一个数学竞赛题的推广和背景剖析

近期,有学生向笔者请教两道老题：（1）已知实数a、b、c互不相同,满足a＋1/b=b＋1/c=c＋1/a=k,试求k的值.（2）（2003年全国初中数学联合竞赛试题）已知实数a、b、c、d互不相同,满足a＋1/b=b＋1/c=c＋1/d=d＋1/a=k,试求k的值[1].很显然,题（1）和题（2）是同一类型的两个问题,两题的做法也极为相似.笔者用如下方法给学生做了解答.     

一道联赛题的推广

题1 已知实数a、b、c、d互不相等，且n＋1/b=b＋1/c=c＋1/d=d＋1/a=x．     

构造一元二次方程巧解竞赛题

构造一元二次方程解题是一种常用的解题方法,这种方法的关键是根据题目中的一些条件来构造一元二次方程,从而达到将问题化难为易、化繁为简的目的.下面举例说明:一、利用韦达定理的逆定理构造一元二次方程当题目中含有x1 x2=p、x1x2=q时,则可以利用韦达定理的逆定理构造一元二次方程来解决.例1已知a、b、c、d为实数,且满足2c-a=b,c2 14d2=ab,求证:a=b.证明:由已知a b=2c,ab=c2 14d2得a、b是方程x2-2cx c2 14d2=0的两根.∵a、b、c、d为实数,∴Δ=4c2-4(c2 14d2)=-d2≥0.∴d2≤0.又因为d2≥0,d2=0,即△=0.∴方程有两个相等实根,即a=b.二、利用…     

从一道竞赛题谈起

1999年 1 2月第十四届江苏省初中数学竞赛中有一道试题 ,该题内容新颖 ,构思巧妙 ,解法多样 ,思路宽广 ,富有启发性 ,很受参赛者和辅导老师的欢迎 .该题是 :已知 :a,b,c,d是四个不同的有理数 ,且 (a c)(a d) =1 ,(b c) (b d) =1 ,那么 (a c) (b c)的值是 .本文先介绍该题的五种不同解法 ,再从解法中得到新的启示 ,剖析该题的进一步的性质 .解法 1　因 (a c) (a d) =1 ,1(b c) (b d) =1 . 2由 1 - 2可得(a2 - b2 ) (a- b) (c d) =0 ,又因 a≠b,可得 a b c d=0 ,即 a c=- (b d) .0于是(a c) (b c) =- (b d) (b c) =- 1 .解法 2　因是填空题 ,…     

巧求和

题目1 已知a，b，c，d都是正整数，并且ab＋bc＋cd＋da=2006，那么a＋b＋c＋d=__．     

cr+1=t,ar+1=(t+1)(s-1)序为(s,t)的距离正则图

设Г是序为（s，t）直径为d的距离正则图，讨论了l（c，a，b）表示在交叉阵列t（Г）中列（c，b，c）的个数，记r=r（Г）=l（c1，a1，b1），s’=s’（Г）=l（c（r＋1），a（r＋1），b（r＋1），t’=t’（Г）=l（c（r＋s＇＋1），a（r＋s＇＋1），b（r＋s＇＋1）．所得结论如下：设Г=（X，E）是一个序为（s，t）的直径为d的距离正则图，如果c（r＋1）=t，a（r＋1）=（t＋1）（s-1），则d=r＋t’＋2．     

对一元二次方程根的研究所得

关于一元二次方程的两根之和m=x1＋x2=-b/a、两根之积n=r1.r2=c/a是大家都熟悉的，那么一元二次方程的两根之比λ和两根之差d与系数的关系又是怎样的呢？经过探索，可得     

一类不定方程组有解的充分必要条件

作者给出了不定方程组{a1x＋b1y＋c1z=d1, a2x＋b2y＋c2z=d2有整数解的充分必要条件，其中ai，bi，ci，di（i=1，2）都是整数。     

关于纯指数Diophantine方程ax+dby=cz

设a、b,c,d、r是适合a^2＋db^2=c^r，gcd（a，db）=1，a恒等于-3（mod4），b恒等于2（mod4），d恒等于1（mod2），r恒等于1（mod2）。r〉1．（b／a）=-1，（d／a）=1的正整数，其中（＊／＊）是Jacobi符号，本文证明了：当c是奇素数时，方程a^x＋db^y=c^z仅有正整数解（x，y，z）=（2，2，r）     

追根寻源

江苏省第二十届初中数学竞赛第1试的第8题是一道选择题，题目是这样的：正实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d=1。设P=√3a＋1＋√3b＋1＋√3c＋1＋√3d＋1，则（ ）。     

幂的大小比较(初一、初二、初三)

1.比较底数法例1 已知a,b,c,d为正实数, a2=2,b3=3,c4=4,d5=5,则a,6,c,d中最大的数是( ) (A)a. (B)b. (C)c. (D)d. 第9届(98年)“希望杯”初二解因为a,b,c,d为正实数,由a2=2,得a4=4=c4,     

