一类高次方程的巧妙解法

在解高次方程时,往往因未知数的次数较高,使得求解过程比较复杂,为了避免这一点,这里介绍一种解一类高次方程的巧妙方法——常量代换法。即把未知量暂时看作常数而把某一次数较低的特殊常量作为未知量,得到一个关于这个特殊常量的方程,解此方程即得这个特殊常量用未知数的代数式表示的方程,再解此方程,即得原方程的解,下面举例加以说明。 [例1] 解方程x~3 2(3~(1/2))x~2 3x 3~(1/2)-1=0 这是三次方程,且系数中含有无理数。不易求解,若反过来把x看作已知数,3~(1/2)看作未知数t,     

关于特殊高次方程的几种解法

鉴于高次方程的特殊解法没有一般规律可循,故学生往往颇感困难.本文给出特殊高次方程的几种解法,作为现行高中代数第三册(甲种本)中有关内容的补充与教学参考. 首先指出:二项方程x~n-α=0在复数城内总是可解的,因为它相当于求数α的n次方根.利用二项方程,可以求解三项方程x~(2n) px~n q=0,这只要令y=x~n,得到辅助方程y~2 py a=0,求出y的两个根即得两个二项方程,从而可求出全部根.当n=2时,三项方程成为双二次方程,其解甚易。对于其它类型的高次方程,特殊解法的核心是通过各种方式实行“降次”,最后归结为二次方程或二项方程求解.     

谈物理竞赛中高次方程的迭代解法

中学物理习题中常用到一元二次方程的求根公式求解二次方程 ,对于三次和四次方程 ,虽然也有求根公式 .但实际计算非常复杂 ,而五次和五次以上的高次方程 ,根本就没有一般的求根公式 .在科学研究和生产实践中甚至在中学物理竞赛试题中 ,常常要用到高次方程 .这里 ,我们结合物理竞赛试题 ,介绍一种高次方程的数值解法———迭代法 .对于高次方程ｆ(ｘ) =0 ,可以改写为等价的形式ｘ =Ｆ(ｘ) .对于方程ｆ(ｘ)的根 ,应满足经过恒等变换后的方程ｘ=Ｆ(ｘ) ,如果已知方程的根的一个初始值ｘ0 ,它不一定能满足ｘ0 =Ｆ(ｘ0 ) ,我们把ｘ =ｘ0 代入Ｆ(…     

初中代数中高次方程有关的几个问题

我们知道,一元n次方程当n≥3时,称为高次方程,五次和五次以上的方程可以证明它没有一般解的公式,三次和四次方程虽有求解公式,但不属中学教材范刚,因此在中学特别是初中解高次方程,也只能是一些高次方程的特殊类型。初中代数三册(1981年版)简单的高次方程一节,除介绍双二次方程外,尚有     

三次方程求解的历史

方程是初等代数学的重要内容 ,历史上曾经是代数学的主要内容 .古代各民族各地区数学都曾努力探讨过代数方程的求解 .最简单、最基本的代数方程是一次方程 ,一次方程的求解在巴比伦数学、古埃及数学、印度和中国古代数学中都已得到解决 .方程的发展自然地指向未知数指数的提高 :所有这些古代数学中也都探讨了二次方程的求解问题 ,中国和后来的古希腊、阿拉伯的数学家也基本上解决了这个问题 .三次方程的问题在一些古代数学中已经提出来了 ,但未能给出一般性解决 .较早提出解三次方程的是中国的王孝通(约 63 0 ) ,他在自己的著作《缉古算经》…     

分式方程同解性的判定与解法

分式方程是初中数学教学的难点之一。它的一般解法,是通过恒等变形化为整式方程求解。但是,在变形的过程中将会遇到两个问题:一是变形后的整式方程是一个高次方程,二是方程的同解性可能被破坏,即可能产生增根或遗根。因此,在教学中重视变形理论和解题技巧的教学,就会使学生对以上两个问题得到较好地解决。一、分式方程同解性的判定方法。定理1:对方程A:f(x)=0施行恒等变形,得到新方程B:g(x)=0。设方程A与方程B的未知数x的允许值集分别是M与N。那么 (1) 若M=N,则方程A与方程B同解。     

一元二次方程及列方程解应用题的教学要求及练习

教学要求:(1)使学生理解一元二次方程的概念及一般形式ax~2+bx+c=0(a≠0)中各字母的意义,牢固掌握一元二次方程的三种解法及其根据,熟练、合理地解一元二次方程.(2)使学生理解一元二次方程根的判别式的概念;一元二次方程根与系数的关系;熟练地根据判别式和根与系数的关系讨论一元二次方程根的情况,求解与此有关的问题;能运用求根的方法分解二次三项式以及解决其他有关问题.(3)熟练地解可化为一元二次方程的特殊高次方程、分式方程和根式方程,掌握配方法、换无法、因式分解法和解这类方程的完整步骤,明确增根的道理,熟悉验根方法.(4)明确可解的二元二次方程组的几种简单类型,     

代数方程的若干解法

一、换元法一般的换元法是,通过设辅助未知数施行变量代换,将高次方程转化为低次方程,将分式方程转化为整式方程,将无理方程转化为有理方程。要解某些较难的方程,还需运用一些有一定技巧的换元方法: 1.平均值换元法例1 解方程(((x+1)~(1/3))-1)~4+(((x+1)~(1/3))-3)~4=16。(注:本文中各方程均在实数集内求解)     

两类整系数方程的求根问题

众所周知,一元n次实系数方程当n≥5时,它的根是不能经过有限次四则运算得到的。但对于几类特殊的高次方程,比如,倒数方程:可化为一次或二次因式乘积的高次方程,等等。可用初等方法求解外,就一般的高次方程而言,只能求得它的近似根。(这方面,参看〔1〕)。 在克莱鲍尔所著数学分析中〔2〕,给出了方程     

