验修订本 ·必修 )数学第一册 (上 )》(人民教育出版社中学数学室编著 ,2 0 0 0年 3月第 2版 )第 1 33页练习第 4题 :已知数列 {ａｎ}是等比数列 ,Ｓｎ 是其前ｎ项的和 ,求证Ｓ7,Ｓ1 4 -Ｓ7,Ｓ2 1 -Ｓ1 4 成等比数列 .设ｋ∈Ｎ ,Ｓｋ,Ｓ2ｋ-Ｓｋ,Ｓ3ｋ-Ｓ2ｋ 成等比数列吗 ?配套的教师教学用书 (人民教育出版社中学数学室编著 ,2 0 0 0年 3月第 2版 )上给出的参考解答 :由Ｓ7=ａ1 (1 - ｑ7)1 - ｑ ,Ｓ1 4 =ａ1 (1 - ｑ1 4 )1 - ｑ ,Ｓ2 1 =ａ1 (1 - ｑ2 1 )1 - ｑ ,可得Ｓ7· (Ｓ2 1 -Ｓ1 4 ) =(Ｓ1 4 -Ｓ7)…     

“W．Janous猜测”的解题分析

0　引言———“难题”与“巧解”W .Janous猜测指 :设x、y、z是正数 ,求证y2 -x2z +x + z2 -y2x + y + x2 -z2y +z ≥ 0 .①这个 (杰罗斯 )不等式原载加拿大《数学难题》杂志 ,在《数学通讯》1 992年第 4期 (P .3 8)的问题解答栏目中可以找到 ,第 5期给出的答案 (见文 [1 ],本文第 4部分还会谈到 )普遍感到“解答较繁” ,此后陆续出现多种解法 ,散见于众多中学数学刊物 (参考文献列出了一部分 ) .本文试图从解题论的角度做出一些阐述 ,涉及思路探求、解法改进、成果扩大、案例分析 .首先 ,作为“难题”与“巧解”引言的完成 ,给出一个解…     

巧用函数思想解一数学难题

命题设x、y、z是正数，求此题原是W·Janoux猜想，选自加拿大《数学难题》杂志1612期，后作为数学难题刊在湖北《数学通讯》1992年4期上，引起读者极大兴趣，该刊1992年5期，上海《数学教学》1992年6期和1993年4期及湖北《中学数学》1993年7期，都对此问题进行讨论．但其证法都是利用不等式有关知识直接证明．今给出一种函数证法．于是，二次函数f(t)=t~2-(t~2-(y~2 z~2)t (y~4-y~2z~2 z~4)，有f(t)≥0.从而，对于正数x、y、z,W≥0.即命题获证．巧用函数思想解一数学难题@赵临龙$陕西安康师专数学系…     

三角形中的几个不等式

在数学奥林匹克问题 (载《中等数学》2 0 0 0年第 5期第 4 9页 )中有一道几何不等式题 :在钝角△ABC中 ,∠A为钝角 ,ha 为边a上的高 ,求证 :a ha>b c.本文给出如下几个命题 .命题 1　在等腰△ABC中 ,∠ A为顶角 ,ha为边 a上的高 ,则 :(1 )若∠A=arccos72 5,则 a ha=b c;(2     

把握本质 揭示真知——读《数学评价 数学素养 数学哲学》一文的几点思考

拜读了《中学数学教学参考》2007年第12期(下半月·初中)沈仁广老师的《数学评价数学素养数学哲学》一文后(以下简称文[1]),被沈老师潜心研究中考命题、积极进行评价的精神所打动,也为沈老师对数学素养、数学哲学的精辟见解所折服.通过分析与研究,笔者认为文[1]所述的观点与涉及     

对“不能互相平分”质疑

读张晋平同志的《高中试验教材中概念教学应注意的几个问题》一文 (载于《中学数学教学参考 2 0 0 1年第 3期》) ,深受教益 .但对其中第 3方面“教学中要对描述得不完整、存在一些问题的数学概念进行及时准确的修正”一条中谈到 :“人教社教材第一册 (上 )Ｐ .3 6‘例 4,用反证法证明 :圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分 .’在假设时犯了一个逻辑错误 .”笔者认为 ,教材处理是正确的 ,特提出商榷 .为讨论方便 ,先将原文摘抄于下 :“‘证明 :假设弦ＡＢ、ＣＤ被Ｐ平分……’这样的假设犯了一个逻辑错误 .‘不能互相平分’的否定应该是‘…     

