圆锥曲线与二元二次方程

本文推证了圆锥曲线的标准方程，进而讨论曲线的性质及如何把一般方程化成标准方程的方法，并提出此方法的应用前景。有别于传统方法的是：无须进行坐标变换（平移、旋转）曲线在原坐标系中的位置一目了然，揭示曲线的对称轴与曲线本身的内在联系，并使标准方程与传统方程有机地统一起来。     

用图形计算器教 “椭圆与双曲线的定义”

“圆锥曲线方程”一章的教学安排,可以采用不同的方法：一种是分别研究椭圆、双曲线、抛物线的定义,方程,几何性质;另一种是把三种曲线作为一个整体来研究,先讨论它们的定义,再求各自的方程,最后研究各自的几何性质．前一种方法容易被学生接受,但容易削弱圆锥曲线之间的内在联系,显得重复;后一种方法可以使学生对圆锥曲线有一个整体的认识,也可以节省教学时间,但学生接受起来难度稍大．     

非标准圆锥曲线几何性质的探究学习一例

圆锥曲线是数学的重要内容之一 ,其中蕴含着丰富的数学思想方法 ,要学好圆锥曲线就必须掌握圆锥曲线的几何性质及其研究方法 .在复习圆锥曲线的性质时 ,我设计了下面的一个题目 ,在课堂上引导学生展开探索 ,以培养学生的探究能力、应用能力和创新能力 .例　探究曲线 C:( x -2 ) 2 +( y -2 ) 2= |x +y -3 |的几何性质 .探索目标 ,研究圆锥曲线的性质就是要研究 :曲线的离心率 ,准线方程、焦点坐标、中心坐标、顶点坐标、对称轴方程、渐近线等方面 .1　探索过程1.1　探索一教材中曲线的性质是由标准方程入手展开研究的 ,依此思路将本题中的方…     

焦点问题 分类剖析——圆锥曲线的焦点问题例析

在圆锥曲线中,其焦点既给圆锥曲线定“位”,又直接影响着圆锥曲线的某些“量”的变化,也就是圆锥曲线的众多性质都依赖于焦点,所以由焦点而引发出圆锥曲线的许多问题,使“过焦点问题”成为高考的热点题型,涉及焦点的高考试题已成为人们关注的热点.一、圆锥曲线的焦半径问题我们把连接圆锥曲线的焦点与曲线上任一点的连线段称为它们的焦半径,根据圆锥曲线的统一定义,很容易推导出圆锥曲线的焦半径公式.下面是用得较多的焦半径公式:(1)对于椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)而言,|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0.(2)对于双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)而言,|PF1…     

对新教材"圆锥曲线方程"一章的认识及教学体会

一、对新教材"圆锥曲线方程"一章的认识 新教材"圆锥曲线方程"一章是在原教材<平面解析几何>的第二章"圆锥曲线"的基础上改编而来的.原教材"圆锥曲线"一章包含了曲线与方程、圆、椭圆、双曲线、抛物线和坐标变换等六部分内容.     

巧用"设点法"解有关圆锥曲线弦的问题

直线与圆椎曲线的位置关系是高考中的重点,一般方法是直线方程与圆锥曲线方程联立,利用韦达定理,但计算量较大．可设出A（x1,y1）、B（x2,y2）,但不求出x1、x2、y1、y2,而是借助于一元二次方程根与系数的关系,整体代入使问题简化,不妨简称为“设点法”。采用“设点法”解有关圆锥曲线弦的问题,特别是有关圆锥曲线弦的中点问题会使计算简单化．下面通过几道例题加以验证．     

推导圆锥曲线方程的消参数方法

按一般教科书的顺序,是圆锥曲线在先,曲线的参数方程在后。如果在讲授曲线的参数方程时,运用本文所介绍的消参数方法重新推导圆锥曲线的方程,这不仅对学生熟练掌握和应用消参数法有益,而且对他们进一步深入认识圆锥曲线有益,同时对于他们将来学习空间解析几何也会有所帮助的。现将消参数方法简介如下。一、椭圆方程的推导求到定点F_1(-c,0),F_2(c,0)的距离之和为2a的点的轨迹方程(a>c>0)。解设M(x,y)为轨迹上任意一点,它到     

