三角形内外接正三角形面积的最值

用几何方法证明任意三角形最大外接正三角形所处的位置和面积,并以此来推导出三角形的最小外接正三角形的位置和面积.证明任意三角形外接正三角形和内接正三角形位置和面积的关系,给出任意三角形内接正三角形的几何作法,推导出任意三角形最小内接正三角形和最大内接正三角形的面积和对应位置.     

西尔平斯基的杰作:衬垫、地毯、海绵

波兰数学家西尔平斯基(Sierpinski)在1915年制造出两件绝妙的“艺术品”——衬垫和地毯.把一个等边三角形均分成四个小正三角形,挖去其中间一个,然后在剩下的三个小正三角形中分别再挖去各自四等分时的中间一个小正三角形.如此下去可得到西尔平斯基衬垫,如图1.图1可以看出,无论重复多少步,总剩下一些小的正三角形,而这些小正三角形的周长越来越大且趋于无穷大,它们的面积和却趋于0.将一个正方形九等分,然后挖去其中间的一个小正方形;再将剩下的八个小正方形各自九等分后分别挖去其中间的一个小正方形;重复上面的步骤,由此得到的图形(集合)…     

类比设问 合情求解 引导教学——对一道中考题的分析

正题目:(2013年常州)用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子,小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的多边形称为格点多边形.设格点多边形的面积为S,该多边形各边上的格点个数和为a,内部的格点个数为b,则S=1/2a+b-1(史称"皮克公式").小明认真研究了"皮克公式",并受此启发对正三角形网格中的类似问题进行探究:正三角形网格中每个小正三角形面积为1,小正三角形的顶点为格点,以格点为顶点的多边形称为格点多边形,下图是该正三角形格点中的两个多边     

先求阴影部分的分率

对于某些求平面图形面积的问题,有时不能根据其面积的计算公式来求解,而是应先根据已知条件算出其相应的分率,然后再根据分数乘、除法的意义列式解答。例1.如图1所示,正三角形ABC的面积是6平方米,且所有的小三角形都是大小相等的正三角形,求阴影部分的面积。     

三角形的最小外接正三角形

[1]详细介绍了直角三角形的外接正三角形的纯几何作图方法，外接正三角形面积最大时的位置的确定、最大值的求法，并解决了任意三角形的外接正三角形的最大值的求法。最后，提出如下问题：直角三角形是否存在最小面积的外接正三角形？若存在，位置何在？一般三角形是否存在最小面积的外接正三角形？     

三角形的最小外接正三角形

文[1]详细介绍了直角三角形的外接正三角形的纯几何作图方法,外接正三角形面积最大时的位置的确定、最大值求法,并解决了任意三角形的外接正三角形的最大值的求法.最后,提出如下问题:直角三角形是否存在最小面积的外接正三角形?若存在,位置何在?一般三角形是否存在最小面积的外     

“三板斧”解决三视图问题

三视图是高中数学新增内容,也是近几年高考的一个热点,由于其特殊性,高考中一般不会直接考查如何作三视图,而是通过其他的途径达到考查学生空间想象力的目的,笔者对近几年试题中常见的三视图题型进行整理,仅供参考.1已知几何体考查三视图的形状图1图2例1将正三棱柱截去三个角(如图1所示A、B、C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为()CA..DB..分析该题是由已知直观图直接画三视图,原三棱柱的侧视图是一个矩形,点A在侧视图上的对应点在矩形的顶点上,在此基础上再去画截去后的侧视图就显得很容易了.答案为:A.2已知三视图求几何体的面积与体积相关问题图3例2如图3,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积为()A.4πB.42πC.22πD.21π分析由三视图知该几何体是底面半径为12,母线长为1的圆锥,侧面积为:21π.图4例3已知一个正三棱锥P-ABC的主视图如图4所示,AC=BC=32,PC=6,则此正三棱锥的全面积为.分析本题是已知主视图求几何体的全面积,由题意知该三棱锥的高为6,底面正三角形的边长为3,从而...     

