巧设必须合理 妙解还应防误

在学习等比数列时,老师布置了如下一道习题:“已知一个各项均为实数的数列,前四项之积为81,第二项与第三项之和为10,试求这个等比数列的公比”.许多同学采用的解法是:错解;设这个实数等比数列的前四项依次为 a/q~3,a/q,     

数列复习总动员

大纲分析数列这一章的考试内容主要包括:数列;等差数列及其通项公式,等差数列前n项和公式;等比数列及其通项公式,等比数列前n项和公式,相应的考纲知识要求为:     

一类特殊数列前n项和的求法探究

<正>解决非等差数列、等比数列的前n项和问题,主要有两种思想:(1)转化的思想,即将一般数列设法转化为等差数列或等比数列。(2)不能转化为等差数列或等比数列,往往通过裂项、并项、错位相减、倒序相加等方法。由一个等差数列与一个等比数列对应相乘得到的数列,我们常用错位相减法来进行求前n项和,但这一重要方法运算过程复杂且运算量大。就这一题型,下面介绍另外三种解法。一、构造等比数列法     

浅谈等比数列的典型题

等比数列是高考的热点内容,既考查等比数列的基本概念、基本性质和基本运算,也考查等比数列与其他知识的综合问题,本文谈谈等比数列的考题导向. 一、基本概念题,体会简约精神 问题1:等比数列的通项公式问题. 例1 已知数列{an}是等比数列,且a4+a7=9,a5+a8=18,an=64,求项数n. 分析:本题考查的是等比数列的定义及通项公式的应用,等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1,确定a1及q后,写出an关于n的表达式,再由an=64可求得n.     

例谈不同数列中相同项的求法

本文所研究的求不同数列相同的项可分为三类:第一类是等差数列与等差数列相同的项;第二类是等差数列与等比数列相同的项;第三类是等比数列与等比数列相同的项.     

差等比数列的通项公式与前n项和公式

本文对差等比数列的通项与前n项和进行探究,给出差等比数列的通项公式与前n项和公式。定义若数列{a_n}中,从第二项起,每一项与前一项的差成等比数列,则称该数列{a_n}为差等比数列。     

公比为±1的等比数列

众所周知,公比q≠1的等比数列的有些性质对于公比q=1的等比数列不适用,前n项和公式就是例证.同样,公比q≠-1的等比数列的有些性质对于公比q=-1的等比数列也不适用.因此在解决等比数列问题时,不可忽视q=1及q=-1的等比数列. 先看下面的命题: 若{a_n}是等比数列,S_n是其前n项和,则     

类比不当引起的错误分析

解：不成立。等比数列依次k项的和可能为0（如等比数列1,-1,1,-1,…,的依次2项的和构成的数列为0,0,…）,而0是不能作为等比数列的项的,所以等差数列中的这个结论在等比数列中不再成立。     

公比为±1的等比数列

众所周知 ,公比 q≠ 1的等比数列的有些性质对于公比 q=1的等比数列不适合 ,前 n项和公式就是例证。同样 ,公比 q≠ - 1的等比数列的有些性质对于公比 q=- 1的等比数列也不适用 ,因此在解决等比数列问题时 ,不可忽视 q=1及 q=- 1的等比数列。先看下面的命题 :若 {an}是等比数列 ,Sn 是其前 n项和 ,则Sk,S2 k- Sk,S3 k- S2 k,… ,Sn k- S(n- 1) k,…是等比数列。很多书刊都视它为真命题 ,其实这个命题是一个假命题 ,现举反例如下 :若 {an}是公比为 - 1的等比数列 ,且 k为偶数时 ,Sk= S2 k- Sk=S3 k- S2 k=… =Snk- S(n- 1) k=… =0 ,∴…     

等比数列前n项和的一个性质及其应用之我见

许多书刊中,都流行着如下一个命题:"设等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,….,S(k+1)n-Skn,…也是等比数列".并且将这一命题当作等比数列前n项和的一个重要性质加以应用.     

