塞瓦定理的等价定理及其应用

众所周知,塞瓦定理在证明三线共点问题时的功用可以与梅涅劳斯定理在证明三点共线问题时的功用媲美.本文介绍一个与塞瓦定理等价的定理,有时候用它来证明三线共点比用塞瓦定理更简捷、方便.定理设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB(或其延长线)上的点,     

塞瓦定理与三线共点

三线共点问题是数学竞赛中的热门问题之一,各种辅导书上多有介绍,许多书上都提到可用塞瓦定理的逆定理来证明,但例题偏少且对这一方法的强调也不够,实际上,塞瓦定理的逆定理应是证明三线共点的首选工具之一,凡是具有这种图形或添加辅助线后可作出这种图形的题目,都可以考虑使用塞瓦定理的逆定理,成功率是很高的。     

相似形复习中加强对两个复习题的指

众所周知,在平面几何里,梅涅劳斯(Menelaus)定理和塞瓦(Ceva)定理常被用来证明几何图形中的点共线和线共点问题,有关这方面的教学已经超出了中学数学教学大纲的要求,因而对中学生、特别是对初中学生讲这方面的内容,是并非必要的.部编初中数学课本对这两个定理作了适当的处理,把它们安排在讲过相似形后的复习题中,(见全日制十年制学校初中数学课本几何第一册第235页)为便于引用,现将这两     

卡诺定理的若干应用

数学家卡诺曾经发现，三角形与二次曲线之间存在一种非常美妙的关系．即卡诺定理设△ABC的三条边AB、BCCA（或其延长线）与一条二次曲线分别相交于P与P’、Q与Q’、R与R’（如图1），则这个命题的证明可参看拙文[l]，这里不赘述．利用这个定理，我们可以推导出一系列有趣的结论来．命题1设△ABC的三条边AB、BC、CA（或其延长线）与一条二次曲线分别相切于P、Q、R（如图2），则AQ、BR、CP三直线共点或互相平行．证曲线的切线是割线的特例，故由卡诺定理可知于是，由塞瓦定理的逆定理可知，AQ、BR、CP三直线共点或互相平行．…     

平面几何中几个常用的定理

第一讲梅涅劳斯定理和塞瓦定理梅涅劳斯(Menelaus)定理和塞瓦(Ceua)定理是研究三角形中“三点共线”与“三线共点”问题的两个互为对偶的著名定理,它们在解决数学竞赛题中,应用非常广泛. (一)梅氏定理及其逆定理     

角元塞瓦定理及其应用(二)

（本讲适合高中）十年前，在数学竞赛中，证明平面几何中的三线共点问题时，首选的方法是同一法，行之有效的方法是同一法，用得最多的方法还是同一法．近几年来，同一法的老大地位已逐渐让位于塞瓦定理的逆定理，其中当然包括角元塞瓦定理的逆定理．下面给出角元塞瓦定理的逆定理．     

塞瓦定理的推广及其应用

意大利数学家塞瓦(G.Ceva)在1678年发表了下面十分有用的定理:塞瓦定理.设X、Y、Z分别是三角形ABC三边BC、CA、AB上的点,如果直线Ax、ByOZ共点,则BX/XC·CY/YA·AZ/ZB=1逆定理.设X、Y、Z分别是三角形三边BC、CA、AB上的点,如果BX/XC·CY/YA·AZ/ZB=1那么直线AX、BY、CZ共点。我们可将塞瓦定理推广到四面体中。定理1设E、F、G、H、M、N分别是四面体ABCD     

巧用根轴与根心定理证明两线垂直

根轴定理与根心定理都是数学竞赛中的重要定理.根轴定理两圆的根轴与连心线互相垂直.根心定理三个圆两两之间的三条根轴或者互相平行或者交于一点(即根心).图1例1如图1,在△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,直线FD和AC交于点N.证明:(1)OB⊥DF,OC⊥DE;     

立体几何证明中直观结论直接应用于逻辑证明的问题和对策

1问题 人教A版必修2等角定理(如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补)的推导过程得出:平面中的公理定理对于空间图形,需要经过证明才能应用.作业中的证明过程必须以书本上出现的公理定理为基础,不能以直观结论或自认为正确的结论作为证明依据.笔者在“直线与平面平行的判定和性质”教学中,学生作业中出现了几个典型的错误证明.现例举如下: 例1 求证:如果一条直线和两个相交平面平行,则这条直线和两个平面的交线平行.     

塞瓦定理教学浅议

如图1,设AX、BY、CZ分别是△ABC的顶点与其对边上任意一点的连线(塞瓦线),如果这三条线共点,则 BX/XC.CY/YA.AZ/ZB=1。这就是塞瓦定理。证明这一定理时只须注意到高相等的两个三角形的面积与它们的底边成比例就可以     

浅谈平行截割定理之“逆”

平行线分线段成比例定理(三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例)(见初中几何第二册第十五页)(简称平行截割定理)是平面几何中一个很重要的定理.该定理的思想方法是利用位置关系(平行)去判断数量关系(成比例).是相似三角形一章的理论基础.它在证明三角形的相似,线段成比例或相等及三角形的内角平分线性质定理、逆定理的证明中都起着极为重要的作用.本文着重讨论平行截割定理之逆命题.     

