周密思考防漏解

在解与圆有关的问题时，一定要注意进行 全面考虑，以防漏解． 一、平行弦问题 例 １ 在半径为 ５ｃｍ的圆 Ｏ中，弦 ＡＢ＝ ６ｃｍ，弦 ＣＤ＝８ｃｍ，且 ＡＢ／／ＣＤ ，求 ＡＢ与ＣＤ 之间的距离．（１９９８年广东省广州市中考题） 分析 本题应考虑两平行弦在圆心的同侧 和异侧两种情况． 解（１）两平行弦ＡＢ、ＣＤ在圆心Ｏ异侧（如图１）．连结 ＯＢ、ＯＤ，过 Ｏ作ＯＥ⊥ＡＢ于Ｅ， 并反向延长 ＯＥ交 ＣＤ于Ｆ，则 ＢＥ＝ＡＢ＝３， （２）两平行弦ＡＢ、ＣＤ在圆心Ｏ同侧（如图 ２）．ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝４－３＝１（ｃｍ）． 故…     

注意与圆有关问题的多解

由于圆具有对称性以及位置关系的相对性 ,使得与圆有关的计算问题往往存在两解的可能性 ,所以在解题时要周密思考 ,以防出现漏解 .一、点到圆的距离问题例 1　已知点Ｐ到⊙Ｏ的最长距离为 6ｃｍ ,最短距离为 2ｃｍ .求⊙Ｏ的半径 .分析　由于点Ｐ与⊙Ｏ的位置关系不确定 ,故应分点Ｐ在⊙Ｏ内 (如图 1)与点Ｐ在⊙Ｏ外 (如图 2 )两种情形讨论 .在图 1中 ,ＰＡ =6,ＰＢ =2 ,∴　ＡＢ =8.故⊙Ｏ的半径ｒ =4(ｃｍ) .在图 2中 ,ＰＡ =6,ＰＢ =2 ,∴　ＡＢ =4.故⊙Ｏ的半径ｒ =2 (ｃｍ) .所以⊙Ｏ的半径为 2ｃｍ或 4ｃｍ .图 1图 2　　二、一条弦所…     

一个有用的几何图形

构造如图所示的几何图形,设⊙Ｏ为单位圆,直角△ＡＢＣ的边ＡＣ、ＢＣ切⊙Ｏ于Ｍ、Ｎ,ＰＥ⊥ＯＭ,∠ＡＯＭ＝∠α,易知ｓｉｎα＝ＰＥ,ｃｏｓα＝ＯＥ,ｔｇα＝ＡＭ,ｃｔｇα＝ＢＮ,ｓｅｃα＝ＯＡ,ｃｓｃα＝ＯＢ．１　证明同角三角函数的基本关系式平方关系　在Ｒｔ△ＯＥＰ、Ｒｔ△ＯＭＡ、Ｒｔ△ＢＮＯ中,应用勾股定理可得ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１,１＋ｔｇ２α＝ｓｅｃ２α,１＋ｃｔｇ２α＝ｃｓｃ２α．例数关系　利用Ｒｔ△ＯＥＰ∽Ｒｔ△ＯＭＡ,Ｒｔ△ＯＥＰ∽Ｒｔ△ＢＮＯ,Ｒｔ△ＯＭＡ∽Ｒｔ△ＢＮＯ,分别得１…     

用好课本例题 提高复习效益

在近年的初三数学复习中,我们确立了“把握大纲、用好课本、侧重双基、发展能力”的指导思想．认真研究课本例题与习题,挖掘其潜力,通过改造结论、添设条件、转化图形、逆向思考等方法,增强课本例题的幅射功能．真正做到了举一反三,触类旁通,取得了很好的复习效果．现举课本一例来说明之．题目：若⊙Ｏ１与⊙Ｏ２外切于Ａ,ＢＣ是⊙Ｏ１与⊙Ｏ２的外公切线,Ｂ、Ｃ为切点．求证：∠ＢＡＣ＝９０°．（图１）（人教版《几何》第三册Ｐ．１４４例４）一、条件不变,可挖掘的结论：（１）∠ＣＡＯ２＝∠ＡＢＣ．（２）ＢＣ是两圆直径的比…     

特殊代一般 难题变平凡

一、由一般图形化为特殊图形,解选择题例１已知：在边长为１的正方形ＡＢＣＤ中,若⊙Ｏ１与⊙Ｏ２相外切,且⊙Ｏ１与ＡＢ、ＡＤ分别相切,⊙Ｏ２与ＢＣ、ＣＤ分别相切,则圆心距Ｏ１Ｏ２等于（）．Ａ．１－２Ｂ．２－２Ｃ．３－３Ｄ．４－３分析：由图１变为图２,使⊙...     

