函数不动点与数列问题探析

函数“不动点”问题灵活多变,涉及内容丰富,本文对其与数列的关系问题进行探讨。对于函数f（x）,若存在实数x0,使f（x0）=x0,则称x0为f（x）的不动点。对于函数f（x）,若数列{an}满足an＋1=f（an）,n∈N^＋,则把f（x）称为{an}的特征函数。     

递推数列通项公式的求法

对于函数f（x）,若数列{xn}满足x1=a,xn＋1=f（xn）（n∈N）,则称{xn）为递推数列,f（x）称为数列{xn}的迭代函数,x1=a称为初始值．递推数列是数列中的一类非常重要的问题,求递推数列的通项公式,既是中学数学学习中的一个难点,又是近几年高考的一个热点．     

关于离散函数的一个命题及其应用

关于离散函数有如下命题设f（x）是定义在数列{a_1，a_2，…，a_n｝上的函数．（1）如果f（x）存在最大值f（a_k），且关于i的不等式组（2）如果f（x）存在最小值f（a_k），且关当数列{a_n}为无穷数列时，命题仍成立．证我们只证明（l），(2）的证明和（1）完全一样．∵f（x）在{a_l，a_2，…，a_n}上的最大值从证明过程可知，当f（x）定义在无穷数列上时，命题仍成立．此命题虽然形式和证明都非常简单,但却有广泛的应用．例1若对正整数n，记a_n=10~n/n,则使a_n取值最大的n是多少？（1988年上海市高中数学竞赛高三第一试第二题）解∵　当n充…     

探究多米诺骨牌效应的背后

已知函数f（x）=x^2＋ax＋b的零点与函数g（x）=2x^2＋4x-30的零点相同.数列{an},{bn}定义为：a1=1/2,2an＋1=f（an）＋15,bn=1/2＋an（n∈N°）.（1）求实数a,b的值;（2）若将数列{bn}的前n项和与前n项积分别记为Sn,Tn证明：对任意正整数n,2^n＋1Tn＋Sn为定值;     

用不动点法探究递推数列的通项公式

对问题:若数列{x_n}满足递推关系 x_(n 1)=f(x_n),求数列{x_n}的通项公式.我们可以尝试先求出方程 x=f(x)的根,即函数f(x)的不动点,再将递推公式 x_(n 1)=f(x_n)转化为 x_(n 1)-α=a(x_n-α)、x_(n 1)-α=a(x_n-α)~2、x_n 1     

利用特征根法求两类数列的通项公式

命题1：在数列{a}中a,已知首项a,且n≥2时,a=pa＋q（p≠1,q≠0）,则称方程x=px＋q为数列{a}的一阶特征方程,其特征根为x=,数列{a}的通项公式为a=（a-x）p＋x. 由以上命题可知,对于递推关系形如a=pa＋q（p≠1,q≠0）的数列可以通过解特征方程x=px＋q,构造等比数列{a-x},求{a}的通项.     

对可摆成阶梯型数阵的数列问题的探究

某些数列{an}的相邻项不具备an＋1=f1（an），an＋2=f2（an＋1，an），…等递推关系，而在解题中把这些数列的各项按照明显规则摆成数阵{bkj}后就能够展开探究，这类问题是近几年竞赛中的热点问题．     

巧用不动点求几类递推数列通项

已知数列{a_n}的递推关系式为a_n+1=f（a_n）,若存在实数a使得f（a）=a,则a称为数列{a_n}的不动点,在递推式a_n+1=f（a_n）中若令a_n+1=a_n=x,则方程f（x）=x的解就是数列{a_n}的不动点,方程f（x）=xc叫做递推式a_a+1=f（a_n）的特征方程.利用不动点,可将某些由递推关系所确定的数列转化为等差、等比数列.下面举例说明.1 a_n+1=pa_n+q（其中p、q为常数,p≠0,q≠0）型     

一道高考模拟题的研究性教学过程

1问题的提出 题目已知数列{αn}满足α1=5，α2=5，αn＋1=αn＋6αn-1（n≥2,n∈N^＊）,若数列{αn＋1＋λαn}是等比数列，求所有λ的值，并求数列{αn}的通项公式。     

用递归数列妙解排列组合题

递归数列是数列的一种重要的定义方法，此种定义方法不在于给予数列的某一项与项数间的函数关系（即an=f（n）），而是给出数列中若干连续项之间的一种等量关系和数列中的开始几项的值（初始条件）．因此，用递归数列定义的数列突出了数列{an}中若干连续项之间的关系，而不是数值．本文介绍用递归数列解几类比较困惑的排列组合问题，希望对读者有所帮助．     

用三角函数表示周期性数列的通项

题目 写出数列{an）：4，1，0，4，1，0，…的通项公式． 分析与解 因为在数列{an}中，有an=an＋3，令f（n）=an（n∈N^＊），则f（n）=f（n＋3），也就是说函数厂（n）是一个周期为3的函数．这样我们容易想到利用正弦（或余弦）函数来构造f（n），故令f（n）=b0＋b1cos2nπ/3＋b2sin2nπ/3（其中f（1）=a1=4,f（2）=a2=1,f（3））=a3=0,b0,b1,b2为待定系数）。[第一段]     

