三角形等角共轭点的一个性质

命题 如图1,P、Q是△ABC的等角共轭点(∠PAB=∠QAC,∠PBC=∠QBA,∠PCB=∠QCA),R、S_△表示 △ABC的外接圆半径和△ABC的面积。则AP·AQ·BC BP·BQ·AC CP·CQ·AB=4R·S_△。     

等角共轭点一个性质的推广

定理　设P、Q为△ABC内两点 ,则AP·AQAB·AC +BP·BQBA·BC+CP·CQCA·CB≥ 1 . ( )等式当且仅当P、Q为△ABC等角共轭点 (即∠PAB=∠QAC ,∠PBC =∠QBA ,∠PCB =∠QCA)时成立 .证明 :如图 ,顺次以BC、CA、AB为对称轴作△PBC、△PCA、△PAB的对称图形 ,分别为△A′BC ,△B′CA ,△C′AB ,连结A′Q、B′Q、C′Q ,则易知 (以S△ 表示面积 ) :S△AC′Q+S△AB′Q=12 AC′·AQsin∠C′AQ +12 AQ·AB′sin∠B′AQ =12 AP·AQ(sin∠C′AQ +sin∠B′AQ)=12 AP·AQ·2sin ∠C′AQ +∠B′AQ2　·c…     

三角形等角共轭点一个性质的再推广

文[1 ]得到如下恒等式:命题1　设P、Q是△ABC的等角共轭点(即∠PAB =∠QAC ,∠PBC =∠QBA ,∠PCB=∠QCA) ,则有AP·AQAB·AC BP·BQBA·BC CP·CQCA·CB=1 .①文[2 ]将命题1推广为命题2　设P、Q为△ABC所在平面内任意两点,则AP·AQAB·AC BP·BQBA·BC CP·CQCA·CB≥1 ( =|P、Q为等角共轭点) .②本文将命题2推广到凸n边形,我们有命题3　设P、Q为凸n边形A1A2 …An(n≥3 )所在平面上任意两点,F为这凸n边形的面积,则∑ni=1PAi·QAisinAi≥2F .③注:由正弦定理知②等价于PA·QAsinA PB·QBsinB P…     

三角形等角共轭点的性质探究

在近世初等几何学上，等角共轭点是重要的研究内容之一．关于三角形的等角共轭点算是大家最熟悉的了．     

椭圆与双曲线的一个有趣的等角关系式

性质1如图1，过椭圆与x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）上位于第一象限内的一点T作椭圆的一条切线，与x轴y轴分别交于点A，B．设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则∠ABF2=∠AF1T     

圆锥曲线的一个有趣性质

最近,笔者利用几何画板对圆锥曲线进行了研究,得到了一个有趣的性质,写成下文,与大家分享．     

二次函数的一个有趣性质

我们知道,对于函数f（x）=ax^2＋bx＋c（a、b、c为实数且a≠0）,当Δ=b^2-4ac≥0时,f（x）=0有实数根,而当Δ=b^2-4ac〈0时,f（x）=0没有实数根．本文给出当Δ〈0时f（x）的一个有趣性质．     

等差数列一个有趣的性质

下面两题,在一些书刊资料上都有选用。 [题一] 一个等差数列共有2n+1项,其中奇数项之和为305,偶数项之和为276,试求第n+1项。 [题二] 求证:等差数列的前2n+1项中,奇数项的和与偶数项的和之比为n+1/n。有的资料还将[题一]改为如下的选择题: 一个等差数列共2n+1项,其中奇数项之和为305,偶数项之和为276,则第n+1项为: (A)31;(B)30;(C)29;(D)28。某资料给出了如下的解答。 [解] 由,得     

一个有趣性质的应用

<正> 性质在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,若a+b+c=0,则该方程必有一根为1. 证明∵a+b+C=0,且a≠0,∴a=-(b+C). ∴ax2+bx+c=-(b+c)x2+bx+C =-bx2-cx2+bx+c     

