三角形的证明考点过关检测卷

一、填空题 1．如图所示,△ABC经过全等变换后得到△A′B′C′,如果每个小正方形的边长为1,则B′C′=___,B′C′边上的高为___,S△A′B′C′=____     

两道几何竞赛题的简证

题1 已知△ABC的三内角〈A、〈B、〈C分别为π/、等π/7、4π/7,且三条角平分线分别与对边交于点A′、B′、C′．证明：△A′B′C′是等腰三角形．     

相似三角形的判定专题训练（三）

1。在△ABC和△A′B′C′中,∠B′=75°,∠C=50°．∠A′=55°．这两个三角形相似吗？     

关于三角形内接三角形的一个等积变换

命题 设△DEF是△ABC的内接三角形,D、E、F关于所在边中点的对称点为D′、E′、F′,则 (1)S_(△DEF)=S_(△D′E′F′) (2)S_(△DEF′)=S_(△D′EF),S_(EF′D′)=S_(△E′FD),S_(△FD′E′)=S_(F′DE)     

动量守恒定律应用例析

1）内容：系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的动量守恒． 2）数学表达式： （1）p1＋p2=p1′＋p2′，即m1v1＋m2v2=m1v′1＋m2v′2， （2）△p=△p1＋△p2=0     

难题征解

52.锐角△ABC中,AD、BE、CF是三条高,H为垂心,记△ABC、△HBC、△HCA、△HAB的外接圆半径之和为m,内接圆半径之和为n,求证m+n=△ABC周长。 (安徽怀中黄全福提供) 53 设△ABC的旁切圆半径和面积分别为r_a、r_b、r_c、△,△A′B′C′的三边和面积分别为a′、b′、c′、△′。证明或否定r_a/a′+r_b/b′+r_c/c′≥3 3~(1/2)/2 (△/△′)~(1/2)等号当且仅当△ABC与△A′B′C′均为正三角形时成     

匹窦定理的推广

设△ABC和△A′B′C′的边长分别是：a、b、c和a′、b′、c′，它们的面积记为△和△′，那么将有不等式     

三角形中一个不等式的应用

命题:△ABC的外接圆半径R与内切圆半径间成立不等式:R≥2r。证:(见原文图)过△ABC的顶点作对边的平行线,三直线围成△A′B′C′,则△ABC∽△A′B′C′,K=AB/A′B′=1/2。作外接圆的三条切线,分别平行于△A′B′C′的三边,围成△A″B″C″,(使△ABC的外接圆在为△A″B″C″的内切圆),△ABC∽△A″B″C″、     

关于匹寶不等式的讨论

设△ABC和△A′B′C′的边长分别为a、b、c和a′、b′、c′，它们的面积记为△和△′，则a′~2（-a~2+b~2+c~2）+b′~2（a~2-b~2+c~2）+c′~2（a~2+b~2-c~2）≥16△△′（1）这个不等式称为匹窦（Pedoe）不等式。     

涉及两个三角形的一个不等式

命题 设△A′B′C′的三边长和面积分别为a′、b′、c′,△′,△ABC对应边上的旁切圆半径和面积分别为r_a、r_b、r_c,△。则     

正弦定理的联想及其它

由正弦定理出发,我们可以得到如下定理:△ABC中,以sinA、SinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。且△ABC∽A′B′C′,△A′B′C′外接圆直径为1。证明:设△ABC外接圆半径为R, sinA+sinB=1/2R (a+b)>1/2R·C=sinC。同理可证 sinA+sinC>sinB,sinB+sinC>sinA。因此以sinA、sinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。由正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC,因此△ABC∽△A′B′C′,则A=A′,B=B′,C=C′。设△A′B′C′外接圆半径为R′,对△A′B′C′施行正弦定理,则sinA/sinA′=2R′=1。由这个定理出发,有下面的二个应用。一、关于三角形中一些恒等式和不等式的互证     

每期一题

题:过锐角三角形△ABC顶点分别作该三角形外接圆的三条直径AA′、BB′、CC′,则△ABC的面积等于△Ab′C、△CA′B、△BC′A的面积之和(芜湖市初中数学竞赛命题小组)     