应用重叠原理解题例说

重叠原理　设两个同类量Ａ、Ｂ,其重叠部分的量为Ｃ,则Ａ、Ｂ两量的总量Ｖ＝Ａ＋Ｂ－Ｃ（重叠部分只计一次）．有些数学问题用重叠原理来解,显得新颖巧妙,简捷明快．一、直接应用图１例１　如图１,两个半径为１的１４圆扇形Ａ′Ｏ′Ｂ′和ＡＯＢ叠放在一块,ＰＯＱＯ′是正方形,则整个阴影图形的面积是　　．（１９９８年希望杯初一赛题）解：由重叠原理Ｓ阴＝２Ｓ扇ＡＯＢ－Ｓ正方形ＯＰＱＯ′＝π－１２．例２　如图２,Ｒｔ△ＡＢＣ,∠ＡＣＢ＝９０°,Ｄ、Ｅ点在ＡＢ上,ＡＤ＝ＡＣ,ＢＥ＝ＢＣ,则∠ＤＣＥ的大小是（　　）．Ａ…     

证明线段等积式常用方法举隅

初中平面几何中关于证明线段等积式的问题 ,是常见的一种题型 ,它是教学的一个重点．现举例介绍八种常用方法．一、利用平行线分线段成比例定理例１ 如图（１） ,ＡＤ是△ＡＢＣ的∠Ａ的平分线 ,交ＢＣ于Ｄ点 ,求证ＡＢ·ＤＣ＝ＢＤ·ＡＣ．ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．四、利用射影定理例４ 如图（４） ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ＝ＡＣ ,以ＡＢ为直径作圆交ＢＣ于Ｄ ,Ｏ是圆心 ,ＤＭ是⊙Ｏ的切线交ＡＣ于Ｍ ,求证ＤＣ２ ＝ＡＣ·ＣＭ．思路分析 :证明△ＡＤＣ是Ｒｔ△ ,并且ＤＭ⊥ＡＣ ,就可利用射影定理证得结论．五、利用圆幂定理例５ 如图（５…     

一道例题在中考中的应用

一道例题在中考中的应用蚌埠十二中赵奎初中几何第三册第１４４页例４，如图⊙Ｏ１和⊙Ｏ２外切于点Ａ，ＢＣ是⊙Ｏ１与⊙Ｏ２的公切线Ｂ、Ｃ为切点。求证：ＡＢＡＣ这个例题的结论在解有关两回外切并涉及公切线问题时，常能帮助我们迅速找到证题思路和解题方法。现举例说...     

圆中添加辅助线的几种思路

圆中添加辅助线的几种思路兰州市三十五中刘晓娟一、解决题目中与弦、弧有关的问题，可考虑作半径、弦心距例１．如图（１），已知：ＡＢ是⊙０的直径，ＣＤ是弦，ＡＥ⊥ＣＤ，ＢＦ⊥ＣＤ，垂足分别为Ｅ，Ｆ。求证：ＣＥ＝ＤＦ。题目给出圆的弦ＣＤ，可作弦心距ＯＧ⊥ＣＤ...     

圆的有关性质中考题选登

一、填空题 １．ＡＢ是Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｐ．若ＡＰ：ＰＢ＝３：１，，则ＣＤ等于 ２．如图１，ＣＤ是Ｏ的直径，ＡＢ是弦，ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为Ｅ，如果ＣＥ＝２，ＡＢ＝８，那么ＥＤ＝＿，Ｏ的半径ｒ＝＿．（江苏省徐州市） ３．如果Ｏ的半径为５ｃｍ，一条弦长为８ ｃｍ，那么这条弦的弦心距为 ｃｍ（安徽省） ４．在圆内接四边形ＡＢＣＤ中，如果∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４，那么∠Ｄ＝ （吉林省） ５．如图 ２，ＢＡ是半圆Ｏ的直径，点Ｃ在Ｏ上．若∠ＡＢＣ＝５０°，则∠Ａ＝ （吉林省） ６．如图３，ＡＢ是Ｏ的直径…     

浅谈平面几何计算题的失根问题

浅谈平面几何计算题的失根问题浙江浦江二中吴美爱在解平面几何计算题时，失根问题普遍存在．现就如何避免解平面几何计算题时的大根问题列举几例予以探讨．例１从不在Ｏ上的一点Ａ，作Ｏ的割线，交Ｏ于Ｂ、Ｃ．且ＡＢ·ＡＣ＝６４，ＯＡ＝１０，则Ｏ的半径等于．（１９９...     