读者的心声 鼓舞和鞭策

▲广西大学附中特级教师余锋同志来信:喜看贵刊1994年第3期(高考物理专辑)16篇文章有15篇被中国人民大学书报资料中心出版的《G·36中学物理教学》全文复印、索引;第4期(高考化学专辑)17篇文章有14篇也被《G·37中学化学教学》全文复印、索引;第1、2期(高考数学专辑)也有两篇被《G·35中学数学教学》第4期全文复印,向读者推荐。贵刊栏目引人,文章上乘,内容实在,富于启发。不愧是执教指南,学习向导。     

一个三角形中的不等式

在《数学教学》2 0 0 1年第 6期数学问题栏的第 548题为 :问题 1　设△ ABC的三边长为 a,b,c,求证 :b+ c- aa + c+ a- bb +a+ b- cc >2 2 . ( 1 )《中学数学月刊》在 2 0 0 2年第 1 1期第2 9页上用换元法给出了此题又一简捷证法 ,笔者想到的是 ( 1 )的一个类似不等式 .问题 2　在△ABC中 ,三边长为 a,b,c,求证 :c+ a- ca + a+ b- cb + b+ c- ac ≤ 3.( 2 )证明　采用化分式为整式、化无理为有理进行逐步转化 .c+ a- ba + a+ b- cb + b+ c- ac ≤ 3 bc( c+ a- b) + ca( a+ b- c) +ab( b+ c- a)≤ 3abc [bc( c+ a- b) + ca( a+ b- c) +ab(…     

“一道调研试题的拓广”的再拓广

正一、问题回顾《中学数学研究》2014年第4期(上)第15页刊登了江苏省常州市前黄高级中学杨丽文老师撰写的文章"一道调研试题的拓广",杨老师通过对2014年南京盐城高三数学第一次调研第18题的研究,得出了一个优美结论,即下面的定理.定理已知椭圆Γ:x2/a2+y2/b2=1(ab0),点P是椭     

一道习题的推广

由苏州大学《中学数学》编辑部所编的《高三数学教学与测试》P42第6题是: (1)已知sin~4θ cos~4θ=1,求sinθ cosθ的值;     

三角形的几个向量充要条件

《中学数学杂志》2 0 0 3年第 5期刊登了安徽余金松老师《向量复习课的一次尝试》一文 ,文中探讨了新教材 (试验本 ) 1 51页第 6题的证法 .《中学数学研究》(江西 ) 2 0 0 3年第 8期刊登了本人对新教材 (试验本 ) 1 51页第 6题的应用一文《构造三角形重心巧解三角题三例》 .第 6题实际是三角形为正三角形的一个向量充要条件 .受两文的启发 ,结合本人平时的研究所得 ,本文给出有关三角形的几个向量充要条件 ,供参考 .命题 1　在平面上有△ABC和点O ,则｜ OA｜ =｜ OB｜ =｜ OC｜是点O是△ABC的外心的充要条件 .(证明略 )命题 2　在△A…     

函数y=(ax b)~1/2 (cx d)~1/2(ac<0)值域的又一求法

《数学教学通讯》1997年第4期文[1],1998年第4期文[2],1998年第5期文[3]中分别就函数 y=(ax b)~(1/2) (cx d)~(1/2)(ac<0)的值域给出了相应的求法,本文再介绍一种方法——三角换元法.供参考.     

一道填空题的巧解

苏州大学《中学数学》编辑部主编的《高一高二数学教学与测试》下册(1995年2月第1版)第43页上有这样一道填空题:     

函数f(x)=λ_1((x-a)~(1/2)) λ_2((b-x)~(1/2))极值的又一种解法

题目所示函数在λ_1>0,λ_2>0,a相似文献   

应该重视近似计算的教学

受《中学数学杂志》(初中 ) 2 0 0 2年第 4期第 2 9页的《误批的点悟》(下文称《点悟》)的启发 ,对初中几何课本中的近似计算题仔细研究了一番 ,发现其中确实存在问题 .不过我认为 ,《点悟》也有误 ,其误在于对近似数的认识不够清楚 ;而初中几何课本中的错误 ,是对近似数乘法法则的忽视而产生的 .1 983年 5月 ,湖北教育出版社出版的《中学代数教学法》(陈森林主编 ) (下文称《教法》)第 52页载 :近似数的乘除法例 :求近似数 2 4 7.65与 0 .32的积 .解 :写成下面的算式可以看到 0 .32中的 3与 2 4 765相乘得 742 95 ,0 .32中的 2与 2 4 765相…