求和

[题目]在线段AB的两端各有一个数1/2和1/3。现在请按规律在线段上写出一些数:第一次把AB两等分,在中点写上首尾两数的和(如左下图),5/6=1/2+1/3;第二次又分别将两数之间的线段两等分,并在分点上写出相邻两数的和(如右下图),     

趣题四则

1.相邻两数之积将3、4、5、6、7、8、9、10八个数字,填入图1中八个黑点子处. 要求:两圆周上五个数之和是两个相邻自然数,并且其乘积是个四位数,它的前两数码相同,后两数码也相同. 想一想,填一填.     

填数问题的探索

例1根据图1中前面两个圆里四个数的关系,填出后面两个圆里的三个数.解析:先观察前面两个圆里四个数字的关系.如图2,若从左下角起,顺时针方向数下去的四个数,分别叫做数A、数B、数C、数D的话,则它们的关系通过观察容易发现A+2=B,B-3=C,C×4=D.例如,第一个圆里四个数的关系为:5+2=7,7-3=4,4×4=16依据这一规律,可知第三个圆里的三个空白处应该填的数分别为:8+2=10,10-3=7,7×4=28第四个圆里三个空白处应该填的数分别为:12-2=10,12-3=9,9×4=36填出的结果如图3所示.图6图4图5例2把10、20、30、40、50、60、70七个数填在图4的小圈里,使得每…     

半圆没有周长和面积

半径为 R 的圆的面积是πR~2,周长是2πR,不能说半径为 R 的半圆的面积是(1/2)·πR~2,周长是πR 2R,因为半圆没有周长和面积.我国初级中学各类《几何》课本对半圆的定义基本相同.譬如:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条孤,每一条弧都叫做半圆(人教版初中《几何》第三册第65页);如果弧的两个端点恰好是直径的两个端点,那么这     

文中的两种情形是正多边形吗

我们知道各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. 关于正多边形的判定有如下的定理: 把圆分成,n(n≥3)等份: (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形; (2)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.     

一道竞赛题的解法探究

题目:从a×2a矩形铁皮中,剪出一个圆(可由两个半圆拼成)和一个半圆(可由二个1/4圆拼成),焊成一个圆锥(不计焊缝),请设计下料方案,使圆锥体积尽可能的大(全国中学生希望杯竞赛试题).     

变用、活用单位圆

在直角坐标平面内，作单位圆，再作直线y=x和y=-x，这两条直线和x，y轴把坐标平面分成8个区域，在这些区域上依次标上序号1、2、3、…、7、8（如图1）．     

智力转盘

(1)使每个圆周上任何两个相邻的数,必有一个是合数,另一个是质数; (2)使中间圆周上四个数字的和为圆中心的数; (3)使左、右两个圆周上四个数的和相等。     

第68届莫斯科数学竞赛

1.对方程a2b2+a2+b2+1=2005,求出至少一组整数解.2.有一张8×8的正方形方格纸,在沿格线折叠若干次后,成为一个1×1的正方形.现在沿着联结该正方形两条对边中点的线图1段剪开,那么原正方形会被剪成几块?3.如图1,△ABC的高AA′与BB′相交于H点,而X点和Y点分别是线段AB及CH的中点.证明直线XY及A′B′相互垂直.4.沿圆周排列有2005个自然数.证明总能找到两个相邻的数,使得在删掉它们以后,剩下的2003个数是无法分成总和相等的两组的.5.把一个圆分成若干面积相等的小块,要求原圆的圆心不落在其中某一块的边线(顶点除外)上.6.平面上给出2005…     

在复平面上讨论正多边形的一个性质

在初中现行数学教材中(见九年义务教育教科书几何第三册第155页),有如下定理,把圆分成n(n≥3)等分:(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形;(2)经过各点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.书中仅给出n=5的证明.本文在该定理的启示下,利用线性代数与复平面知识,给出定理(1)的一般证明,并应用它来简化一些命题的解法.如果我们把圆心设在原点,正n边形的一个顶点设在(r,0)上(r表示圆半径),于是正n边形的训顶点所对应的复数依次是r,re(2π/n)i,re(4π/n)i,…re(2(n-1)π/n)i,在此可以用一个n维列.     