几个重要定理的思考

本文在梅涅劳斯定理、塞瓦定理和笛沙格定理分别给出判断诸点共线或诸线共点准则的基础上。首先探讨了塞瓦定理与笛沙格定理的一致性;接着分析研究了塞瓦定理和梅涅劳斯定理的统一性,并给出这两个定理的对立统一形式——[M—C]定理。又进一步揭示了[M—C]定理与射影几何中的帕斯卡定理和他成对偶的布列昂雄定理(包括退化的情形)之间的内在联系,从而形成了这些重要定理的完整体系。     

塞瓦定理和梅涅劳斯定理的一种向量证法

平面向量的一个主要应用是解决一些平面几何问题,塞瓦定理和梅涅劳斯定理是平面几何中的两个重要定理,人们自然想到如何利用平面向量的知识证明这两个定理,这里给出一种向量证法. 现将两个定理叙述如下: 塞瓦定理 如图1,设O是△ABC内任意一点,AO,BO,CO分别交对边于D,E,F,则 AF/FB· BD/DC · CE/EA=1.(1) 梅涅劳斯定理 如图1,设一直线与△ADC的边AC,AD及CD延长线分别交于E,O,B,则 AO/OD· DB/BC· CE/EA=1 (2) 为了证明定理,先给出一个简单的引理: 若→OA=λ→ OB+μ→ OC(λ,μ为常数),则A,B,C3点共线的充要条件是λ+μ=1.     

用梅涅劳斯定理解竞赛题

众所周知,梅涅劳斯定理及其逆定理和塞瓦定理是几何证明中常用的重要定理,有趣的是,从1996年4月的全国初中联赛、集训队选拔考试,到10月份的全国高中联赛,再到1997年1月的冬令营共四个全国性的竞赛中各一道平面几何大题,尽管原答案都不是用海涅劳斯定理来证的,但事后却发现,4道题目都可以用梅涅劳斯定理和塞瓦定理来证,而且这些证法都是相当不错的。     

对几何逆定理的一点认识

几何中的定理不外乎两大类,其一是性质定理;其二是判定定理。其实,如果性质定理存在逆定理的话,那么其逆定理均可作为判定定理。如平行线性质定理的逆定理便可用来判定两直线是否平行;勾股定理的逆定理可用来判定一个三角形是否直角三角形;相交弦定理的逆定理可用来判定四点是否共圆;梅涅劳斯定理的逆定理可用来判定三点是否共线;塞瓦定理的逆定理可用来判定三线是否共点,等等。这样的例子是屡见不鲜的。     

塞瓦定理在证明三角形三线共点问题中的应用

塞瓦定理是平面几何中证明线共点问题的一个重要定理,利用它证明现行中学几何教材中有关三角形的几个三线共点问题时,不仅使此类问题的证法得到统一,而且证题思路简捷明快,对拓宽学生的知识面,提高证题技巧,培养能力都有一定的帮助,本文就此举例如下,以供参考。     

平面向量在平面几何中的应用例析

<正>向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题。(1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线向量定理;(2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质;(3)求夹角问题,利用夹角公式。下面结合具体的例题就平面向量在平面几何中的应用进行解法分析。一、例题呈现例1如图1,在平行四边形ABCD中,     

一道几何证明题的多种解法与教学启示

<正>一、原题呈现如图1,点C是BE的中点,四边形ABCD是平行四边形.(1)求证:四边形ACED是平行四边形;(2)如果AB=AE,求证:四边形ACED是矩形.二、解法荟萃1.第(1)问解题思路分析第(1)问的证明着重考察学生灵活运用平行四边的性质定理和平行四边形的判定定理相关知识,通过一组对边平行且相等的方法、两组对边分别相等、对角线互相平分、两组对边分别平行这几种方法求证四边形ACED是平行四边形.     

面积法证明几何定理

人教版初中《几何》第二册,《相似形》一章中的两个定理:定理1 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例(第208页).定理2 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边(第213页).     

怎样利用向量证明三点共线与四点共面问题

利用向量证明三点共线和四点共面问题是现行高中教材第二册(下B)中的基本问题,有些学生对这类问题无从下手乱写一通,找不到解决这类问题的关键,其主要问题就在于对利用向量证明三点共线与四点共面的实质不理解,解决这类问题的实质和关键主要是通过证明其所对应的向量共线和共面来解决三点共线和四点共面问题,就是把证明三点共线和四点共面问题转化为证明向量共线和共面问题,其主要理论是两个定理和两个推论及反证法。