关于∫10(lnx)2/1+x2dx的计算

通过构造两个辅助函数f(t)及φ(x),并分别将其展开为马克劳林级数及富里哀级数,在这两个级数各自收敛域内,当自变量t及x分别取某特定值时,得到同一级数,从而使这个积分问题得到了解决.     

关于∫0^1[（lnx）^2／（1＋x^2）]dx的计算

通过构造两个辅助函数f(t)及φ(x)，并分别将其展开为马克劳林级数及富里哀级数，在这两个级数各自收敛域内，当自变量t及x分别取某特定值时，得到同一级数，从而使这个积分问题得到了解决。     

定积分integral from n =0 to π/2(cosθ/(sinθ+cosθ))dθ的解法

定积分I=integral from n =0 to π/2(cosθ/(sinθ+cosθ))dθ有多种解法,除一般解法外,还有若干简单、灵巧的解法。以此为例,强调"一题多解"对学习数学的意义和作用。     

无穷积分integral from n=1 to ( ∞) (((sinx)/x)dx)的敛散性的判别和计算

本文就无穷积分0!sixn xdx这一反常积分问题,给出了Dirichlet判别法、留数计算法、Laplace变换(像函数积分法)、无穷级数(近似)计算法。这些无疑是解决诸如 ∞!sixn xdx类积分问题的有效手段。     

不等式(1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/2n)~2<1/2的六种不同证法

给出了不等式(1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/2n)2<1/2的六种不同证法。     

关于广义积分integral from n=0 to +∞(e~(-x~2) dx)的计算和推广

推导出广义积分(?)e-x2dx结果,并且用微分以及偏微分方程等方法求出几种含有e-x2类型的广义积分,并给出了此积分的几个应用。     

积分公式integral from n=a to b() f(X)dx=integral from n=a to b() f(a b-x)dx的应用解法和证法试探

本文从两个方面对公式的应用做了初步探讨。这两方面是计算含有三角函数的积分和证明有关积分的等式。     

级数sum from n=0 to ∞ (1/(n~2±a~2))的和

基于Fourier级数理论 ,求出两个重要级数 ∞n =11n2 ±a2 的和。     

关于定积分integral from n=0 to 2π (1/(a~2sin~2u b~2cos~2u)~n)du(n∈N,a,b∈R~ )的计算

提供一类含有三角函数的定积分的计算方法及计算公式。     

多种方法巧妙计算积分integral from n=0 to +∞((sinx/x)dx)

通过二重积分、含参变量无穷积分、黎曼引理、傅立叶级数展开及复变函数中利用留数计算实积分integralfromn=0to+∞((sinx/x)dx)     

关于不定方程(sum from X=1 to n(x~y))~5=(sum from X=1 to n(x~z))~t

本文利用∑nk=1kp的形式表达式解决了不定方程(∑nx=1xy)s=(∑nx=1xz)t.     

关于丢番图方程sum from k=1 to n(k!=q~m+a)

与阶乘有关的高次丢番图方程,一直是数论中引人关注的课题。本文研究了方程sum from k=1 to n(k!=q~m+a)主要结果为在一定条件下求出了它的全部正整数解,所用的方法仅限于取有限模。     

环R((-3)~(1/2))中两个引理之推广

得到了高斯整环R(m~(1/2))中两个定理,推广了文[2]的结果,给出了证明。     

级数∞∑i=1(-1)n+1 1/n的重排

级数∞∑i=1（-1）^n＋1 1/n收敛于1n2，再由公式Hn=1nn＋C=εn，得出该级数按一定规律重排后的级数的收敛值。     

关于不定方程x^3＋1=3y^2的解

丢番图方程的计算一直是数论研究中的一个热点问题,文章利用初等数论的方法,求得了不定方程的所有正整数解并给出了证明.     

关于方程α2(k+2,s(n))=α2(k+1,s(n))+α2(k,s(n))的正整数解

对任意正整数a,设S(a)为a的Smarandache函数,对任意正整数r和b,设a(r,b)是b的前r位数字所组成的数。2001年,Bercze提出了一个问题:如何确定方程a2(k 2,s(n))=a2(k 1,s(n)) a2(k,s(n))n,k∈N的所有解。更进一步,Bercze又提出另一个问题:设β(r,b)是b的后r位数字所组成的数,如何确定2β(k 2,s(n))=β2(k 1,s(n)) β2(k,s(n))的所有正整数解(n,k)。运用丢番图方程的相关知识,完整地解决了Bercze所提出的两个问题,即证明了方程(1)没有正整数解(n,k),同时确定了方程(2)的所有正整数解(n,k)。     

关于指数Diophantine方程nx+(n+2)y=(n+1)z

设n是正整数.本文运用Gel’fond-Baker方法证明了:当n>3×1015时,方程nx (n 2)y=(n 1)z无正整数解(x,y,z).     

关于丢番图方程sum from k=0 to (n-1) (1+2k)~r=(1+2n)~r

本文证明了,当 r,n 为正整数,方程 sum from k=0 to n-1(1+2k)~=(1+2n)~无正整数     

关于Diophantine方程x+y+xy=2~(p-1)

设p是素数,对于非负整数k,设F(k)=22k 1是第k个Fermat数,本文证明了:方程x y xy=2p-1没有正整数解(x,y)的充要条件是P=2或者P=F(k)且F(2k)也是素数.