想一想

1.试把数45分成4个部分,使第一部分加上2,第二部分减去2,第三部分乘以2,第四部分除以2,全部结果都相等。 2.已知分数11/41。问要在分子、分母中加上什么致,才能使它变成3/8? 3.为了给书页编上号码,需要1164个数字,问     

用平均数性质来证明

马明老师在本刊第3、4两期上写了两篇文章:橡皮筋—联想—论证(一)(二).读后,很受启发,文中提出一个命题:图1中8个顶点处标注的数a,b,c,d,A,B,C,D.其中每一个数都等于相邻三个顶点处数的和的1/3,那么a,b,c,d,A,B,C,D,一定     

正五边形又一作法

正五边形(还有正五角星)是常见的图形,现行初中教材中编排了两种作法。本文介绍把已知单位圆O五等份的另一种作法作法(1)作已知圆O的互相垂直的直径XY和AZ。(2)以X为圆心,以OZ长为半径作孤交XZ于点M。(3)以M为圆心,以XZ长为半径作弧交OY于点N。(4)在⊙O上连续截取等弧,使弦AB=BC=CD=DE=AN,则A、B、C、D、E就是所求作的五等分点。把相邻两个分点连起来便得到一个正五边形。因单位圆的内接正五边形边长是 (10-2 5~(1/2))~(1/2)故只须证明上述作法分单位圆,其分点间的     

圆和周角相同吗

一次,我听一位老师讲“角”这一课。当他把角的概念和分类讲完,便提了这样两个问题:圆是多少度?半圆是多少度?学生回答,圆是360°,半圆是180°,理由是圆是一个周角,半圆是平角。显然这一问一答都是错误的。圆是一条线段绕着它的一个端点旋转一周所形成的图形,具体地讲圆是一个面。而周角是一个角,是从一点引出两条射线组成的,只不过两条射线重合而已。尽管圆和周角在形     

巧解“创新杯”赛难题

[题目]《数学小灵通》2003年第12期第47页“首届创新杯赛六年级试题”第10题:在一个圆周上有70个点,任取一点标上1,然后按顺时针方向在标有数1的点后数两个点标上2,在标有数2的点后数三个点标上3,……(如下图所示)继续这个过程,在圆周上分别标出1、2、3、…、2002、2003。显然.在圆周上的这些点中,有的点可能被标上多个数,有的点可能没有被标上数,那么标有2003的那个点上被标出的最小数是_____。     

正多边形和圆的关系教学探讨

正多边形和圆密切相关的两个重要定理是:n等分圆周可以得到正n边形; 正n边形一定有一个外接圆和一个内切圆,且两圆同心.它们是正多边形有关计算的理论根据.课本(初中几何第二册)上是以n=5的憎况为例来证明两个定理.这样处理便于学生接受,但为避免学生容易产生以特殊代替一般的感觉与印象,我认为教学时,视实际条件也可在具体形象的基础上进一步演示在一般情况下的证明.定理1 把圆分成.等分(n≥3),(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形;     

想一想?

1.试把数45分成4个部分,使第一部分加上2,第二部分减去2, 第三部分乘以2,第四部分除以2,全部结果都相等。 2.已知分数11/41。问要在分子、分母中加上     

逆序

例 (1997年第六届华杯赛决赛初一组第2试第2题)用1,2,…,99,100共一百个数排成一个数列 a_1,a_2,…,a_(99),a_(100).①已知数列中第6个是a_6=60,第94个是a_(94)=98,如果相邻两个数a_i>a_(i+1),就将它们交换位置,如此操作,直到左边的数都小于右边的数为止.请回答最少需实行多少次交换?最多需实行多少次交换?     

孕穗期干旱胁迫对水稻部分性状及产量的影响

以8个杂交籼稻品种(组合)为材料,在防雨棚内进行盆栽试验,研究了孕穗期干旱胁迫对水稻部分性状及产量的影响。结果表明:孕穗期干旱胁迫使水稻株高、穗长、一次分枝数、有效穗数、穗实粒数、生物产量、经济产量下降,生育期延长;其中新两优6号、新两优香4号、新两优6380、两优0293经济产量分别位于第一至第四位,产量分别为83.11、82.88、79.08、78.02g/盆,且较正常水分灌溉减产幅度仅为4.3%、5.0%、5.2%、10.3%。因此,新两优6号、新两优香4号、新两优6380、两优0293四个品种适宜在沿淮缺水地区推广种植。     

浅议教材中与半圆有关的几个问题

九年义务教育三年制初级中学《几何》第三册第65页，对半圆有如下描述性定义：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．