例谈用圆锥曲线的定义解题

圆锥曲线的定义是圆锥曲线一切几何性质的“根”与“源” ,是建立曲线方程的基础 ,许多涉及圆锥曲线的问题若能巧用定义求解 ,往往能化繁为简 ,达到简洁明快的效果 .1　求轨迹方程例 1　已知定点Ｐ(- 4 ,0 )和定圆Ｑ :ｘ2 + ｙ2 =8ｘ ,动圆Ｍ和圆Ｑ相切 ,又经过定点Ｐ ,求圆心Ｍ的轨迹方程 .　　　　　图 1　　分析　由于相切包含内切和外切 ,而两者的数量关系又不同 ,故须分类解之 .如图 1,Ｑ(4,0 ) ,圆Ｑ的半径为 4 ,设动圆圆心Ｍ(ｘ ,ｙ) ,其半径为ｒ=｜ＭＰ｜ .外切时 ,｜ＭＱ｜ =4 + ｜ＭＰ｜ ,即｜ＭＱ｜-｜ＭＰ｜ =4 .由双曲线定义知…     

一类共焦圆锥曲线族与曲线坐标方程

讨论了共焦圆锥曲线族x2/(s-1)+y2/(s-3)＝1(其中s为参数)的各种性质,并利用曲线坐标变换计算了该族圆锥曲线所成平面区域的面积.所得结果展示了通过曲线坐标方法把微积分应用于某些解析几何问题的技巧.     

求切线方程的几种方法

求圆锥曲线的切线方程,由于牵涉的知识面较广和解题中的技巧性较强,历来是学生们课外学习中一个饶有兴趣的内容,本文的目的在于,从不同于常规的角度去审视切线,并从中得到几种求切线方程的方法。一切线与平行弦中点轨迹已知曲线Ax~2+By~2+Cx+Dy+F=0 (1) 设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)是曲线上两点,PQ的斜率为K,M(x,y)为PQ为中点。则 Ax_1~2+By_1~2+Cx_1+Dy_1+F=0 (2)     

“圆的标准方程”说课稿

“圆的标准方程”是人教版高二（上）册第七章第七节“圆的方程”的第一节课。实际上圆是一种简单曲线，它是学生学习了“平面解析几何初步”部分“直线与方程”之后，“圆锥曲线”之前，从方程角度进一步研究圆及相关的实际应用问题；是从代数方法研究几何问题的。“圆的方程”是学生学习圆锥曲线的基础。因此，本节内容在解析几何这一部分起着承前启后、巩固与引导的作用。     

巧用圆锥曲线系解题

对于有些解析几何题,正面思考或按常规方法求解较难时,若能利用圆锥曲线系,巧设未知数,往往能起到事半功倍的效果,下举例说明.一、得用共交点的圆锥曲线系解题一般地过圆锥曲线C1:f(x,y)=0与圆锥曲线C2:g(x,y)=0的交点的圆锥曲线系方程都可以表示成:f(x,y)+λg(x,y)=0(λ≠-1)(不包括圆锥曲线C2),如过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为:x2+y2+D1x+E1y+F+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).例1已知圆C1:x2+y2+3x+4y+3=0,圆C2:x2+y2+4x+5y-1=0,求过已知两圆的交点,且过原点的圆的方程.解由已知不妨设过已知两圆的交点圆的方程为:x2+y2+3x+4y+3+λ(x2+y2+4x+5y-1)=0(λ≠-1).又圆过原点,将(0,0)代入圆方程可解得λ=3,从而所求的方程为:4x2+4y2+15x+19y=0.     

