一道复数例题的新解

题 z∈C,z/(z-1)是纯虚数,求z在复平面内对应点的轨迹. 这是贵刊编写的(高三数学教学与测试)(上册)第133例1,我们若注意到“非零复数z_1、z_2对应点为Z_1、Z_2,则z_1/z_2为纯虚数ki(k∈R,k≠0)便可给出更简捷的新解:     

注重以形助数教学 拓展思维域限

我们知道，数学是客观现实数量关系的抽象反映形式，随着它的抽象性发展，学生对它的理解愈加困难，而以形助数正是要把它抽象形象地加以反映，从而摆脱“玩数字魔术式”的解题假象，使之成为生动有趣的思维过程，同时充分运用这一思想，便可拓展学生思维域限，提高其思维能力。　　一、充分应用量的几何意义　　例1已知复数Z满足|z＋1＋i|=1，求|z＋1－i|的最大值和最小值　　[解1]：设w=z＋1－i则z=w－1＋i　　方程|w－1＋i＋1＋i|=1即|w＋2i|=1，因此w对应点的轨迹是以(0，－2)为圆心、半径为1的圆(如图一)　　而|w|即圆上的点到原点的…     

解某些复数题可以两边同时取模吗?

题:在复平面上,复数α在两点1+i与1-i连线的线段上运动,复数β在以原点为圆心,半径为1的圆周上运动,求(1)复数α+β的对应点的轨迹?(2)复数α~2β的对应点的轨迹?(3)复数α~2的对应点的轨迹?     

解几中有关范围问题的背景及解法

高三复习中我们发现不少学生对解析几何中有关求参数范围的问题不知从何入手，他们常常在多个字母面前理不清思路，建立不起关系式（等式或不等式），其原因主要是学生在扑朔迷离的关系中找不准问题的实质背景.本文在此介绍几个这类问题的常见背景及其相应解法．背景之一：利用圆锥曲线的定义.的两根为z_1、z_2.又复数z满足方程且复数z对应点Z的轨迹是椭圆，求m的取值范围．复数z对应点Z的轨迹是椭圆该例就是把椭圆的定义作为背景的，学生只要抓住定义中“2a＞|F_1F_2|”建立关系式（1）即可求得m的取值范围．一般地，这类问题都可由定义…     

用一道习题组织复数单元复习

有这样一道题,其多种解法可贯串复数这一单元的所有内容,因之,设计了如下边复习、边解题的教学方案,就教于同行。 1 识属 题 已知p,q都是正实数,复数z满足条件|z-p|=p和z (q/z)是实数,求z 首先引导学生识题。依题意,显然z≠0,欲求的解答是用p,q表示z。当z是实数时,容易由条件|z-p|=p求出z=2p(注意z=0应舍去),因而,解出此题的关键是求满足题意的虚数。这样就自然地考虑应用复数的概念,复数的三角形式、共轭复数或复数的几何意义等来求解。     

一道复数题的错解

下面是一道几本中学数学复习资料中都引用的题. 问题 设i是虚数单位,复数z和w满足zw+2iz-2iw+1=0(*),且|z|=√3,(1)求|w-4i|的值;(2)求|w-z|的最大值.     

两边取模求解复数题

我们知道,两边取模,是复数解题的一个基本技巧。有不少题目,利用两边取模求解,简捷明快。下面举例说明。 [例1] 若|z|=1,w=(z-a)/(1-āz)求复数w所表示的点的轨迹。解:w=(z-a)/(1-āz), 两边取模,得:     

审题琐谈

审题就是要了解题意，搞清楚课题的条件是什么，结论或所要解决的问题是什么．它是处理问题的首要环节，是联想和应用所学知识解决问题的基础．因此在教学中必须指导学生逐步学会审题．下面谈自已的一些做法．一、审查题目的条件1．审查题设条件全面审查题目的条件，分清主次，寻找解题的突破口，是解题成败的关键．例1已知数列｛a_n为等比数列，首项为z(zＣ），z＝3，公比q一1/2z，这个数列中任何连续三项在复平面内的对应点均构成直角三角形且第一项的对应点为直角顶点，求复数z．分析：本题条件较多，但主要条件是a_n，a_( 1),a_(n 2)对…     