向量在几何解题中的应用

向量在几何解题中的应用民勤县三中詹生椿，蒋永录一、证明等量关系利用向量证明等量关系较为简明，其基本思路是证明向量的模或模的平方相等。例１．如图（１），从圆外一点Ｐ作割线ＰＢＡ，设⊙Ｏ的半径为Ｒ，证明圆幂定理：证明：过点Ａ作⊙Ｏ的直径ＡＡ＇，连接Ａ＇Ｂ...     

几种特殊形式成比例线段的证题方法

１．ａｎ∶ｂｎ＝ｃ∶ｄ型如果欲证的等式是ａｎ∶ｂｎ＝ｃ∶ｄ形式,一般要考虑证明分别含有ａ、ｂ为对应边的两个三角形相似,然后利用面积关系或射影定理进行证明．图１例１　从圆外一点Ｐ引圆的切线ＰＡ,割线ＰＣＢ．求证ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．分析：含ＡＢ、ＡＣ、ＰＢ、ＰＣ的三角形是△ＰＡＢ和△ＰＣＡ,而易证△ＰＡＢ∽△ＰＣＡ,∴ＡＢ２ＡＣ２＝Ｓ△ＰＡＢＳ△ＰＣＡ＝１２ＰＢ·ＡＨ１２ＰＣ·ＡＨ＝ＰＢＰＣ．例２　已知矩形ＣＥＤＦ内接于圆Ｏ,过Ｄ作圆的切线与ＣＥ、ＣＦ的延长线分别交于点Ａ、Ｂ．求证：ＢＣ３Ａ…     

求不规则四边形面积的两种方法

例１ 如图（１） ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ⊥ＢＣ ,ＡＤ⊥ＤＣ ,∠Ａ＝１３５°,ＢＣ＝６ ,ＡＤ＝Ｉ２３ ,求四边形ＡＢＣＤ的面积．学生在解这道题时 ,往往急于连接对角线ＡＣ或ＢＤ ,之后就束手无策了．下面举例介绍求不规则四边形面积的两种方法．一、补形法如例１ 可用两种方法 :１ 将原题中的图形补添辅助线成图（２） ,有Ｓ 四边形ＡＢＣＤ ＝Ｓ△ＯＢＣ -Ｓ△ＯＡＤ＝ １２ＢＣ·ＯＤ－１２ＡＤ·ＯＤ＝ １２ＢＣ２－ １２ＡＤ２＝ １２ ３６－１２ ＝１２．２ 将原题中的图形补添辅助线成图（３） ,有Ｓ 四边形ＡＢＣＤ＝Ｓ 矩形…     

两圆问题的常用辅助线

在处理有关两圆相交、相切等问题时 ,常常要添加适当的辅助线 ,将较为分散的条件和图形相对集中 ,从而使问题能简捷获解 .这时 ,公切线或公共弦是重要的辅助线 ,它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角等得以沟通 .一、当两圆相交时 ,通常需要作出公共弦例 1　如图 1,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 相交于Ａ、Ｂ两点 ,过Ｂ点作⊙Ｏ1 的切线交⊙Ｏ2 于Ｄ点 ,连结ＤＡ并延长 ,与⊙Ｏ1 相交于Ｃ点 ,连结ＢＣ ,过Ａ点作ＡＥ∥ＢＣ ,与⊙Ｏ2 相交于Ｅ点 ,与ＢＤ相交于Ｆ点 .(1)求证 :ＥＦ·ＢＣ =ＤＥ·ＡＣ .(2 )若ＡＤ =3 ,ＡＣ =1,ＡＦ =3 ,求ＥＦ…     

