三角形“四心”的向量式充要条件及其应用

2006年数学高考大纲中明确指出:要加强平面向量在平面几何中的应用.纵观近几年的高考题,我们已经体会到这种命题思想的变化.在平面向量在平面几何中的应用问题中,又以涉及三角形“四心”的试题为热点.由于三角形的“四心”与向量之间有着紧密的联系,这就为运用向量法解决这类“     

点击向量与三角形的交汇

2006年数学高考大纲中明确指出:要加强平面向量在平面几何中的应用。由于三角形是平面几何中最基本、最重要的图形,而且三角形中的线段可以视为向量,线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量式表示,三角形的“四心”与向量也有紧密的联系,这就为向量与三角形的沟通、交汇提供了条件。向量与三角形的交汇问题已经成为近几年高考的新热点,预计2006年的高考还要加大对这种问题的考查力度。下面结合部分高考题或高考模拟题介绍这种问题的四大类型,供复习参考。     

用向量的眼光“透视”三角形的“四心”

用向量作为工具研究平面图形是高中数学的重要方面,其充分体现了向量知识与平面几何的内在联系．故而对于三角形的“四心”（重心、外心、内心和垂心）而言,就更加明显;并且近几年的高考题中也不断出现用向量表示的三角形“四心”问题。因此,用向量的眼光透视三角形的“四心”,进而解决与之相关的问题,就显得尤为重要,下面就从这一方面人手。     

例谈向量与三角形的交汇

向量与平面几何的交汇已经成为高考数学试题中的一道靓丽风景．三角形是平面几何中的最基本、最重要的几何图形，而且三角形中的线与线的位置关系、数量关系均可用向量形式来表示，这就为向量与三角形的交汇提供了条件．本结合一些典型考题，谈谈向量与三角形的边角、三“线”及四“心”、面积的交汇问题．[第一段]     

一类三角形中的平面向量恒等式及其应用

三角形中的平面向量问题在高中数学中比较常见。探究一类三角形中的平面向量恒等式及其在解决平面几何问题中的应用,可以培养学生数形结合的思维习惯,为其解决三角形“四心”以及相关的几何问题提供新的视角。     

立足教材，把握教材习题编写方向——以“平面向量在平面几何中的应用”为例

平面几何是连接代数与几何的重要桥梁,文章教材中平面向量在平面几何中的应用展开探究,重点是讨论平面向量在具体问题中的具体应用,如三角形“四心”问题,平面内两线夹角问题,平面内线段比例长度问题,以及结合正余弦定理的应用,通过对课后习题的探究,展现平面向量这一工具在解决平面几何问题中的重要作用,希望能给其他的数学教师提供一些参考价值．     

三角形“四心”的向量形式及应用

对于三角形“四心”(重心、垂心、外心、内心)的有关向量问题是同学们学习中的一个难点,同时也是高考的一个热点．本文就此介绍三角形“四心”的向量形式的证明及应用,供大家参考．结论1(重心) G是△ABC的重心的充要条件是(?)=0．结论2(垂心) H为△ABC的垂心的充要条件是(?)．     

三角形“五心”及其有关的向量问题

近年来,有关三角形“心”的考题已频频出现在高考模拟题和高考试卷中,其考查形式有: 三角形有关“心”的向量表示形式:求三角形有关“心”的轨迹或轨迹方程．三角形有“五心”,即重心、外心、垂心、内心和旁心．三角形的五心有很多有趣的性质,它在平面几何中占在相当重要的地位,并且其与向量有关的问题也丰富多彩．     

三角形的“四心”与平面向量的结合

三角形的“四心”是指三角彤的外心、内心、重心和垂心．三角形的“四心”在高考试题中时常出现，但教材中没有作专门的论述，许多同学对此知识点的掌握是零碎的、模糊的．现通过一些典型题目，结合平面向量知识分析三角形的“四心”．     

向量视角下的三角形“四心”

三角形有外心、内心、重心、垂心,在平面几何中研究过三角形的“四心”的作法,在解析几何中可以利用方程的思想方法求三角形的“四心”,这两种方法,前者侧重几何特性,后者侧重代数运算.由于向量具有代数和几何的双重属性,以向量为视角,研究三角形的“四心”,可以揭示三角形“四心”与顶点及各心之间的联系.一、“四心”依托顶点,各具特色结论1设O是ABC所在平面内一点,则O为ABC外心的充要条件是|OA|=|OB|=|OC|(即点O到3个顶点距离相等)(OA OB)·AB=(OB OC)·BC=(OC OA)·CA=0(即O为三边垂直平分线的交点).证明如图1,设ABC的三…     

