直线“到角”“夹角”公式的应用

<正>到角公式:直线l_1到l_2的角α,即指直线l_1绕着与l_2的交点逆时针方向旋转到同l_2重合时所转过的最小的正角(如图1),tanα=(k_2-k_1)/(1+k_1k_2)(其中k_1,k_2是直线l_1,l_2的斜率).夹角公式:直线l_1与l_2的夹角β,即直线l_1与l_2相交所成的四个角中最小的角,tanβ=|(k_2-k_1)/(1+k_1k_2)|(其中k_1,k_2是直线l_1,l_2的斜率).     

一类对称直线方程的求法

解析几何参考书中有一类“求一直线关于另一直线对称的直线方程”的题目。解这类题有好几种解法,这里介绍一种解法,下面先引入一个“关于定直线对称的直线”之间的性质。性质如果已知定直线l,直线l_1关于l对称的直线为l_2,且l_1∩l_2=A,垂直l于点A的直线l_3到l_1、l_2的角分别为α、β,那么,α+β=π。     

异面直线的性质

空间两条直线有相交、平行、不共面三种可能的相互位置。我们知道,空间两条直线的夹角或交角的概念是从平面两直线的夹角或交角概念推广而来的,空间里平行线的传递性也是由平面内平行线的传递性直接推导的,事实上,将平面内直线之间相互位置的某些概念和性质推广引伸到空间去,可以相应地得到与其平行的结果,本文试图从平面到空间,用类比的方法,论证几个异面直线的性质定理。为了叙述简便起见,我们约定,MN为异面直线l_1、l_2的公垂线,M、N分别是l_1及l_2上的垂足,l_1和l_2的交角是θ(0〈θ≤1/2π)。     

走出两直线夹角概念的误区

两直线夹角定义可概括为:“从一条直线到另一条直线的角中,把不大于直角的角叫做两条直线所成的角,简称夹角.”这个概念虽然简单,但在解题时,仍有同学会不自觉地走进认识的误区,导致解题错误,下面剖析几例.     

“母子”图形的认识

如图1,三条平行线l_1∥l_2∥l_3,且截直线a,b于A、B、C、D、E、F,所以有AB:BC=DE:EF。这是平行线分线段成比例定理的原始图形,当直线a、b移动后且交点落在直线l_1上或直线l_2上时,原始图形可演变成下列图2和图3的形式。我们把原始图形叫做定理的“母”图形,演变后的两个图形,叫做“母”图形的“子”图形。     

异面直线距离的几种求法

求异面直线的距离,在立体几何中是一个难点。怎么求?条件不同,方法各异。很多刊物介绍了其代数和几何求法,下面再介绍几种代数求法。式1 如果l_1、l_2为异面直线,l_2交以l_1为交线的两平面π_1,π_2于A、B两点。若AB==m,又对l_1上任两点C、D,有AC=a、BD=b、∠ACD=a,∠BDC=β,l_1、l_2间夹角为θ,则l_1、l_2间距离: d=1/(2msinθ)(4a~2b~2sin~2a.sin~2β-(a~2sin~2a+b~2sin~2β-m~2sin~2θ)~2)~(1/2)     

用向量法解决空间角问题

用空间向量处理某些立体几何问题,可以为学生提供新的视角.在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量,可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具,使几何问题代数化,避免了添加辅助线作二面角的平面角的麻烦.从而提高学生的学习效率.1求两条异面直线所成的角用空间坐标系与向量方法解决夹角问题时,在求两直线的夹角α时,由于两直线的夹角的范围为α∈[0°,90°],可直接求出两直线的方向向量的夹角β,若这两向量所成的角β为锐角或直角时,这两向量所成的角β即为所求的角α(即α=β,如图1),若β为钝角时,所…     

运用向量法巧解计算题

本文就求异面直线的夹角,求直线与平面所成的角,求二面角,求点到平面的距离这几种题型,说一下它们的向量解法.1.求异面直线所成的角求异面直线所成的角时,只要找出这两条直线所在的向量,那么这两个向量所成的角(或其补角)就是异面直线所成的角.例1 如图,在Rt△AOB 中,∠OAB=π/6,斜边AB=4,而 Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 AO 为     

一道作业题引发的思考

<正>一、解析一道作业题不久前笔者在教学"直线与方程"一章时布置了一道作业题:已知直线l_1:ax-by+4=0与直线l_2:(a-1)x+y+b=0平行,且原点到两直线的距离相等,求实数a,b的值.批改时发现有十多位学生不会做,第二天课堂上笔者及时作了评讲,主要过程如下:因为l_1∥l_2,所以     

不画图,求三角形内角的三种方法

在现行高中教材中,利用两直线夹角公式求三角形的内角时,教材是根据已知条件画出这个三角形,然后根据图形来确定3个内角的始边与终边,即确定内角是“谁到谁”所成的角,依公式tanθ=1k2 -k2kk11,(k1k2≠-1)(1°)再分别求出两个内角(第3个内角用三角形内角和公式求出).本文将介绍     