一类数列单调性的探究

数列是定义在正整数集或其子集{1,2,3,…,n}上的特殊函数,数列的函数特征——单调性,在近几年各省市的高考中有充分表现.有一类递推数列可表示为a_n+1=f（a_n）的形式,这类数列的单调性与函数y=f（x）的单调性之间的关系密切.本文先给出几个数列单调性的结论,然后例析其应用.定理1设a_n+1=f（a_n）,若y=f（x）在某指定连续区间D上单调递增,对于任意a_n∈D.（1）当a₁2时,数列{a_n}单调递增;（2）当a₁>a₂时,数列{a_n}单调递减.我们用数学归纳法来探究:假设当n=k时,若     

阿基米德的求圆周率——迭代法的先例

阿基米德创造的用来逼近π的方法(译者注:即刘徽的“割圆术”),是数值分析的基本概念之一——迭代数列的一个简单有趣的先例。由函数f按下式生成的数列{x_n}: x_1=f(x_0),x_2=f(x_1),……,x_n=f(x_(n-1)),……,n=1,2,3,……叫做一个迭代数列(或递推数列),x_0叫做初始值。由于x_n=f(x_(n-1)),如果{x_n}有极限,那么这个极限就是方程x=f(x)的解,方程x=f(x)的解也叫做函数f(x)的不动点。阿基米德求π的方法,与计算内接(或外切)于单位圆的正n边形的周长当n趋于无     

不动点法求两类递推数列通项的研究

正我们经常看到这样一类问题:数列{an}满足递推关系an+1=f(an),其中f(x)为多项式函数或分式函数,求数列{an}的通项公式.而其中最常见的函数是一次函数和线性分式函数,最常见的方法是先用不动点法将递推公式化成an+1-α=r(an-α)m或an-1-α/an-β=(an-α/an-β)m的形式,再用转化法或迭代法求其通项.然而,多数资料却对"为什么可以用不动点法求‘α’或‘α和β’?",甚至对"不动点法是否是求解这类问题的通法?"只字不提,只是说可以这样做.又     

一道竞赛题的解法分析与命题背景

2009年浙江省高中数学竞赛试题第20题： 题目设函数f（x）=3ax^2-2（a＋b）x＋b，其中a〉0，b为任意常数．证明：当0≤x≤1时，有｜f（x）｜≤max{f（0）,f（1）}．     

是错解？是简解!——一个令大家纠结多年的数列通项公式求解方法的正确性探究

在处理数列问题时,常常遇到＂已知数列{an}的首项a1,并且知道an＋1与an满足的一个递推关系式an＋1=f（an）,求数列{an}的通项公式＂的一类问题.对于此类问题,如果递推关系式an＋1=f（an）不容易转化为等差型数列或等比型数列时,则我们只有使用杀手锏＂归纳——猜想——证明＂的方法求之,即先求出数列的前几项,通过归纳、猜想出数列{an}的通项公式,最后运用数学归纳法证明之.     

递推数列通项问题解法初探

数列{an}中,如果其中几项满足公式an＋k=f（an＋k-1,n＋k-2,an）,则称此公式为数列{an}的递推公式．通过递推公式给出的数列,一般称之为递推数列．本文介绍求解递推数列通项问题的几种常用方法．     

导数在数列问题中的应用

导数是解决函数问题的有力工具,更为数学解题注入了新的活力.由于数列可看作特殊的函数,所以自然可联想、尝试、应用导数知识解决数列问题.1利用导数确定数列的最大或最小项例1已知数列{an}的通项an=8n2-n3,n∈N*,求数列{an}的最大项.解构造辅助函数f(x)=8x2-x3(x>0),则f′(x)=     

聚焦数列中的最值问题

数列中最值问题主要有求数列中的最大项、最小项,求数列和的最大值、最小值等系列问题.经常利用函数的思想,作差、作商比较法,基本不等式法,导数法等.一、求数列中项的最值例1已知数列{a_n}中,a_n=(n-29^1/2)/(n-30^1/2),则在数列{a_n}的前50项中最小项与最大项分别是多少?解法1:取函数f（x）=（x-29（1/2））/（x-30（1/2））,则f（x）=((x-30^1/2)+(30^1/2-29^1/2))/(x-30^1/2)=1+(30^1/2-29^1/2)/(x-30^1/2).由函数f（x）图象可知,当x∈(30^1/2,+∞)时,f（x）为单调减函数,且f（x）>1;当x∈(-∞,30^1/2)时,f（x）也为单调减     

利用不动点求数列通项

对于函数f（z），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为函数f（x）的不动点．数列与函数密切相关．对于an＋1=pan＋q/ran＋s型递推数列，利用不动点可以巧妙求其通项公式．