一个三角不等式的证明与应用

定理 对于αi,βi,γi∈（0,π）,其中i=1,2,且α1＋α2＋β1＋β2＋γ1＋γ2=2π则sinαisinβ1sinγ1＋sinα2sin2sinγ2≤2sin（α1＋α2）/2 sin（β1＋β2）/2sin（γ1＋γ2）/2（1）当且仅当α1=α2,β1=β2,γ1=γ2时,（1）式取等号。     

两角和与差的正余弦公式的几何解释

两角和与两角差的正弦与余弦的公式有如下四个： sin（α＋β）=sinαcosβ＋cosαsinaβ （Sα＋β） （1）     

三角恒等变换的技巧及其应用

一、技巧1.变角例1：求证：sin（2α＋β）sinα-2cos（α＋β）=ssiinnαβ证明：∵2α＋β=α＋β＋α∴sin（2α＋β）-2cos（α＋β）sinα=sin[（α＋β）＋α]-2cos（α＋β）sinα=sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα-2cos（α＋β）sinα=sin（α＋β）cosα-cos（α＋β）sinα=sin（α＋β-α）=sinβ∴sin（2α＋β）sinα-2cos（α＋β）=ssiinnαβ评析：＂角＂是三角函数的基本元素,研究三角恒等变换离不开＂角＂的变换.对单角、倍角、和角、差角等进行适当的变形转化,往往能起到化难为易、化繁为简的作用.（甘肃省通渭县第一中     

三角形内角的一个正切性质

克罗地亚的高中是四年制的,2008年克罗地亚国家数学竞赛州赛三年级试题中有一题如下： 试题 设α、β、γ为某三角形的三个内角．证明：若α、β、γ满足sin3α＋sin3β＋sin3γ=0,则它们之中有一个角为60°．     

u=sin(α-β)+sin(β-γ)+sin(γ-α)最值的一种求法

题 若α、β、γ∈R，求u=sin（α-β）＋sin（β-γ）＋sin（γ-α）的最大值和最小值．     

算子在解析函数上的应用

用A表示在E={z：｜z｜〈1）内解析，具有形式f（z）=z＋^∞∑n=2 anzn的全体函数组成的类。当f∈A时,记S^＊（γ）,C（γ）,K（β,γ）,K^＊（β,γ）为γ阶星象函数，γ阶凸象函数，γ型β阶近于凸函数，γ型β阶拟凸函数类，0≤β〈1,0≤γ〈1.用算子D^α刻划上述四个函数类的新子类Sα^＊（γ）,Ca（γ）,Kα（β,γ）,Kα^＊（β,γ）建立了包含关系。     

四面体中的三个定理及其应用

众所周知,在三角形中有正弦定理、余弦定理、射影定理,它们揭示了三角形中边角间的重要关系.这三个定理联系紧密,并可互相推出.在四面体中,也有类似的三个定理,它们表示了面角与二面角之间的关系,当然也可彼此互推. 在四面体O-ABC中,设三个面角分别为α、β、γ,对应的二面角分别为θ-α、θ-β、θ-γ,（如图1）则有 定理1 cosα=cosβ·cosγ sinβ·sinγ·cosθ_α cosβ=cosα·cosγ sinα·sinγ·cosθ_β cosγ=cosα·cosβ sinα·sinβ·cosθ_γ 证明 利用有关射影的定理:（1）平面上折线的各边射影之和等于封闭线段在射影轴上的射影.（2）直线在轴上的垂直投影等于被投线段的长度乘以该线段和轴的交角的余弦.     

应用张角公式巧解连比问题

1.张角公式如图1,设直线ACB外一点P对于线段AC、CB的张角分别为αβ,则sin（α＋β）/PC=sinα/PB＋sinβ/PA证明：因为S△PAB=S△PAC＋ S4PCB,所以1/2PA.PB·sin（α＋β）=1/2PA·PC·sinα＋1/2PC·PB·sinβ,两边同除以1/2PA·PB·PC,即得所证等式.     

球面三角公式的向量证法

众所周知,在球面三角中有正弦定理及余弦定理:sinA/sinα=sinB/sinβ=sinC/sinγ及cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.其中 ABC 是以 O 为球心的单位球上的一个球面三角形,∠BOC=α,∠COA=β和∠AOB=γ;平面 OAB 和 OAC 的夹角为∠A,平面 OBC 和 OBA 的夹角为∠B,平面OCA 和 OCB 的夹角为∠C.下面我们采用向量的方法来证明这两个     

三角形内角的余弦性质

克罗地亚的高中是四年制的,2008年克罗地亚国家数学竞赛州赛三年级试题中有一题如下:试题设α、β、γ为某三角形的三个内角.证明:若α、β、γ满足sin3α+sin3β+sin3γ=0,则它们之中有一个角为60.笔者在文[1]对以上试题进行了探究,即对三角形内角的正弦性质进行推广.今对三角形三个内角     

巧用正、余弦有界性解题

例1已知sinαsinβ=1,求cos（α＋β）的值． 分析求cos（α＋β）运用和角公式,根据条件sinαsinβ=1,直接求cosα cosβ,显得较困难．若从有界性,即｜sinα｜≤1,｜sinβ｜≤1出发,则可迎刃而解．     