四个思路,各有千秋(高二、高三)

题已知复数z满足:使ω=(z+4)/(z-4)是纯虚数.求|z|的值. 在一堂复数课中我出示了上述的题目,同学们踊跃讨论,得出了如下的四种解法,它集中概括了解决复数问题的基本策略. 解法1 设z=x+yi(x,y∈R),则有     

用整体思想巧解复数题

整体思想是解题中一种重要的思维方法 ,它常给某些问题的解决带来方便 .现举数例 ,说明整体思想在解决复数问题中的应用 .一、利用复数的性质进行整体处理【例 1】　若z∈C ,且z2 +9z2 为实数 ,求点Z(x ,y)的轨迹 .分析 :学生解决这类问题习惯设z=x+yi(或三角式 )将复数分解为实部与虚部之和这一常规步骤解题 .事实上 ,对它进行整体处理会十分简捷 .解 :∵z2 +9z2 为实数 ,利用复数z∈R的充要条件z =z可得 :z2 +9z2 =z2 +9z2 ,即 :z2 -z2 =9( z2 -z2z2 z2 ) .( 1 )当z2 ≠z2 时 ,有z2 z2 =9,即｜zz｜2 =9,∴｜z｜2 =3 ,∴｜z｜=3 .∴Z的轨…     

注重解题训练，培养求简意识

简单化原则是解题的基本原则之一 ,通过探求问题的简捷解法 ,培养学生求简意识 ,不仅可深化知识的理解 ,提高解题技巧 ,而且能培养学生思维的灵活性、深刻性和创造性 .笔者在复数教学中 ,对培养学生的求简意识进行了一些探索 .1　掌握知识内涵 ,培养求简意识深入理解知识是培养求简意识的基础 ,只有深刻领悟知识的本质 ,熟悉知识的内在联系 ,才能灵活应用于简化解题过程 .因此 ,教学中应从挖掘知识内涵 ,探寻知识间的联系入手 ,来培养学生的求简意识 .例如 ,探寻复数 z=a bi(a,b∈R)为实数的条件易有 :1z∈ R z=z;2 zz∈ R;3 z∈ R …     

掌握性质特点 力求方法多变

复数问题是随着数的概念的扩展而渗入的 .处理复数问题能否做到从整体角度分析入手,灵活处理,关键取决于对复数的概念和性质掌握得 如何 .在实际运作中,学生往往是一遇到复数就设 z=a＋ bi,盲目入手,这样不但给自己带来诸多运算麻烦,而且问题也还未必能得到解决,常常是事倍而功半 .处理复杂的复数问题何以做到思维快捷,方法灵活 ?现举例一 . 例：设 z∈ C,且 (a∈ R,a≠ 0)为纯虚数,求 |z|。 解法 (1)∵为纯虚数,∴ z不可能为实数,故设 z=x＋ yi(x、 y∈ R,且 y≠ 0), 整理得 = 由纯虚数的定义得 y≠ 0,且 x2＋ y2－ a2=0,…     

利用复数求轨迹方程方法谈

通过复平面可把复数与平面解析几何的某些曲线联系起来 ,而且用复数形式表示曲线方程显得更简单更清晰 .本文就求复点轨迹的常用方法例析如下 .一、利用整体思想方法例 1　设ｚ 1ｚ ∈Ｒ ,求ｚ在复平面上对应点的轨迹 .解 :ｚ 1ｚ ∈Ｒ ｚ 1ｚ =ｚ 1ｚ (ｚ-ｚ) ｚ-ｚｚｚ =0 (ｚ -ｚ) (1- 1｜ｚ｜2 ) =0 ｚ =ｚ且ｚ≠ 0或｜ｚ｜ =1 ｚ∈Ｒ且ｚ≠ 0或｜ｚ｜ =1∴ｚ在复平面上对应点的轨迹是除去原点的实轴或以原点为圆心 ,以 1为半径的圆 .说明 :上题视ｚ 1ｚ 为整体 ,利用性质ｚ∈Ｒ ｚ=ｚ通过复数运算 ,化繁为简 ,寻找出复数…     