让学生主动地学习等比数列求和

本文以“等比数列的前n项和”这一节课为例,介绍我们开展“愉悦教学法”的一些做法.1.创设情境,布疑激趣在简要复习等比数列的概念和通项公式之后,我开始导引新课:“现在,一个穷人遇到了等比数列的难题,我们大家一起来帮他解决,好     

Sn，S2n-Sn，S3n-S2n是等比数列吗

在很多书刊中 ,均可看到如下的一道命题 :等比数列 {an}共有 3n项 ,其前 n项和记为 Sn,则 Sn,S2 n- Sn,S3n- S2 n也是等比数列 .事实上 ,该命题是一个假命题 ,例如 :有穷数列 1 ,- 1 ,1 ,- 1 ,1 ,- 1的前两项和、中两项和及后两项和 ,组成的数列为 0 ,0 ,0 .显然不是等比数列 .一般地 ,等比数列 {an}只有满足条件 1 q … qn- 1≠ 0时 (其中 q为公比 ) ,才能具有下列性质　若数列 {an}是等比数列 ,公比为q,其前 n项和记为 Sn,当 1 q … qn- 1 ≠ 0时 ,则数列 Sn,S2 n- Sn,S3n- S2 n,… ,S(k 1 ) n-Skn,…是等比数列 (这里 k∈ N…     

也谈一些新定义的数列

文[1]给出了五个新定义数列(等和数列、等积数列、差等比数列、双等差数列、双等比数列),并给出了它们的通项公式与前n项和公式及性质,这类数列确实是培养学生迁移和探究能力的好素材．本文再给几个新定义数列,供参考. 1．和等比数列定义:数列{an}中,从第三项起,每一项与前一项的和成等比数列,则称该数列{an}为和     

数列与不等式易错题

易错点扫描1.混淆等比数列与等差数列的性质;2.混淆等比数列的肯定与否定的证明;3.忽视"项"的位置;4.忽视利用等差、等比数列的特殊项或性质求参数;5.等比数列求和忽视"q=1"的讨论:6.利用数列通项a_n与前n项和S_n     

利用等比数列性质巧解题

"数列{an}是等比数列,若m+n=p+q则am an=ap aq",这是等比数列的一条性质,利用这条性质解决一些等比数列问题,往往可使得解题过程简洁,找到解题的捷径。例题1:已知数列{an}为等比数列,若an>0,且a1a5+2a3a7+a4a10=36,求a3+a7的值。思考一:已知数列{an}为等比数列,故可考虑利用等比数列的通项     

关于等比数列中是否存在共项成等差的理论证明

众所周知:从数形结合的角度来说,指数函数与一次函数是不存在两个以上的交点,但高中数学并无理论证明的要求;特殊的函数——等比数列和等差数列是否存在四项以上的共项呢?(共项:当n为同一个值时,等比数列中四项ar,as,at,au是否也是等差数列中同一位置的项)     

关于等比数列定义的建议

统编教材中等比数列的定义是: 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一常数,这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示。该定义有一定的局限性。例如数列:1,x,x~2,……x~n,……每一项与它前一项的比都是x,不是常数。此数列究竟是否等比数列?用书中的定义就无法判断。所以建议等比数列的定义改为用数学语言描述:     

一道课本习题结论的探索和引申

全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第一册(上)复习参考题三A组的8题是:已知a、b、c、d成等比数列(公比为q),求证:(1)如果q≠1,那么,a b、b c、c d成等比数列.(2)略.对于这道题的证明并不困难,但这道题的结论:"等比数列相邻两项之和也成等比数列"     

非等差、等比数列通项公式求法浅谈

本文从以下几种方法论述非等差、等比数列的通项公式的求法:取例数构造等差数列;取对数构造等比数列;数列各项同时加上某一常数构造等差或等比数列;数列各项加不同的变量(或变式)构造等差或等比数列;数列前后相邻两项的和(或差)构成等差或等比数列.     

一个简单的结论所引发的思考

原题各项均不为零的等差数列的第2、3、6项成等比数列,则该等比数列的公比为多少?(易求出q=1或3)变式各项均不为零的等差数列的第2、3、4项成等比数列,则该等比数列的公比为多少?