垂足三角形外接圆半径之间的一个恒等式

关于垂足三角形外接圆半径之间有下面一个恒等式:定理设△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,△ABC的面积,外接圆半径,内切圆半径分别为?,R,r,若△AEF,△BDF,△CDE的外接圆半径依次为R A,BR,RC,则cot cot cotA2B2C2R A+R B+RC2(R r)r=??.(1)证明如图,由文[1]知EF=a cos A,FD=b cos B,DE=c cos C,∵A2sinREF=A cos2sina A=A2sin cos,R A A=A H D AE BFC∴R A=R cos A.同理RB=R cos B,RC=R cos C.令cot cot cot,A2B2C2K=R A+R B+RC在△ABC中应用常见恒等式:?=rs,cot2422∑A=s?R?r?r,csc2422…     

《解直角三角形》和《二次函数》单元测试题

一、选择题(每小题3分,共30分,将正确答案的选项填在括号内)()1.在ΔABC中,A、B为锐角,且有sinA=cosB,则这个三角形是:A.等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形()2.sin70°、cos70°、tan70°的大小关系是A.sin70°>cos70°>tan70°B.tan70°>cos70°>sin70°C.cos70°>sin70°>tan70°D.tan70°>sin70°>cos70°()3.已知ΔABC中,AD是高,AD=2,D B=2,CD=2樤３，则∠BAC=A.105°B.15°C.105°或15°D.60°()4.已知圆柱的侧面积是100πcm2,若圆柱底面半径为r(cm),高线长为h(cm),则h关于r的函数的图象大致是:()5.直角坐…     

一类三角形问题的两种常规解法

三角形的问题一直是高考的重点,纵观多年的高考试卷,很多题目都是围绕三角形的角和边进行拓展,如何解决这一类的问题,严谨踏实不丢分,作者凭借多年的经验提出精彩的阐述,希望对同学们有所帮助.题:△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,tan C=sin A+sin B cos A+cos B,(1)求角C的大小;(2)若△ABC外接圆的直径为1,求a2+b2的取值范围.这是一道高三复习三角知识时     

一道三角题的证法探究

【题】已知ccooss42βα ssiinn42βα=1,求证:ccooss42αβ ssiinn24αβ=1.法1(三角换元)∵ccooss2βα2 ssiinn2βα2=1,∴可设ccooss2βα=sinφ,ssiinn2βα=cosφ,则sinφcosβ cosφsinβ=cos2α sin2α=1,∴sin(φ β)=1,∴φ β=2π 2kπ,k∈Z,∴sinφ=sin2π-β 2kπ=cosβ,同理,cosφ=sinβ,∴cos2α=cos2β,sin2α=sin2β,∴ccooss42αβ ssiinn24αβ=cos2β sin2β=1.法2(巧构直线与圆相切模型)由已知Accooss2βα,ssiinn2βα,B(cosβ,sinβ)都在单位圆x2 y2=1上,圆x2 y2=1过点B的切线方程l是cosβx sinβy=1,A点也满足此…     

“功率因数的提高”实验的改进

<正>电工实验“功率因数的提高”是电工课的一个基本实验。该实验的主要目的是研究并联于感性负载（日光灯电路）的电容器对提高电路功率因数的作用,及功率因数随并联电容而变化的规律。实验要求绘出cosφ—c曲线, 在学生实验报告中发现不少实验数据与理论结果不符,绘出的cosφ—c曲线误差很大。图1是学生实验报告中典型的cosφ—c曲线,经检查分析,产生上述问题的主要原因有以下两点:一是实验过程中电源电压波动较大,由于电工实验一般没配交流稳压电源,故电源电压受外界影响。原实验只要求在实验开始时测一次电源电压U,由于实验中是用功率表测有功功率P,用交流电流表测电流I,用公式cosφ=P/(IU)计算功率因数值。当电源电压U变化时,I,P均随之变化,若仍用一开始测得的U值代入,显然会产生很大误差。二是实验中所用的电容器其标称值与实际值误差较大,实验中用六只不同规格的电容器串、并联来组合的不同的电容值、使电容值是递增的,但检查发现组合的电容值误差很大,有的甚至出现时大时小的现象,针对上述原因,对实验做如下两点改进,一是要求每次测量时都重新同时读取P、I、U值,实验时将功率表、电流表、电压表放在一起,便于同时读取数据,一人读数,一人记录,这样可基本消除电压波动的影响。二是用较高准确度的?     