1997年全国高考数学第20题的多种解法

1997年全国高考数学第20题(文、理科序号相同)是这样一道复数题:已知复数z=3~(1/2)/2-(1/2)i,w=2~(1/2)/2 (2~(1/2)/2)i复数、z~2w~2在复平面上所对应的点分别为 P、Q.证明 AOPQ 是等腰     

1999年高考理科第(20)题的几何背景

1999年全国高考数学(理科)第(20)题:设复数 z=3cosθ i·2sinθ.求函数 y=θ-argz(0<θ<π/2)的最大值以及对应的θ值.本文将揭示其几何背景,并给出新解法.将问题一般化:设复数 z=acosθ i·bsinθ,a>b>0,θ∈(0,π/2).求函数 y=θ-argz 的最大值及对应θ的值.设复数 z 在复平面上对应点 M(x,y),     

在复平面内求动点轨迹的方法

一、化实法一般将所求点对应的复数写成复数的代数形式,再根据条件转化为实数方程. 例1复平面内点A、B对应的复数分别是1和i,过A、B的直线为l,设l上的点对应的复数为z,求1/z所对应的点的轨迹.     

复平面上两点间距离的另一公式及应用

在复平面内若已知点A,B对应的复数是z;,z:,则A、B两点间的距离是!ABI二!Z:一z,.同时我们根据高中代数(甲种本)第二册p:i。第7题的结论得到另一个两点间的距离公式:!z,一z:l’=2{z:12十212,!2一!Z, Z,!2(带)从图一我们可以看出这一公式的实际意义,由此可知它是一个重要的公式,它在解决许多间题上显示了重要的作用。 一、求轨迹苏l十云么 例12满足{Z一212 }Z 2},=16,求Z点的轨迹方程. 解:由(朱)得}Z一2{2 }Z 21’ =2}2 12 2}2 12。 再根据所给条件有: 2 j ZJZ 8二16,则1 Zj=2.故Z点轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆.,.__,__奋一二1一_~…     

用复数模的几何意义求模的最值

与复数模有关的最值问题,应用复数模的几何意义求解直观简捷.本文对最值问题作简单的概括.希望能给读者带来一丝收获. 类型一求解“到定点距离的最值问题”例1 复数z满足|z+i|+|z-i|=2,     

1999年高考理(20)题的几何背景与别解

设复数z=acosθ i·bsinθ(a>b>0,0<θ<π/2),则θ为复数z在复平面上对应点z的轨迹x=acosθ,y=bsinθ(θ为参数)——椭圆(在第一象限部分)的离心角,如图1,y=θ-arg     

忽视充要条件解题错误剖析

充要条件是中学数学教学的一个最基本而又重要的概念,理解充分条件、必要条件、充要条件的意义,并以此指导数学学习及解数学问题,对于加强中学数学的概念教学、掌握知识的逻辑联系、培养良好的思维品质是非常重要的.在数学教学中常发现因忽视充要条件导致解题失误的情形,今举例剖析,以引起大家的重视. 一、必要条件误作充要条件,产生增解命题A是命题B的充分条件,即命题B是命题A的必要条件,其实质是A、B具有包含关系,且A强B弱.将必要条件误成充要条件即以“弱”代“强”,扩大解集范围. 例1 已知复数z满足|Z|=1,且z~(1992)+z=1,求复数z. 错解:由条件得z~(1992)=1-z,两边取模得