平面向量、解三角形

本专题包括平面向量和解三角形两大部分,其中平面向量主要包括向量的概念与运算、平面向量基本定理及其坐标表示、向量的数量积(模与夹角问题)、向量的应用问题等;解三角形主要包括正弦定理、余弦定理及其应用.近些年来,平面向量和解三角形的高考试题难易适中,一般为基础题或中档题,常在选择题、填空题中直接考查向量的概念、性质及其几何意义以及正、余弦定理在解斜三角形中的简单应用;在解答题中考查向量工具在平面几何、三角函数、解析几何等问题中的应用以及运用正、余弦定理等知识解决数学建模问题和与测量和几何计算相关的实际问题.     

用向量观点看三角形的"四心"问题

仔细观察近几年的高考试卷,发现一条重要的信息:有关三角形的“四心”问题在各地高考卷中屡屡出现,而且常考常新,几乎可以作为当年高考的一个亮点.何谓三角形的“四心”?简单地讲是三角形的四种重要线段(直线)相交而成的四个特殊点,分别是三角形的内心(三个内角的角平分线的交点)、外心(三条线段中垂线的交点)、重心(三条中线的交点)、垂心(三条高线的交点).下面通过高考题来简单地阐述如何将三角形“四心”问题用我们的新增知识———向量进行包装.例1(2003年江苏卷)O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA λ(…     

例谈三角形面积的向量形式

2007年高考数学大纲明确指出：会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．三角形是平面几何中最基本、最重要的图形,向量与三角形的交汇问题已成为近几年高考的热点问题．向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景．下面我们用向量方法来研究三角形的面积问题．     

巧构三角形重心 妙解向量难题

在高中教材中，平面向量的学习给解决平面几何问题带来了新的思维捷径，许多难题都可以用向量轻易解决，向量与平面几何的结合近年来逐渐成为高考命题的一种趋向．笔者通过对有关问题的研究，发现构造三角形重心的向量条件可解决一类与之相关的面积问题，现探讨此类问题的解决方法．     

用两向量平行、垂直解高考题

两向量平行、垂直的充要条件是高中数学《平面向量》这章中的重要内容，它们在解决高考题中有广泛的应用，也是高考向量知识的一个重点内容。     

共话向量心连心

在近几年的高考试题中,向量与三角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）相结合的问题逐年升温,形成了一道亮丽的风景线．下面以向量为视角,瞄准四“心”,促膝谈“心”,力争向量对对碰,共话向量“心”连“心”,但愿“心”中有数,期待“心”有灵犀．     

盘活向量条件 破解三类题型

平面几何与平面向量的结合是近年高考命题的一种趋向．给出有关向量条件，要求确定三角形的“心”（重心、垂心、外心、内心）、判断三角形的形状、探求三角形的面积之比是三类极富思考性、趣味性和挑战性，具有相当深度和难度的重要题型，是考查学生数学能力和素养的极好素材．下面精选12道典型例题并予以分类分析，旨在探索题型规律，揭示解题方法．     

平面向量与三角形的结合

《平面向量》一章是高中教材调整后的新内容，是屯体几何的基础，起着承上启下的作用．随着《平面向量》一章知识的不断完善，它与高中数学其他部分，如函数、立体几何、解析几何等知识结合的面也越来越宽，在近几年高考中分量逐年加大，尤其是平面向量知识与三角形知识结合的中等难度问题在高考中频繁出现，在学习中值得探讨与总结．灵活巧妙地使用平面向量知识中的相关性质、特殊位置关系及重要结论等判断三角形中的角、边、心等问题，显得尤为简洁明快．本文介绍有关平面向量知识与三角形知识结合的几种题型．供同学们参考．     

三角形的老大哥——四面体

2003年新教材数学高考题和2002年上海市春季高考题都涉及到三角形中的结论在四面体(有底面的三角面)中的推广，在数学竞赛中更是常见．二角形是最简单的平面图形，四面体是最基本的空间几何体，通过三角形与四面体的类比，可以看到平面几何与立体几何之间的衔接，也可以使奥赛内容与教学内容的交汇和渗透．     

巧构三角形重心 妙解向量难题

高中教材中平面向量的学习,给解决平面几何问题带来了新的思维捷径,许多难题可以用向量轻易解决．向量与平面几何的结合近年来已逐渐成为高考命题的一种趋势．笔者通过对有关问题研究,发现构造三角形重心的向量条件,可解决一类与之相关的面积问题．现探讨此类问题解决方法如下：