由一道三角函数题错解引发的题源探究及应用

1．问题提出 问题已知0≤α〈β〈γ〈2π,且{cosα＋cosβ＋cosγ=0 sinα＋sinβ＋sinγ=0,求α-β的值。     

正弦平方差公式的应用

sin2α－sin2β＝sin（α＋β）sin（α－β）在现行高级中学《代数》上册（必修）中是以习题形式出现的，但它却是一个重要的公式．因其形似x2－y2＝（x＋y）（X－y），故不妨称之为正弦平方差公式．合理地利用这一公式，可以使许多三角题得到简捷巧解．例1求sin’20”＋cos’50”＋sin20”cos50“的值．（1995年全国高考试题）解原式一sin’20”＋1－sin’50”十sin20”。。s50”一1＋sin（20“＋50o）sin（2矿一5旷）＋Sll20”C0550”1．＿＿＾1，＿＿。一1一手sin70o十手（sin70o－sin30o）2—”一’－2”—“”“’——”””—一34…     

关于解析函数的某类子族的若干性质

设（α,β,γ）表示在单位圆U={z∈C;｜z｜〈1}内形为f（z）=z＋a2z^2＋…且满足条件R｜αf（z）＋βzf＂（z）}〉γ （β〉0;0≤γ〈α≤1;z∈U）的解析函数族;本文我们给出了函数族R（α,β,γ）的系数充要条件,星象和凸象半径,极值点以及偏差估计,所得到的结果推广了一些相关文献的结果．     

解三角题常用的变换技巧

一、变函数例１（１９９５年全国高考题）函数y＝４sin（３x＋π４）＋３cos（３x＋π４）的最小正周期是（）A．６πB．２πC．２π３D．π３解用辅助角法将原函数变为y＝５sin（３x＋π４＋）（其中＝arctan３４），所以T＝２３π．选C．二、变角根据角的积、差、倍、半、互补、互余关系和问题的实际情况，对角进行变换，往往可使问题顺利得到解决．常用的变换有：２α＝（α＋β）＋（α－β），β＝（α＋β）－α＝α－（α－β），π４＋α２＝（π２＋α）／２，π４＋α＝π２－（π４－α）．例２已知sin（x－y）·cosx－co…     

函数问题中的周期条件与对称条件

1问题定义在R上的偶函数f(x)满足f(x 1) =-f(x),且在\[-3,-2\]上是减函数,α、β是锐角三角形的两个内角,则( ) A．f(sinα)＞f(cosβ) B．f(sinβ)＜f(cosα) C．f(sinα)＞f(sinβ) D．f(cosα)＜f(cosβ)分析问题：最后是要比较大小,显然要应用函数的单调性,而对于sinα、cosα、sinβ、cosβ来说,其所在区间     

以曲代曲证明不等式——切线法证明不等式的发展

用切线法证明不等式已有过不少研究，例如文[1]、[2]．其操作过程是：设f（x）是一个函数，用待定系数法决定不等式f（x）≤αx＋β（或f（x）≥αx＋β）中的常数α和β，     

一个三角形函数最值的行列式解答

题若α,β,γ∈R,求u=sin(α-β) sin(β-γ) sin(γ-α)的最大值和最小值.在本刊2006年第1期第40页上,应用4元均值不等式给出了该题的一种初等解法,其实,逆向利用行列式,可以给出该问题的一种巧思妙解.解u=sinαcosβ sinβcosγ sinγcosα-cosαsinβ-cosβsinγ-cosγsinα=sinαcosα1sinβcosβ1sinγcosγ1,构造点A(sinα,cosα),B(sinβ,cosβ),C(sinγ,cosγ),则|u|=2S△ABC. 1很明显,上面的三点A、B、C都在单位圆:x2 y2=1上.因为圆内接三角形,以正三角形的面积为最大,所以当△ABC为正三角形时,S△ABC取得最大值343,于是|u…     

正、余弦函数有界性的解题功能

｜sinx｜≤1、｜cosx｜≤1(x∈R),是三角函数中广泛应用的重要性质,恰当运用可使解题过程简捷流畅;反之,忽视正、余弦函数的有界性,是解题过程中出现错误的常见原因.下面结合实例介绍它的解题功能.一、求角【例1】已知6sin3β-cos22α=6,求α、β.解:原方程变形为6(sin3β-1)=cos22α,则有6(sin3β-1)≥0,即sin3β≥1因为｜sin3β｜≤1,所以sin3β=1,3β=2kπ 2π,即β=23kπ 6π(k∈Z),此时,cos2α=0,2α=kπ 2π,即α=12kπ 4π(k∈Z).评注:等式中含有两个未知数,需从正弦函数的有界性中挖掘隐含条件,寻找突破口.二、求最值【例2】求函…     

一道例题的疏误

本刊91年第1期《三角函数式的恒等变换与应用》一文的一例及其解答如下: 例12 已知(tg(α+β-γ))/(tg(α-β+γ))=tgγ/tgβ,求证sin2α+sin2β+sin2γ=0 证明:把已知化为 (sin(α+β-γ)cos(α+β-γ))/(cos(α+β-γ)sin(α+β-γ))=sinγcosβ/cosγsinβ由合分比定理,化简得 (sin2α)/(sin2(β-γ))=(sin(γ+β))/(sin(γ-β))