第二届冬令营竞赛第四题探究

题目:在一个面积为1的正三角形内部,任意放五个点。试证:在此三角形内,一定可以作三个正三角形盖住这五个点,这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边,并且它们的面积之和不超过0.64。题中断言符合条件的三个正三角形的面积之和不超过0.64。实际上,这个数值并不     

先拆分再找关系

【题目】图1中的正三角形与正六边形的周长相等，已知正三角形的面积是12平方厘米，那么这个正六边形的面积是多少平方厘米？     

关联三个三角形面积的一个命题

设△ABC的三边长分别为a、b、c ,面积为S ,△ABC的外接正三角形的最大面积为Smax,内接正三角形的最小面积为Smin.由文 [1 ]知 ,Smax=36 (a2 b2 c2 ) 2S ;①由文 [2 ]知 ,Smin=S236 (a2 b2 c2 ) 2S.②由此可知Smax·Smin=S2 .于是 ,有命题　一个三角形的面积是它的最大外接正三角形的面积和最小内接正三角形的面积的比例中项 ,即S2 =Smax·Smin.关联三个三角形面积的一个命题@张宁$宁夏回族自治区中卫县宣和镇张洪学校!751706[1]　张延卫.三角形外接正三角形的最大面积[J].中等数学,2002(5). [2]　邢进喜.三角形内接正三…     

最大（小）值一定是抛物线的顶点吗？

我们知道,抛物线的顶点是二次函数的最大（小）值点,那么反过来,最大（小）值点一定是抛物线的顶点吗？这是许多同学的疑问．为此,本文将举例探讨这个问题． 例1（2006年旅顺口）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDlE（如图1）,其中AF=2,BF=1．试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积．     

列方程组求相交部分面积

例1如图1,正三角形ABC的边长为a,以各边为弦向内作120°的弧,求图中阴影部分的面积.简解由正三角形的轴对称性,设各相同部分面积分别为x,y.因为     

多角度探究一则面积题

题目从边长为8的正方形EFCD中截去一个角后成为五边形ABCDE（如图1）,其中AF-4,BF-2,试在AB上求一点P使矩形PNDM有最大面积．     

从正方形中裁出最大正三角形

给出从给定正方形中裁出边长或面积最大的正三角形的方法及其严格证明。     

由一道高考题引起的探究

题　 (Ⅰ )给出两块面积相同的正三角形纸片(如图 1 ,图 2 ) ,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型 ,另一个剪拼成一个正三棱柱模型 ,使他们的面积都与原三角形的面积相等 ,请设计一种剪拼方法 ,分别用虚线标示在图 1、图 2中 ,并作简要说明 ;(Ⅱ )试比较你剪拼的正三锥与正三棱柱的体积的大小 ;(2 0 0 2年全国高考试题)图 1　　　　　　　　图 2解完此题之后 ,笔者又作了进一步探究 ,现摘录如下 ,供同行们教学时参考 .问题 1　上题中共有多少种剪拼方案 ?(1 )设给出正三角形纸片的边长为 2 ,剪拼成正三棱锥的底面边长为ｘ ,斜高为ｈ′,高…     

从正方形中裁出最大正三角形

给出从给定正方形中裁出边长(或面积)最大的正三角形的方法及其严格证明.     

一道中考题的多种解法探讨

题目（2008年兰州市中考题）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图1所示）,其中AF=2,BF=1．试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积．     

一道课本例题的引申

<正> 人教版九年义务教育课本《几何》第三册第180页有一例:“已知正三角形的边长为a,求它的内切圆和外接圆组成的圆环的面积.”本题答案是s=πa2/4.由该例可引申出一系列问题: 题1 已知正三角形的边长为a,则它的外接圆与内切圆的面     

固体压强之变(初二、初三)

例1如图1,正方体物块放在水平地面.若如甲那样截去上边虚线部分的两小块,则对地压强将;若如乙那样截去下边虚线部分的两小块,则对地压强将.(填“变大”、“变小”或“不变”)分析如果那样截去两小块,显然对地压力减小,而受力面积不变,据P=F/S易知P将减小.     

一道题的数理两种解法

题如图1,重500N的均匀正三角形钢板放在水平地面上,在它的顶点处分别施加力F1、F2、F3,每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60°．大小均为200N．问这三个力能否提起钢板？要提起这块钢板,这三个力至少为多大？