用课本结论简解九道高考题或竞赛题

一、用公式sin3α=3sinα-4sin3α简解题设中含"B=2A"的两道解三角形的高考题普通高中课程标准实验教科书《数学4·必修·A版》第138页的习题B组第1题是:证明:(1)sin3α=3sinα-4sin3α;(2)cos3α=4cos3α-3cosα.笔者发现运用上面的第一个公式"sin3α=3sinα-4sin3α"可以简解题设中含"B=2A"的解三角形问题.定理1:在△ABC中,若B=2A,则cos A=b/(2a),a(a+c)=     

从两道试题看物理的教和学

例1如图1所示电路中,电源电压不变。电阻R=6Ω,开关S闭合后,电流表示数为2A。求:(1)电源电压;(2)电阻R消耗的功率;(3)在原电路中电阻R两端并联一个电阻R1,为使电阻R1消耗的功率为6W,求电阻R1的阻值;(4)在原电路中串联一个电阻R2,为使电阻R2消耗的功率也为6W,求电阻R2的阻值。答案(1)电源电压U=IR=2A×6Ω=12V。(2)电阻R消耗的功率P=IU=2A×12V=24W。(3)电阻R1与R并联,电阻R1消耗的功率P1=U2/R1,6=122/R1。解得:R1=24Ω。(4)电阻R2与R串联,电路中的电流I2=U/(R R2)=12/(6 R2)。电阻R2消耗的功率P2=I22R2,6=I22R2。解得:R2…     

一个三角条件不等式的简便证法

“sinA/2sinB/2sinC/2≤1/8,(A+B+C=π)是三角形中常用到的一个不等式。这个条件不等式可以有多种证法。一般数学习题集、数学资料都把以下二个证法作为基本证法证法一:设sinA/2sinB/2sinC/2=t 则t=1/2(cos(A-B)/2cos     

课本变式题库

一、高中部分 我们对高中代数上册P.193例4“求sin~210°±cos~240° sin10°cos40°的值”进行演变。 变式1:cos~280° cos~240° cos80°cos40°=3/4。 变式2:cos~2A cos~2B cosA·cosB=3/4的充要条件是A B=2kπ±(2/3)π或A-B=2kπ±(2/3)π,(k∈Z)。 证明:先对原式进行恒等变形: cos~2A cos~2B cosAcosB =1 1/2(cos2A cos2B) cosA·cosB     

一个新发现的三角不等式

苏张延卫、陕西苟春鹏两位老师分别证明 3以下三角不等式 :在△ ABC中 ,有sin A 2 sin B2 3sin C3≤ 3,(1)cos A 2 cos B2 3cos C3≤ 3 3 . (2 )受文 [1]的启发 ,本文作者证得一个类似的新结果 :cot A 2 cot B2 3cot C3≥ 6 3. (3)其实 ,我们有下述定理　在△ABC中 ,对 k≥ 1有cot Ak 2 cot B2 k 3cot C3k≥ 6 cotπ6 k,(4 )等号成立当且仅当 A=π6 ,B=π3.证明　若 x>0 ,y>,且 x y<π,则cotx coty=sin(x y)sinxsiny=2 sin(x y)cos(x- y) - cos(x y)≥ 2 sin(x y)1- cos(x y) =2 cotx y2 .∴cot AR 2 cot B2 …     

常数变易两例

常量与变量是相互对立 ,相互统一的两个量 .在解决某些较为复杂的数学问题时 ,如果我们把某个特定常量看作变量 ,经巧妙的构思 ,则问题可柳暗花明 ,令人耳目一新 .略举两例 .例 1　设 9cos A+ 3sin B+ tan C=0 ,( 1 )sin2 B- 4cos Atan C=0 . ( 2 )求证 :| cos A|≤ 16 .解　在 ( 1 )式中 ,视“3”为变量 x,则 ( 1 )式化为 x2 cos A+ xsin B+ tan C=0 . ( 3)若 cos A=0 ,则不等式 | cos A|≤ 16 成立 .若 cos A≠ 0 ,则由 ( 2 )知 ( 3)式 (关于 x的二次方程 )的判别式为 0 .∴关于 x的方程 x2 cos A+ sin B+ tan C=0有两个等根 x1 =x…     

一个新的三角不等式

在△ABC中,成立以下不等式: cos A(cos B cos C)≤(2×6~(1/2))/9,(1) sin A(sin B sin C)≤(8×3~(1/2))/9,(2) sin A(cos B cos C)≤(8×3~(1/2))/9.(3)     

每期一题

题:设 A、B、C 是任意三角形三个内角,证明 cosA cosB cosC≤3/2,并问等号在什么情况下成立?证法一∵A B C=π,且它们中必有两个角(比方说 A、B)是锐角,因而cosA cosB cosC=2cos(A B)/2cos(A-B)/2 cosC≤2cos(A B)/2 cosC=2cos(π-C)/2 cosC=2sinC/2 1-2sin~2C/2=3/2-2(sinC/2-1/2)~2≤3/2显而易见,等号当且仅当 cos(A-B)/2=1及 sinC/2=1/2时成立,即△ABC 是等边的。     

也谈运用余弦定理解三角形的一类错误认识

<正>本刊2014年第11期发表了施元兰老师的文章"运用余弦定理解三角形的一类错误认识",^[1]施老师对文中例3:在△ABC中,已知a=6,b=5,A=2B,则c的值是_.给出了以下的解法1和解法2.解法1:由正弦定理可求得cos B=3/5,然后求出sin B=4/5,sin A=2sin Bcos B=24/25,cos A=2cos[1]施老师对文中例3:在△ABC中,已知a=6,b=5,A=2B,则c的值是_.给出了以下的解法1和解法2.解法1:由正弦定理可求得cos B=3/5,然后求出sin B=4/5,sin A=2sin Bcos B=24/25,cos A=2cos²B-1=-7/25,所以sin C=sin(A+B),sin Acos B+cos Asin B=44/125,再由正弦定     

