一道中点轨迹问题的七种解法

题目 圆x^2＋y^2=8内有一点P（-1，2），过点P的弦交圆于A、B两点，M为AB的中点，求点M的轨迹方程．     

解析几何中点和直线的对应

1．从圆说起 1．1点关于圆对应的直线 已知圆C的方程x^2＋y^2=r^2和点P（a,b）（圆心除外）,则点P关于圆C对应的直线为l：ax＋by=r^2．其对应法则如下：（1）若点P在圆C上,则直线l表示过点P的圆的切线;（2）若点P在圆C外,过点P作圆C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,     

再探究x0^x＋y0y=r^2与x^2＋y^2=r^2的关系

贵刊文[1]给出了直线x0^x＋y0y=r^2与x^2＋y^2=r^2圆的关系：结论1 已知圆O：x^＋y^2=r^2,点P（x0,y0）.（1）若点P（x0,y0）在圆上,过点P的圆切线方程为x0x＋y0y=r^2;（2）若点P（x0,y0）在圆外,过点P向圆引两条切线,两切点A、B两点,过A、B两点的两条切线交点的轨迹方程为x0x＋y0y=r^2.     

数学问题与解答2014年第4期问题解答

911．如图1，A、B是已知圆O上的两个定点，P是优弧AB上的动点．圆I与圆内切于点L且与PA、PB分别相切于点E、F，求证：直线EF恒与某定圆相切．     

一道全国竞赛题的别证与探析

2005年全国初中数学竞赛试题的第12题：如图1，半径不等的两圆相交于A，B两点，线段CD经过点A，且分别交两圆于C．D两点，连结BC，BD，设P，Q，K分别是BC．BD，CD的中点，M，N分别是弧BC和弧BD的中点．求证：     

圆切线一个性质的类比研究

问题引出： 从平面上一点P作圆C的切线，可能的切线条数为：点P在圆C内部时0条；点P在圆C上时1条；点P在圆C外时2条．     

两道竞赛题的另解

题1如图1，已知直线上的三个定点依次为A、B、C，Г为过A、C且圆心不在AC上的圆，分别过A、C两点且与圆Г相切的直线交于点P，朋与圆Г交于点Q。证明：∠AQC的平分线与AC的交点不依赖于圆Г的选取。     

两圆的根轴方程及应用

1．预备知识 过一点P引已知圆的任一割线,从P和圆相交为止的两条有向线段的数量之积,称为点P对于这个圆的幂．显然,当点P在圆内、圆上、圆外时,关于这个圆对应的幂分别小于0、等于0、大于0．[第一段]     

在高考中“作”数学

在2008年嘉兴高三基础测试中有这样一个问题：如图1，在圆x2＋y2=25上有一点P（3，4），C、D是圆上两点，PC、PD交y轴于E、F两点，且△PEF是等腰三角形，直线CD交于x,y轴于B、A两点，则sin∠OAB=………（ ）     

探求一个问题的结论后面的规律

正问题:如图1,已知圆C:x2+y2=r2与直线l:y=kx+m没有公共点,设点P为直线l上的动点,过点P作圆C的两条切线,A、B为切点。证明:直线lAB恒定过点Q。分析:利用我们常用的一个结论:若点P(x0,y0)是圆x2+y2=r2外一点,则过点P作圆的两条切线,切点分别为A、B,则过A、B两点的直线方程为:x0·x+y0·y=r2。     

一道高中联赛平面几何题的新证法

题目 如图1，过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B．所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC，求证：∠DBQ=∠PAC．     

巧用口诀学好《圆和圆的位置关系》

同学们在学习《圆和圆的位置关系》时,记住下面这几句口诀,有助于掌握本单元的定理及用这些定理来证明和计算相关的问题.口诀内容如下:圆集几何之大成,圆圆位置是关键:两圆相切作公切,画连心线过切点;两圆相交连公弦,连心线是中垂线;圆心若在别圆上,首先应把半径连.下面举例说明口诀的实际应用.例1如图1,两圆内切于点P.⊙O1的弦AB切⊙O2于点C,PC的延长线交⊙O1于点D.求证:(1)∠APD=∠BPD;(2)PA·PB=PC2+AC·BC.分析:因为两圆内切于点P,根据口诀(两圆相切作公切),过点P作两圆的公切线.证明:(1)过点P作两圆的公切线MN.因为MN切…     

浅谈圆的第二定义在解题中的应用

圆的第二定义：平面内,到两个定点的距离之比为常数k（k≠1）的点的轨迹是圆,这个圆就是阿波罗尼（Apolloniu8 ofPerga,262BC-190BC）圆,俗称圆的第二定义.下面从解析几何角度先进行证明.已知：平面上两个定点A、B.一动点P,满足PA=kPB（k≠1）.求证：点P的轨迹是一个圆.     

等幂轴及其应用

设平面上有定点P和半径为R的定圆⊙O,过P点向定圆⊙O作任一割线PAB,与⊙O交于A、B两点,由圆幂定理知PA^→·PB^→=PO^2-R^2为常数,则常数k=PA^→·PB^→=PO^2-R^2称为点P对⊙O的幂．平面内与两圆等幂的点的轨迹称为两圆的等幂轴或根轴．     

引人注目的“切点三角形”

当两圆外切于点P时,作此两圆的一条外公切线分别切两圆于A、B两点,则称连结三个切点而成的△APB为“切点三角形”,如图1所示。 切点三角形有如下一些性质: (1)切点三角形是以两圆的公共点为直     

圆中常见的双解问题例析

圆是同学们非常熟悉的一个完美图形,它既是轴对称图形又是中心对称图形,还具有旋转不变性。因此,在解决与圆有关问题时,若考虑不周全往往会造成漏解。从近几年各地中考试题来看,与圆有关的双解问题时常出现。下面将圆中常见的双解问题进行归纳解析。一、点和圆的位置不确定时例1已知点P到⊙O上的点的最大距离是6 cm,最小距离是2 cm,则圆的半径r=____cm。分析由题意可知:点P不在圆上,应分点P在圆内和圆外两种情况考     

点和圆的位置关系的应用

点和圆的位置关系有三种，即点在圆上，点在圆内，点在圆外，设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d,点在圆外＜＝＞d＞r；点在圆上＜＝＞d＝r，其中符号“＜＝＞”读等价于，“A＜＝＞B”具有两方面的含义：     

数学奥林匹克问题

本期问题 初279如图1,过圆外一点P作圆的切线PA和割线PB1B2,切点为A,交点为B1、B2,再过点P作圆的另一条割线PCD交圆于C、D两点,     

如何过圆外一点作圆的切线

<正>问题怎样从圆外一点画出圆的切线呢?如图1,点P为⊙O外一点,怎样利用直尺和圆规过点P作⊙O的切线?作法1如图1.(1)连结PO;(2)以PO为直径作圆交⊙O于点A;(3)过P,A两点作一直线,则直线PA就是所要作的圆的切线.     

《数学通报》2713号问题的多彩证法

<正>《数学通报》2023年第3期2713号问题如下.如图1,PA,PB切圆于A,B两点,过点P的直线交圆于M,N两点,过点M且平行于PA的直线与线段AB交于点T,交线段AN于点H,求证：TH=TM.分析 本题的基本结构是过圆外一点P作圆的两条切线,则切点弦AB是点P关于圆的极线,且{M,N;P,K}成调和点列.基于上述结构,笔者给出以下三种证法.