两圆位置关系中的特征图

两圆位置关系中 ,较常见的是两圆外切、内切、相交 .在这些位置关系中有一些重要的特征图 ,掌握这些图可以在实际问题中明晰解题思路 ,使复杂问题简单化 .一、两圆中的平行线1 如图 1 ,已知⊙Ｏ1和⊙Ｏ2 相交于Ａ、Ｂ两点 ,过Ａ作直线交两圆于Ｃ、Ｅ ,过Ｂ作直线交两圆于Ｄ、Ｆ ,连结ＣＤ、ＥＦ .则ＣＤ∥ＥＦ .证明 :连结ＡＢ ,证明简单 ,为了节省篇幅 ,证明略 .2 如图 2 ,已知⊙Ｏ1和⊙Ｏ2 外切于Ａ ,过Ａ作两条直线交两圆于Ｃ、Ｅ、Ｄ、Ｆ ,连结ＣＤ、ＥＦ .则ＣＤ∥ＥＦ .证明 :作两圆的公切线ＡＴ ,证明略 .3 如图 3 ,已知⊙Ｏ1和⊙…     

一道几何命题的证明与变式训练

圆与圆的位置关系这一单元 ,两圆相交和相切是重点 在这一单元中有几道证明两线平行的题目 ,通过这几道题目的变式训练 ,可以把两圆相交和相切中辅助线的作法 ,证明命题的方法让学生掌握清楚 已知 :如图 1,⊙Ｏ1 与⊙Ｏ2 相交与Ａ ,Ｂ两点 ,分别过Ａ ,Ｂ两点作直线交⊙Ｏ1 于Ｃ ,Ｅ两点 ,交⊙Ｏ2 于Ｄ ,Ｆ两点 .求证 :ＣＥ ∥ＤＦ .图 1　　　　　　　　图 2证明　连结ＡＢ ,因为四边形ＡＢＥＣ内接于⊙Ｏ1 ,所以∠ＡＢＦ =∠Ｃ (圆内接四边形的性质 ) 因为四边形ＡＢＦＤ内接于⊙Ｏ2 ,所以∠ＡＢＦ +∠Ｄ =180° (圆内接四边形的性质 ) …     

巧用切线长定理解题

切线长定理告诉我们 ,从圆外一点引圆的两条切线 ,它们的切线长相等 .对于题设中已知或隐含着圆的两条相交切线的求值或证明问题 ,巧用切线长相等这一性质 ,可使解题简捷 .例 1　如图 1 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,直角边ＡＣ =4 ,ＢＣ =3,⊙Ｏ内切于Ｒｔ△ＡＢＣ ,则⊙Ｏ的半径ｒ=.( 2 0 0 0年广东省广州市中考题 )解　设⊙Ｏ与Ｒｔ△ＡＢＣ的三边分别切于Ｄ、Ｅ、Ｆ ,连结ＯＤ、ＯＥ、ＯＦ ,则四边形ＯＥＣＦ是正方形 .∴　ＣＥ =ＣＦ =ｒ.∴　ＡＥ =ＡＣ -ｒ,ＢＦ =ＢＣ -ｒ.∵　ＡＣ =4 ,ＢＣ =3,∴　ＡＢ =ＡＣ2 +ＢＣ2 =5 .∵　ＡＤ与ＡＥ、…     

一道竞赛题的演变——由题及类

一道竞赛题的演变——由题及类浙江省宁波市芦渎中学吴丽丽《首届全国数学奥林匹克命题比赛精选》中第１１４页的命题为“ＡＢ是⊙Ｏ的非直径的弦，过ＡＢ的中点Ｐ作弦Ａ１Ｂ１、Ａ２Ｂ２，过Ａ１、Ｂ１分别作⊙Ｏ的切线得交点Ｃ１，过Ａ２、Ｂ２分别作⊙Ｏ的切线得交点Ｃ...     

关于切点三角形的一个结论的应用

初中《几何》第三册第 1 2 9页例 4:如图 1 ,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 外切于点Ａ ,ＢＣ为⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 的外公切线 ,Ｂ、Ｃ为切点 .求证 :ＡＢ⊥ＡＣ .证明略 .我们把上题中的△ＡＢＣ叫做切点三角形 ,显然 ,切点三角形是直角三角形 .巧用切点三角形的这个性质能妙证许多几何问题 ,下面举例说明 .一、用于证明某条线段是某圆的直径图 1图 2　　例 1　如图 2 ,⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 外切于点Ａ ,ＢＣ切⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 于Ｂ、Ｃ ,连结ＣＡ并延长交⊙Ｏ2 于Ｄ .求证 :ＢＤ是⊙Ｏ1 的直径 .分析　连结ＡＢ ,则△ＡＢＣ是切点三角形 ,故∠ＢＡＣ =90°.从而∠ＢＡ…