余弦定理的应用

余弦定理和正弦定理是中学数学中的重要内容之一 ,两者可互为依据 ,相互推导 .随着学生学习的深入 ,知识面的扩大 ,抽象思维能力的提高 ,可进一步从不同的角度揭示二者的关系 ,加强应用 .余弦定理 :在△ ABC中 ,三边 a,b,c和它们所对的角∠ A,∠ B,∠ C之间有如下关系 :a2 =b2 c2 - 2 bc cos A,b2 =a2 c2 - 2 ac cos B,c2 =a2 b2 - 2 ab cos C.例 1　求证在△ ABC中 ,(1 ) a=b cos C x cos B;(2 ) asin A=bsin B=csin C.证 :(1 )由余弦定理b2 =a2 c2 - 2 ac cos B,c2 =a2 b2 - 2 ab cos C,所以 b2 c2 =2 a2 b2 c2 - 2 ac co…     

相似三角形的应用

相似三角形应用广泛,尤其在计算方面有它的独到之处,它常起到几何与代数之间相互沟通的桥梁作用。现举例如下:一、利用相似形求线段的长例1(如图1)在△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,若DE⊥AE,∠ADC=45°,DE∶AE=1∶5,BE=3,求△ABD的面积。解:在Rt△DEA中,设DE=x,则AE=5xAD=(5x)2+x樤2=樤26x在Rt△ADC中,∵∠ADC=45°,∴AC=DC=樤22AD=樤13x在Rt△BDE中,BD=32+x樤2=9+x樤2在Rt△BDE和Rt△BAC中,∠DBE=∠ABC则Rt△BDE∽Rt△BAC∴DEAC=BDBA,即x樤13x=9+x樤23+5x解得x1=2,x2=-92(x不能为负数,∴x2不合题意舍去)…     

一个三角形中不等式的简证及应用

在△ABC中,求证: sin2A+sin2B+sin2C≤9/4.(1) 证明 由柯西不等式,得 sin2C=sin2(A+B) (sin Acos B+sin Bcos A)2 ≤(sin2A+sin2 B)(cos2+cos2B), 从而由二元均值不等式得 sin2A+sin2B+sin2C≤(sin2A+sin2B)(cos2A+cos2B+1)≤[(sin2A+sin2B)+(cos2A+cos2B+1)/2]2=9/4.得证.     

三角形中的一个重要结论及应用

结论:在△ABC中,A、B、C为三角形内角,则sin A＞sin B(?)A＞B．证明:(必要性)sin A＞sin B(?)sin A-sin B=2cos(A B)/2sin(A-B)/2＞0．由条件知0＜(A B)/2＜π/2,-π/2＜(A-B)/2＜π/2,所以cos(A B)/2＞0,则必有sin(A-B)/2＞0,可得0＜(A-B)/2＜π/2,即A＞B．(充分性)若A为锐角或直角,由已知A＞B,则0＜B＜A≤π/2,于是     

数学模拟试题

一、填空题(本大题共12小题,每小题2分,满分24分)1.-2的倒数是.2.比较大小:-31-12(填“>”或“<”)3.成熟的红细胞没有细胞核,呈两面凹的圆形饼状,平均直径只有7.7微米(1微米=0.01毫米).用科学记数法表示7.7微米=米.4.在函数y=樤２-x 1樤x-1中,自变量x的取值范围是.5.计算:cot30° (π-3.14)°-(2-樤３）－１=.6.已知:实数a、b在数轴上的位置如图,化简樤（ａ b)2-(樤－b)2的结果是.7.若一个圆柱的侧面展开图是正方形,则它的侧面积与底面积的比是.8.如图,四边形ABCD内接于⊙O,过点C作CE∥AB,交AD的延长线于E,则与∠BCE互补的角分别是.…     

关于三角形外接圆半径的几个不等式

本文给出几个关于三角形外接圆半径的不等式,这些不等式包含了《数学通报》数学问题解答的1 429题(2003年第5期)与1 531题(2005年第2期).命题1设O为锐角△ABC的外心,△OBC,△OCA,△OAB,△ABC的外接圆半径分别为R1,R2,R3,R,则有不等式R1R2R3≥R3,(1)1R1+1R2+1R3≤3R,(2)1R21+1R22+1R23≥3R2,(3)三式中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.图1证因为O为△ABC的外心,所以∠BOC=2A.于是2R1=BCsin 2A=2R sin Asin 2A=Rcos A.同理2R2=Rcos B,2R3=Rcos C,从而R1R2R3=R38cos A cos B cos C,1R1+1R2+1R3=2R(cos A+cos B+…