减少解析几何解答题计算量的技巧

技巧1:用好数形结合思想和“设而不求”法学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大.事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程以及“设而不求”法,往往能够减少计算量.像直线与圆锥曲线的相交关系,高考一般进行重点考查.这种凡涉及圆锥曲线中的弦长问题,我们常用的技巧是将直线与圆锥曲线方程联立,用根与系数的关系、整体代入和“设而不求”法,除了运用代     

“双向车道”让思维自然流畅——“曲线与方程”教学实践与反思

“曲线的方程和方程的曲线”是一节承上启下的内容,是对数学2中解析几何初步学习的总结,又是对后继圆锥曲线学习的奠基．学习这部分内容关键是要帮助学生从两个方面理解定义：即从曲线到方程和从方程到曲线．如何实现这一教学目标呢？要采用变式例题．怎样检验是否实现了这一教学目标呢？要将理论知识技能化．     

让学生在数学实验中学数学——借助现代信息技术建构椭圆概念的教学案例

1　问题的提出传统高中数学教材对圆锥曲线部分的处理是通过公理化方法展开的 ,即首先给出椭圆、双曲线和抛物线的轨迹定义 ,然后再通过推导其标准方程 ,去进一步研究圆锥曲线的性质 .这样处理固然有利于把对象知识从纷繁复杂的背景中分离出来 ,使学生易于抓住知识的本质 ,但笔者以为这样做也有一些不足之处 ,如缺乏对“圆锥”曲线的背景的论述 .为此 ,本文利用现代信息技术对有关内容进行了必要的整合 ,设计了一堂“椭圆及其标准方程”实验课 .目的是想借助数学实验帮助学生对椭圆进行必要的意义建构 ,并提出两种不同层次的教学目标 ,以期…     

圆锥曲线引课之众“设”纷纭

圆锥曲线是高中数学的重要内容．如何在“直线与圆的方程”和“曲线与方程”的教学基础上恰如其分地引出圆锥曲线的教学,并让学生充分认识圆锥曲线之间的“统一性”,是一个值得研究的课题．笔者所在的“教学行动研究小组”对此做了深入详细的专题研析,提出以下七种方案,可资教师们在圆锥曲线的整体（或局部）引入,兼及说明圆锥曲线间的统一性时借鉴与尝试．     

圆锥曲线切线的又一种几何作法

文[1]、[2]提出的几种圆锥曲线的切线的几何作图都是以先作出焦点为切线几何作法的必要条件。本文给出一种不一定借助焦点的圆锥曲线的切线的几何作法。 为作图方便,我们把“圆锥曲线的对称轴的几何作图”作为读者已知的基本作图问题而直接引用(见文[2])。另外过已知点作圆锥曲线的切线,有两种情况,就是点在曲线上和点不在曲线上,点不在曲线上时所指的点是使切线存在的点     

一类共焦圆锥曲线族与曲线坐标方程

讨论了共焦圆锥曲线族x^2/(s-1) y^2/(s-3)=1（其中s为参数）的各种性质,并利用曲线坐标变换计算了该族圆锥曲线所成平面区域的面积。所得结果展示了通过曲线坐标方法把微积分应用于某些解析几何问题的技巧。     

高考中圆锥曲线热点备忘录

热点之一圆锥曲线的定义、圆锥曲线方程圆锥曲线定义是其一切几何性质的“根”与“源”,是建立曲线方程的基础,揭示了圆锥曲线上的点与焦点及准线间的关系,是解析几何综合题的重要背景·圆锥曲线的方程是研究几何性质的重要载体·热点之二函数与方程的思想函数与方程的思想是贯     

几何画板与高中数学课堂教学的有效融汇——以《曲线与方程》的教学实践为例

正随着信息技术的不断发展,几何画板使数学知识的发生发展过程与结果的教育得到了更好地结合,使数学兴趣、情感与数学的理性思维教育得到有机的融合,为高中数学有效教学的实施提供了有利的技术保障.但几何画板与高中教学的整合,不是简单地应用,而是高层次的融合与主动适应."曲线和方程"位于数学选修2-1(人教版)第二章圆锥曲线与方程的第1节,是圆锥曲线与方程的入门课,学生对于曲线的方程与方程的曲线的概念的理解、坐标法求曲线方程以及证明以方程的解为坐