等角共轭点一个性质的推广

定理　设P、Q为△ABC内两点 ,则AP·AQAB·AC +BP·BQBA·BC+CP·CQCA·CB≥ 1 . ( )等式当且仅当P、Q为△ABC等角共轭点 (即∠PAB=∠QAC ,∠PBC =∠QBA ,∠PCB =∠QCA)时成立 .证明 :如图 ,顺次以BC、CA、AB为对称轴作△PBC、△PCA、△PAB的对称图形 ,分别为△A′BC ,△B′CA ,△C′AB ,连结A′Q、B′Q、C′Q ,则易知 (以S△ 表示面积 ) :S△AC′Q+S△AB′Q=12 AC′·AQsin∠C′AQ +12 AQ·AB′sin∠B′AQ =12 AP·AQ(sin∠C′AQ +sin∠B′AQ)=12 AP·AQ·2sin ∠C′AQ +∠B′AQ2　·c…     

涉及两个三角形角平分线的一个不等式

定理 设△ABC和△A′B′C′的边长分别为a、b、c和a′、b′、c′;ω_a、ω_b、ω_c和ω′_a、ω′_b、ω′_c分别为相应边上的角平分线。则有 ω_aω′_a ω_bω′_b ω_cω′_c ≤3(aa′ bb′ cc′).(1)当且仅当△ABC和△A′B′C′均为正三角形     

二次均值三角形的性质

文 [1 ]证明了 :若ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的三边 ,则ａ′=ｂ2 ｃ2 ,ｂ′ =ｃ2 ａ2 ,ｃ′ =ａ2 ｂ2 可构成△Ａ′Ｂ′Ｃ′ .采用通用记号 (如△、△′表面积 ,ｐ、ｐ′表半周长 ,ｒ、ｒ′表内切圆半径 ,等等 ) ,则由公式(△′) 2 =△2 ∑ 1ｓｉｎ2 Ａ.可推出　△Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ间的一系列关系 :1 △′≥ 2△　　 ( =|ａ =ｂ=ｃ) ;2 2 ｐ≤ｐ′<3ｐ ;3 ｒ′≥869ｒｃｏｓ Ａ2 ｃｏｓ Ｂ2 ｃｏｓ Ｃ2 ;4 Ｒ′≥ 82Ｒｓｉｎ Ａ2 ｓｉｎ Ｂ2 ｓｉｎ Ｃ2 ;5 ( ｈａ′ｈａ)2 ( ｈｂ′ｈｂ)2 ( ｈｃ′ｈｃ)2 ≥ 6.二次均值三角形的性…     

一个有趣的三角形面积比定理

本文介绍一个有趣的三角形面积比定理,从中可以看到整体分割思想方法的奇妙之处。题目。已知△ABC,分别延长三边各1,2,3倍,得到△A′B′C′。问△A′B′C′的面积是△ABC面积的几倍?     

利用中线性质巧解两道竞赛题

定理 设D是△ABC的边BC中点,则S_△ABD=S_△ACD。这是中线的一个性质,本文巧用这一性质解两道竞赛。 例1 (81年芜湖市竞赛题)如图1,AA′,BB′,CC′是△ABC的外接圆直径,试证:S_△ABC=S_△ABC′ S_△BCA′ S_△CAB′。     

这样的两个三角形全等吗?

初中《几何》第二册(人教版)第49页有一道例题:已知,如图1,在△ABC 和△A′B′C′中,CD、C′D′分别是高,并且 AC=A′C′、CD= C′D′、∠ACB=∠A′C′B′,求证:△ABC≌△A′B′C′.证明过程详见课本.若把例题中条件∠ACB=∠A′C′B′换成 BC=B′C′,那么     

初中数学常见几种几何模型分析

<正>几何模型比典型的几何习题架构更小,整合几何知识点,便于同学们解答几何问题．希望同学们通过本篇论文的学习,能够养成利用数学建模求解几何问题的思维与习惯．一、半角模型例1如图1,∠AOB=2∠2,AO=BO,连接BF,将△BOF绕点O旋转到△AOF′的位置,连接EF′,EF,求证:△FEO≌△F′EF.     

巧解信息技术解答相似三角形问题

<正>相似三角形知识是“图形组合”板块中的重要内容,在解答此类问题时,需要同学们通过直观想象,运用逻辑推理,科学辨别三角形的相似关系,然后得到结论．这对同学们空间想象能力要求较高,需要有直观的资源帮助我们了解相似图形的共性规律、基本特点．基于此,本文分析几道相似三角形问题,希望利用信息技术帮助同学们更直观了解图形．例1已知△ABC和△A′B′C′都是等边三角形,点O是BC和B′C′的中点,