有关圆锥曲线中的焦半径定值

1.问题在人民教育出版社高级课本《平面解析几何》(全一册)P102有这样一道题: 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M,求证:直线MQ平行抛物线的对称轴. 此题证明可以参考《平面解析几何》相应教学参考书P91-92.     

一个值得商榷的抛物线问题

题目已知抛物线的焦点在F(a,b),焦点到准线的距离是p,轴的方向和y轴的方向相同,求它的方程。(统编高中数学第二册第173页,复习题六,第35题)。此题,又被六年制重点中学高中数学课本《解析几何》(平面)所选用。(第154页,复习参考题三A组第7题)笔者认为《教学参考书》(全日制十年制学校高中数学第二册《教学参考书》人民教育出版社)中所给的答案是不妥的,特提出商榷。     

一个值得重视的解析几何习题

题:已知地球运行轨迹是以长半轴a=1.50×10~8km,离心率e=0.0192的椭圆,太阳在椭圆的一个焦点上,求地球到太阳距离的最大值与最小值(人教版《平面解析几何》P.80第8题)。     

巧用定义解决圆锥曲线最值问题

<正>在高考中,以圆锥曲线为背景的最值问题,是解析几何的一类常见问题。而圆锥曲线的定义是由曲线上的点到焦点的距离来刻画的,由此可对一些距离进行有效转化,因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时,应先想到利用定义进行求解,这样会有事半功倍之效。1.抛物线定义在最值中的巧用抛物线定义:平面内到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点,定直线叫抛物线的准线。     

对圆锥曲线统一定义的商榷

《平面解析几何》(必修)(以下简称教材)中有三处涉及到圆锥曲线的统一定义.是在定义抛物线时的叙述:“我们知道,与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.当e=1时是椭圆,当 e>l时是双曲线.那么,当e=l时,它又是什么曲线?平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.”(教材第91页).     

一道高考题的进一步推广

2001年全国高考数学试题(理)第(19)题:设抛物线y~2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明直线AC经过原点O. 此高考题是高级中学课本《平面解析几何》全一     

论解析几何运算中的简化策略

<正>平面解析几何中的许多问题,若解题方法不当,就会使解题过程繁杂而冗长,从而直接影响到解题速度和结果的正确性.如何避免不必要的运算,从而简化解题过程呢?本文结合典型例题,谈谈解析几何解题中的避繁就简的解题策略,供大家参考.策略1利用定义,简化运算根据题目涉及到曲线上的点与焦点的距离时,借助于圆锥曲线的定义,常能化繁为简,缩短解题过程.例1若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上移动,求使     

完善三道题的解法

现行高级中学课本《平面解析几何》(甲种本)的《教学参考书》中有三道题的解法值得完善。 1.第110页习题八第2题:“取经过焦点F且垂直于准线l的直线为轴,推导抛物线的标准方程”。《教学参考书》上答案是“抛物线方程是x~2=2py(p>0)”。这种解答遗漏了一个抛物线方程x~2=-2py(p>0)。原因是只考虑点在y轴的正半轴上,却忘记了焦点也可在y轴的负半轴上。 2.第111页第8题:“过抛物线y~2=     

挖掘课本“四题”潜能，加大培养能力力度

2001年高考数学理科(19)题、文科(20)题 试题设抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点.点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O. 本题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力.1 来源1.1 引用《平面解析几何》课本第101页8题: “过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1,y2,求     

巧设方程 避免疏漏

高中《平面解析几何》第99页有这样一道题: 题 过抛物线y~2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为y_1、y_2,求证:y_1y_2=-p~2。 教学参考书(人民教育出版社)上的解答如下: 设过焦点的直线为y=k(x-p/2)(k≠0),即     

两道习题的联系及推广

高中课本《平面解析几何》习题八中有以下两道习题： 1.过抛物线pxy22=的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为21yy，，求证：22py-=（P101,8） 2.过抛物线焦点的一条直线与它交于两点QP、，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于M,求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴。（P102,13） 我们将这两道习题联系起来，概括统一为下面的结论。 命题1，过抛物线pxy22=的焦点F的一条直线和它相交于两点QP、，QP、在准线上的射影分别为NM，，则 （1）2pyyNM-=； （2）NFMF^; （3）MQ与NP的交点是抛物线的顶点。 通过类比论证，…     

从一道高考题看过抛物线焦点弦性质的应用

今年高考“3 Ｘ”型数学试卷理科第 1 9题(文科第 2 0题 )是 :设抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ >0 )的焦点为Ｆ ,经过焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在抛物线的准线上 ,且ＢＣ ∥ｘ轴 ,证明 :直线ＡＣ经过原点 .一、试题的背景揭示该试题是《平面解析几何》(全一册 ,必修 )第 1 0 0页习题八的第 8题 :“过抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的焦点的一条直线和这条抛物线相交 ,两个交点的纵坐标为ｙ1 ,ｙ2 ,求证 :ｙ1 ｙ2=-ｐ2 ”的改变题 .二、过抛物线的焦点弦的性质设抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的焦点为Ｆ ,经过焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,若…     