巧构造 妙解题

在解方程 (组 )的过程中 ,如能巧妙构造函数 ,往往能化难为易 ,出奇制胜 ,达到事半功倍之效 .例 1　解方程 (x2 - 2 0x 38) 3 =x3 - 4x2 84x - 15 2 .分析高中阶段解高次方程只有通过降次才可解 ,如何降次呢 ?文华点精　　本例抓住题目特点 ,通过构造函数将高次方程化归为二次方程 ,是一种常用方法 .　　解 :原方程变形为 (x2 - 2 0x 38) 3 4(x2 - 2 0x 38) =x3 4x ,构造函数f(x) =x3 4x ,原方程即为 f(x2 - 2 0x 38)=f(x) ,易证得f(x)在R上单调递增 ,所以x2 - 2 0x 38=x ,故x =2或x =19.文华点精　　本例通过构造函数再结合分类讨…     

几类一元高次方程的解法

正一元高次方程在代数方程中占有重要地位.在本文中,给出了几类一元高次方程的解法.1型如ax2n+1+bx2n+ax2n-1+bx2n-2+…+ax+b=0的方程.例1解方程3x5+5x4+3x3+5x2+3x+5=0解:原方程可同解变形为3x(x4+x2+1)+5(x4+x2+1)=0,即(3x+5)(x4+x2+1)=0.     

利用函数图象判断方程(组)实数解的个数

<正> 在学习数学的过程中,会碰到一些不容易求解的方程(组).比如,高次方程、无理方程或绝对值方程(组)解的个数的判断问题,若用代数方法,解起来运算麻烦,且不易解决.如果运用数形结合的思想,借助于函数图象,则可以比较简捷、直观地判断方程(组)的个数以及近似解.     

分式方程(组)的解题技巧

分式方程（或方程组）求解的基本思想是：设法将其转化为整式方程．当完成此一转化时，必须注意：（1）尽可能不导致出现高次方程，因为一般的高次方程是不易解的；（2）谨防产生增根与道根．对于分式方程，除掌握常规解法外，还必须善于根据方程之具体特点，施以巧解方法，以达到简捷求解之目的．下面，拟列举实例介绍若干巧解方法．一、用技无法巧解有些分式方程可以用换元法解之，至于应采取何种换元方法，则必须根据方程的特点而定．＿。＿＿＿1＿，＿例1解方程＿＋8“一8．一‘—”“’””’一ZN‘－1～一解将原方程变形为，＿，＿＿…     

方程的有关概念与整式方程的解法

一、知识要点1．方程的有关概念：等式、方程、方程的解、解方程、同解方程、方程的同解原理、一元一次方程、一元二次方程、高次方程．2．整式方程的解法：（1）一元一次方程的解法：①去分母；②去括号③移项；④合并同类项；⑤方程两边同除以求知数的系数．（2）一元二次方程的解法：①直接开平方法；②因式分解法；③配方法；④分式法．（3）简单高次方程的解法；解题的指导思想是转化思想，即通过因式分解或换元，把高次方程转化为万元一次或一元二次方程求解·3．解的几何意义：（1）一元一次方程。x＋b—0（a一07的解是直线y一一十b…     

朱世杰的四元术

“四元术”是中国古代数学中的又一项杰出成果,它相当于现在的是二元,三元和四元高次方程组的建立和求解方法。在目前尚有流传的资料中,以朱世杰的《四元玉鉴》(1303)记载为最早。     

与分式方程的增根有关的问题

<正>在初中数学教材中先后出现了可化为一元一次方程的分式方程和可化为一元二次方程的分式方程的相关问题.其中,让学生一直感到困惑的是与增根有关的问题.下面就常见的几种情况加以分析.题型一、解分式方程例1(2008南京中考)解方程:2/x+1-x/x~2-1=0.错解方程两边同乘(x-1)(x+1),得2(x-1)-x=0.解这个方程,得x=2.所以,x=2是原方程的解.     

中国古代的数学成就(续完)

六、中国古代关于方程的研究在我国古代,最早提出方程这个概念的著作是《九章》。《九章》的第八章称为方程章,从该章的内容来看,是讨论一次联立方程组的解法的。因为若干个未知数要若干个式子,用算筹并列成行,就成一方形,故称作方程。我们现在称含有未知数的等式为方程,方程不“方”了。这是清朝李善兰翻译《代数学》时所用的说法。在我国古代,一元高次方程称为天元术,而多元高次方程称为二元术、三元术、四元术等。     

《线性代数》学习中三次方程求根方法探讨

在线性代数学习中,学生经常会遇到方程求根问题,如系数矩阵为方阵且含有参数的线性方程组解的判别,方阵的特征值的计算等均以方程的求根为基础.矩阵阶数越高对应方程的次数就越高,而高次方程的求解一直是个难点.本文以三元线性方程组解的判别和三阶方阵求特征值的问题为出发点总结归纳了三次方程的几种求根方法.     

系数成等比数列的一元高次方程的求解

众所周知,早在十九世纪二十年代伽罗华就证明了五次及五次以上的代数方程没有求根公式,但某些特殊类型的高次方程是可以用根式求解的,本文就给出了两类系数成等比数列的任意次方程的解.     

高次方程的几种解法技巧

解高次方程的基本思路是“降次”.初三代数课本介绍了“因式分解”和“换元”两种基本方法.下面再介绍某些特殊的高次方程的几种解法. 一、将已知数和未知数换位例1 解方程 x~4-x~2+6x-9=0. 解将原方程变形为“3”的二次方程