一个条件等式的妙证、推广及应用

文 [1]、[2 ]证明了下面的等式 :设 a,b,c,d∈ (0 ,+∞ ) ,且 c+d=1,c2a+d2b=1a+b,求证 :c4a3 +d4b3 =1(a+b) 3 . 1文 [2 ]还把 1式推广为 :cm + 1am +dm + 1bm =1(a+b) m. 2本文给出 1的不等式证法 ,并把 1,2式的条件推广 ,同时给出其应用 .1　简证　由 x2y≥ 2 x- y知c2aa+b≥ 2 c- aa+b,d2ba+b≥ 2 d- ba+b.因为 c+d=1,所以 c2aa+b+d2ba+b≥ 2 (c+d) - (aa+b+ba+b) =1.由等号成立条件知 c=aa+b,d=ba+b,故 c4a3 +d4b3 =a4a3 (a+b) 4 +b4b3 (a+b) 4 =1(a+b) 3 .2　推广定理　设 a,b,c,d∈ (0 ,+∞ ) ,m,n∈N* ,m≠ n,若 c+d=1且 cm + 1am …     

有关双圆四边形内点的一个几何不等式

文[1]介绍了如下Carlitz-Klamkin不等式.设P是△ABC内任一点,P到BC,CA,AB的距离分别为r1,r2,r3,AB=c,BC=a,CA=b,s=(a b c)/2则2331121()()()()()()r r r r rrs?b s?c s?c s?a s?a s?b≤.(1)笔者经研究发现,在双圆四边形中也有定理设P是双圆四边形ABCD内任意一点,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,P到AB、BC、CD、DA的距离分别为r1,r2,r3,r4,s=12(a b c d),则有1223()()()()rrr rs?a s?b s?b s?c 34411()()()()r r r rs?c s?d s?d s?a≤.(2)证明由文[2]得a c=b d=s,∴1223()()()()rrr rs?a s?b s?b s?c 3441()()()()r r r rs?c s?d s?d …     

一元二次方程的演绎

1根与系数的关系对于一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的韦达定理x_1 x_2=-b/a、x_1x_2=c/a (x_1,x_2是方程的两个根)是大家都熟悉的,那么两根之比λ和两根之差d与系数的关系又是怎样的呢?     

一组有趣数字的规律探究

<正>网上曾经流传着这样一组有趣数字:令a=123789,b=561945,c=642864,d=242868,e=323787,f=761943.则有a+b+c=d+e+f及a2+b2+c2=d2+e2+f2.去掉各数的最高位数字,得到新数a1,b1,c1,d1,e1,f1后仍然会有a1+b1+c1=d1+e1+f1及a21+     

比较分式值大小的变形策略

同学们在解答比较分式值大小的相关问题时,通常需要对分式进行变形整理,下面给出几种方便快捷的变形策略,供同学们学习参考.一、通分变形例1已知a,b,c,d都是正数,且ab0B.A≥0C.A<0D.A≤0解:A=b(c+d)-d(a+b)(a+b)(c+d)=bc-ad(a+b)(c+d).因为a,b,c,d都是正数,且ab0,a+b>0,ad0,应选A.二、添项变形例2设a>0>b>c,a+b+c=1,M=b+ca,N=a+cb,P=a+bc,则M、N、P之间的大小关系是A.M>N>PB.N>P>MC.P>M>ND.M>P>N解:因为a+b+c=1,所以M=b+ca+1-1=1a-1,N=a+cb+1-1=1b-1,P=a+b+1-1=1…     

一道数学问题的新解

《数学通报》2 0 0 1年 2月号数学问题1 3 0 0 :设 a,b,c,d∈R,且 a b c d=2 ,ab ac ad bc bd cd=- 83 ,求 b c d的最大值和最小值 .除了《数学通报》上已给出的一种解法之外 ,本文再给出这一问题的两种解法 .为此 ,我们先计算 a2 b2 c2 d2 =(a b c d) 2- 2 (ab ac ad bc bd cd) =2 2 - 2·(- 83 ) =2 83 .解法 1　∵b c d=2 - a,b2 c2 d2 =2 83 - a2 .构造函数 f (t) =(t- b) 2 (t- c) 2 (t- d) 2 ,则f(t) =3 t2 - 2 (b c d) t (b2 c2 d2 )=3 t2 - 2 (2 - a) t (2 83 - a2 )≥ 0 ,∴Δ=4 (2 -…     

浅谈"两边夹不等式"

大家都熟知等比定理：若a/b=c/d，则a/b=（a＋c）/（b＋d）=c/d若将条件中的等式改为不等式，如a/b〈c/d，那么结论如何呢？已知a、b,c,d都是正数，且bc〉ad，则a/b〈（a＋c）/（b＋d）〈c/d．这是课本上的一道练习题（高中数学第二册（上）（人教版）第14页练习第5题），教学中若不注意，其丰富的内涵和研究价值便被忽略了．笔者在高三复习的后期回归教材的教学时。将此题抛给了学生，收到了意想不到的效果。     

密度三趣(初二)

1.趣用分比定理若b≠d,则a/b=c/d=(a+c)/(b+d)=(a-c)/(b-d)=k其中a/b=c/d=(a+c)/(b+d)称为合比定理,a/b+c/d=(a-c)/(b-d)称为分比定理. 例1 在测定液体密度时,有一位同学测出了液体的体积,容器和液体的总质量,实验做了两次。记录如下:     

数学竞赛中的离散型最值问题

变量在整数范围内取值的最值问题,称为离散型最值问题,本文介绍几种解决这类问题的方法。 一 化归法 这里介绍的是把多变量变为一个变量,即通过消元达到化归目的。 例1.若a、c、d是整数,b是正整数,且满足a b=d,b c=d,c d=a,那么a b c d的最大值是:(A)-1 (B)-5 (C)0 (D)1