变换课本习题提高复习效益

在数学教学中 ,有目的有意识地引导学生将课本中习题进行一题多变 ,对加强学生“三基”训练和培养学生思维灵活性、广阔性、深刻性及创造性是十分有益的 .特别是高考复习时 ,能够避免题海战 ,起到举一反三、以一当十之功效 .现以高中《平面解析几何》(必修 )第 99页习题第 8题为例加以说明 .原题　过抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ的焦点的一条直线和这抛物线相交 ,两个交点Ａ、Ｂ的坐标分别为 (ｘ1,ｙ1)、(ｘ2 ,ｙ2 ) ,求证 :ｙ1ｙ2 =- ｐ2 .证明 (略 )1　逆向变换变题 1　已知抛物线方程 ｙ2 =2ｐｘ ,一条直线和这条抛物线相交于Ａ、Ｂ两点 ,其坐标分…     

抛物线的焦点弦问题

一、有关概念1.抛物线上任意两点之间的线段,叫做抛物线的弦, 经过抛物线的焦点的弦,称为焦点弦.垂直于轴的焦点弦叫做抛物线的正焦弦. 2.从抛物线上任一点M(x0,y0)到焦点F的距离r,称为抛物线的焦点半径(如图1).根据抛物线的定义,抛物线的焦点半径等于M到准线的距离d.即|MF|=r=d=x0 P/2.     

抛物线寻根:从二次函数图象说起

1抛物线天下一家解析几何中,方程y2=2px的图形称抛物线;函数中,二次函数y=ax2的图象也称抛物线.于是发问:这2种抛物线是一家人吗?图1例1二次函数y=41x2 1的图象如图1.试探索,平面上是否存在这样的定直线l和定点F,使得图象上任何一点P(x,y)到F的距离与到l的距离相等?解法1(配方法)由等式y=41x2 1两边乘以4并移项:x2-4y 4=0,两边同时加上y2,得x2 (y-2)2=y2,两边开平方,同取算术根,得x2 (y-2)2=|y|,(※)用距离公式看待式(※),此式表明抛物线上动点P(x,y)到定点F(0,2)的距离与到定直线y=0的距离相等.二次函数y=41x2 1的图象可视为:到定点(0,2)…     

一个常用结论的证明

中学数学课本《解析几何》总复习第8题“求抛物线y=x2上到直线2x－y=4距离最小的点的坐标，并求出这个距离。”对此题的解法，很多书上都直接采用了结论：“当直线不与抛物线相交时，抛物线上到已知直线距离最短的点是与已知直线平行的抛物线切线的切点。”对此，不少学生提出疑问。本文加以证明并推广到其它二次曲线。Ⅰ.首先对抛物线进行证明。设抛物线方程为y2=2px(p>0)，直线l:y=kx＋b，直线与抛物线不相交。求证：抛物线上到已知直线l距离最短的点是与l平行的抛物线的切点。证明：设M(x0,y0)是抛物线上任一点的坐标，它到直线l的距离…     

对三种圆锥曲线统一的极坐标方程ρ=ep/1-ecosθ的两点注记

《平面解析几何》(全一册)教材根据椭圆、双曲线、抛物线的统一定义推出了它们统一的极坐标方程,方程形式为ρ=ep/(1-ecosθ)当 0 < e<1时,方程表示椭圆,定点是它的左焦点,定直线是它的左准线;e=1时.方程     

圆锥曲线统一性定义质疑

人教社《平面解析几何》中从点的集合(或轨迹)的观点对椭圆、双曲线、抛物线有这样统一定义:它们都是与定点和定直线距离的比是常数的点的集合(或轨迹).但是这一统一性定义却忽视了定点在定直线上的情况,那么定点     

一个轨迹问题的求解方法

重庆市教师进修学院编的《数学复习资料》下册(一九八○届用)第517页例12是一个典型的轨迹问题: 对称轴平行于y轴,形状大小保持不变(即焦点到准线的距离p是常数)的抛物线开口向上。如果这抛物线的顶点在椭圆 x~2/a~2+y~2/b~2=1 上移动,(1)求抛物线焦点的轨迹;(2)若平行于直线x—y=d的直线与这抛物线相切,求切点的轨迹。《资料》中视抛物线顶点的纵坐标为参数,采用参数方程求解,显得有些累赘。事实上,若一动点M与在已知曲线上另一动点P保持了某种特定的关系,使得:P点的坐     

一道高考试题的推广与引种

本刊 2 0 0 1年第 10期的文 [1]对 2 0 0 1年全国高考解几试题进行演绎与深化 ,得出 10个命题 ,读后颇受启发 ,但尚觉意犹未尽 .本文对这道试题作进一步的推广与引伸 .显然这道高考试题是《平面解析几何》(必修 ) 99页题 13的逆问题 ,为此 ,我们把这道试题完善为充要条件的形式 ,得到　　　　　图 1命题Ａ1　设Ｆ为抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ(ｐ >0 )的焦点 ,经过点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在准线上 ,则直线ＡＣ经过抛物线的顶点Ｏ的充要条件是ＢＣ∥ｘ轴 .命题Ａ1揭示了抛物线的焦点、顶点、准线之间的一个相关性质 .我们自然要问 :椭…