正多面体的一个有趣性质

定理若点P为正多面体外接球上任一点,则该正多面体各顶点到球的过P点的切面的距离之和为定值。事实上,设正多面体顶点为A_1,…,A_n(n=4,8,6,20,12),外接球心为O。过A_1,…,A_n分别作球O的切平面,得球O的外切正n面体B_1…B_m(m为A_1,…,A_n的面数,m=4,6,8,12,20)。这时,P为正n面体     

正多边形的一个有趣性质

本文应用Ptolemy定理,讨论正多边形外接圆周上任意一点到各顶点距离之间的关系。 Ptolemy定     

抛物线的一个有趣性质

在对抛物线的研究中，笔发现了它的一个十分有趣的性质，介绍如下．     

圆锥曲线的一个有趣性质

性质　过圆锥曲线上任一点 P(x0 ,y0 )作倾斜角互补的两直线交该曲线于 A,B两点 ,则直线 AB的倾斜角为定值 ,且直线 AB的倾斜角与该曲线在 P点的切线的倾斜角也互补证明　以下只证明椭圆情况 ,双曲线与抛物线同理可证 .设椭圆方程为 :x2a2 y2b2 =1,图 1(1)当 y0 =0时 ,直线 AB的倾斜角与 P点处切线的倾斜角都是90°,知结论成立 ;(2 )当 y0 ≠ 0时 ,设直线的参数方程为 :x=x0 tcosα,y=y0 tsinα,(t为参数 )代入椭圆方程整理得 :(b2 cos2 α a2 sin2 α) t2 2 (b2 x0 cosα a2 y0 sinα) t b2 x20 a2 y20 =a2 b2 .∵点 P在…     

偶数的一个有趣性质

有一个问题: 有十八人参加的舞会,用数字1至18对他们进行编号。当他们选择舞伴时,九对中的每一对的编号数的和都是一个完全平方数。问谁和谁跳舞? 这个问题可以很好地用于数学课作为一种反复试验的练习,包括选择淘汰和平方计算。例如5是和4还是和11配对?全部解答如下:     

一次函数的一个有趣性质

将反比例函数的解析式y=k/x（k≠0）变形为xy=k（k≠0），两边取绝对值得｜x｜·｜y｜—｜k｜（k≠0），其几何意义是：过双曲线上任一点分别向两坐标轴作垂线，则两条垂线与两坐标轴所围矩形的面积恒等于｜k｜．该性质通常被称为反比例函数的面积不变性，该性质优美且实用，是中考命题的热门考点．笔者将该性质类比到一次函数，得到一组优美的结论．     

三角形的一个有趣性质

三角形的一个有趣性质□兰州石油化工学校王江云用ａ,ｂ,ｃ表示△ＡＢＣ的内角Ａ,Ｂ,Ｃ的对边,我们得到：命题在△ＡＢＣ中,Ａ＝ｎＢ（ｎ≥２,且ｎ∈Ｎ）,Ａ的ｎ等分线交对边ＢＣ于Ｄ１,Ｄ２,…,Ｄｎ－１,则（１）∏ｎ－１ｉ＝１１ＢＤｉ＝ａｂｃｎ－１;（２...     

三角形的一个有趣性质

性质 若P是△ABC内部一点,λi∈R^＊（i=1,2,3）,且λ1^→PA＋λ2^→PB＋λ3^→PC=^→0,则S△BPC：S△CPB：S△APB=λ1：λ2：λ3.     

三角形的一个有趣性质

定理:在△ABC内三点D、E、F满足∠BAE=∠CAF,∠ABD=∠CBF,且AD、BE、CF三线共点P,则∠ACD=∠BCE.反之,若∠ACD=∠BCE,则AD、BE、CF三线共点     

循环小数的一个有趣性质

中师《小学教学基础理论和教法》第一册书中,有一条这样的定理:“如果一个既约真分数 a/b )的分母b 只含2和5以外的质因数,那么①这个分数所化成的小数是纯循环小数;②这个纯循环小数的循环节的最少位数,与分母能整除(?)时9的最少个数 t 相同。”由于这条定理在该书中已详加证明,所以此处不作重复论证。根据这条定理,易知2/3、5/7、4/(11)、8/(13)、等分数所化成的小数均是纯循环小数,又因3|9,(?),11|99,(?),故它们循环节的最少位数依次是1、6、2、12位。