数学解题错误例评

1．概念不清,引起错误例1．求直线l_1:y=-2x 3到直线l_2:y=x-(3/2)的角θ。[错解]∵tgθ=(1-(-2)/(1 1×(-2)=-3,∴θ=arctg(-3)。[点评]本题错在反正切函数的概念不清。由l_1到l_2的角θ的正切值是-3,知θ是钝角。而arctg(-3)表示一个负锐角,显然不等。正确答案是θ=π-arctg3。     

到两直线距离的和与差为定值的点的轨迹

笔者最近让学习学科教学法I的大三学生做文[1]所提出的轨迹问题,即求到两相交直线距离的和与差为定值的点的轨迹,学生的解答令人不甚满意,遂有撰文讨论该问题的想法.1.到两相交直线距离和为定值的点的轨迹第一步：建立平面直角坐标系.以两相交直线的交点为原点,它们的一条角平分线为x轴建立平面直角坐标系（图1）.第二步：列方程.设两直线的方程分别为l_1：kx-y=0（不妨设k〉0）和l_2：kx＋y=0.又设定值和为a,     

求与两条平行直线平行的直线方程的简便方法

我们知道,若两条平行直线的方程为,l_1:ax+by+c_1=0,l_2:ax+by+c_2=0(c_1≠c_2)则ax+by+c_1+λ(ax+by+c_2)=0(λ≠0,λ≠-1)是与l_1、l_2都平行的直线l_3的方程。设M(x_0,y_0)是l_3上任一点,那么ax_0+by_0+c_1+λ(ax_0+by_0+c_2)=0(?)λ=-((ax_0+by_0+c_1)/(ax_0+by_0+c_2)) (1)因此|λ|表示l_3到l_1的距离与l_3到l_2的距离之比。当λ>0时,从(1)知(ax_0+by_0+c_1)/(ax_0+by_0+c_2)<0,这时,l_3介于l_2、l_3之间;当λ<0时,由(1)知,(ax_0+by_0+c_1)/(ax_0+by_0+c_2)>0,这时,l_3位于l_1、l_2之外。这样,我们推出下列有用的结论。定理:若两条平行直线l_1:ax+by+c_1=0,l_2:ax+by+c_2=0(c_1≠c_2),则到l_1的距离与到l_2的距离之比为|λ|的直线l_3的方程为ax+by+c_1+λ(ax+     

平行线分线段成比例定理的面积证法

平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图1,已知直线l_1∥l_2∥l_3,直线l_4交l_1、l_2、l_3分别于点A、B、C,直线l_5交l_1、l_2、l_3分别于点D、E、F.     

谈高中数学中“到角”与“夹角”的教学

人教社高二（上）数学教材中，当两条直线相交时，才定义两类角——“到角”和“夹角”，并给出了相应的计算公式．那么这两类角有什么区别和联系呢？又有什么用途呢？笔者在实际教学过程中作了如下的处理和调整：     

怎样确定两条异面直线的公垂线的位置

本文对如何确定两条异面直线的公垂线的位置,怎样在图形上准确作出两异面直线的公垂线就这个问题作一点探讨。先引进一个定义空间两条射线所成的角: 设AB、CD是两条射线,过空间任一点O,分别作与AB、CD平行且同向的射线OM、ON则∠MON叫做射线AB与CD所成的角。根据定义知道,两条射线所成的角θ与点O的位置无关,且O≤θ≤π。若射线AB与CD所成的角为θ,则射线AB与DC所成的角就为π-θ。定理:设l_1与l_2为     

异面直线距离的求法

两条异面直线间的距离,有下述六种求法。不妥之处,请批评指正。 一、定义法 由异面直线的定义知,设l_1⊥l_2如果AB分别交l_1、l_2于A、B两点,并且AB⊥l_1,AB⊥l_2,那么AB的长就是l_1、l_2间的距离。所以,过l_1作平面α,使α⊥l_2,利用三垂线定理,便可确定异面直线l_1、l_2间的距离。     

异面直线距离的一个公式及应用

定理:l_1与 l_2为异面直线,l_1上两点 A、B 到 l_2的距离分别为 a、b,二面角 A-l_2-B 为θ,则 l_1与 l_2间的距离 d=absinθ/(a~2+b~2-2abcosθ)~(1/2)     

错在哪里

题:已知两条直线l_1:x+(1+m)y=2-m,l_2:2mx+4y=-16。(1)当m为何值时,l_1与l_2相交;(2)求直线l_1和l_2交点的轨迹。解 (1)将两直线的方程组成方程组 x+(1+m)y=2-m 2mx+4y=-16 这时 A_1/A_2=1/2m,B_1/B_2=1+m/4。当A_1/A_2≠B_1/B_2 解得m≠1或m≠-2 (2)将两直线的方程组成方程组,消去参数m,得:x~2+xy-2y~2-2x-10y-8=0 即(x-y-4)(x+2y+2)=0     

巧用法向量解决空间几何问题

一、求空间角1.斜线与平面所成的角先将斜线和平面所成的角转化为两直线所成的角,再转化为向量的夹角.设直线a的方向向量和平