浅谈一元二次方程实根的分布

问题所谓实根分布就是方程的根的分布情况的充要条件．设实系数一元二次方程f(x)=ax^2+bx+c=0(α≠0)的实根是x1，x2，且x1&;lt;x2，k或k1，k2(k1&;lt;k2)是任意给定常数，为记忆方便，我们把实根分布情况归纳成右表．     

巧用分式方程的增根解题

我们知道，在解分式方程时常会产生增根，分式方程的增根，既是变形后所得整式方程的根，又是使原分式方程各分式的最简公分母为零的未知数的值．下面举例说明分式方程的增根在解题中的应用．例1若关于x的方程有增根，则解原方程的增根应是方程X－4一0的根，即增根为X一4．将原方程去分母整理得X‘－7X＋4一2。一0．故增根X一4也应满足这个方程，即二车有增根X—－1．求k值．H“－1”””””解将原方程去分母，整理得一ZX＋6一天一O．（1）X—－1是原方程的增根，X—－1是方程（1）的根．（2）X（1）W6k＝0．k——8．。，。、，、。…     

利用韦达定理判别方程根的符号

利用根的判别式,不解方程就可以判定方程根的情况,通过韦达定理和根的判别式,还可以进一步判别方程根的符号。 例1 当a是什么数时,方程 2(a 1)x~2 4ax 2a-1=0的两个实数根中一根为正,另一根为负? 分析:本题只要求两个实数根中一正一负,并未说明哪一个绝对值较大,因此只能由x_1x_2及Δ的值来求出a的范围。     

一元二次方程实根分布的条件及其应用

一、问题的提出高中《代数》（下册）课本不等式一章中有这样一道习题：m是什么数时，方程x~2 （m-3）x m＝0的两个根都是正数？从学生做作业的情况看，大部分学生都会用一元二次方程有两个正根的充要条件，即若α，β是一元二次方程ax~2 bx c＝0的两实根，则得出正确的解答．为了进一步挖掘本题的教学价值，在课堂上，我将本题变为：m是什么数时，方程x~2 （m-3)x m=0的两根都大于-2?我原教学设计意在使学生实现本题向课本习题的转化或者能利用二次函数的图象来解题，但事与愿违，大少数学生采用下列解法：由于方程的两根都大于-2，则于是…     

2006年湖北卷第10题的解法探究及应用

题目:关于x的方程(x~2-1)~2-|x~2-1| k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根;④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根,其中假命题的个数是A.0B.1C.2D.3分析:从方程的整体来看,可通过参数替换,将其转换为二次方程的结构t2-|t| k=0(令t=x2-1),但其含有绝对值,若采用分类讨论来去绝对值,再由二次方程实根分布的知识来处理,势必很烦琐,倘若考虑方程实根的几何意义,采取数形结合,便可迅速获解.图1解:令t=x2-1(t≥-1),则原方程可化为t2-|t|…     

解绝对值方程的几个思路

绝对值是初中数学中的重要概念 .掌握了绝对值概念和一元一次方程知识之后 ,就可解一些比较简单的绝对值方程 ,这是初中数学竞赛中常见题型 .现在我们例举常用方法 ,介绍绝对值方程的解题思路 .一、运用 | x| =a (a为非负数 ) ,则 x =± a例 1　 (第一届“希望杯”初一竞赛题第二试试题 )方程 |1990 x - 1990 |=1990的根是 .解 :方程两边同除以 1990 ,可化简得 :|x - 1|=1,去掉绝对值号 ,可得 x - 1=± 1,∴ x1=2 ,x2 =0 (注意 :这两根都适合 )例 2　 (太原市 1992年初中数学竞赛题 )方程||2 x - 1|- 1|=2的解的个数是 (　　 )( A) 1.　 ( …     

多视角审视全方位探究--2014年辽宁卷高考（理）第16题解法赏析

题目对于c ＞0，当非零实数a，b满足4a2-2ab ＋4b2-c＝0，且使｜2a＋b｜最大时，3a -4b ＋5c的最小值为。 本题虽是一道填空题，却别有洞天，考查了函数与方程、不等式的综合应用等知识。试题设计新颖，区分度高，学生普遍感到难以下手。因为从条件来看，它包含两部分，一个多元方程及一个绝对值问题，考生很难发现到底考的是哪一块知识。本题实质上是根据｜2a ＋b｜最大时所满足的条件，把一个三元函数一元化，这是处理多元函数的常规方法，关键是怎么找到满足的条件。可见，试题“暗藏”着一定的潜在价值，需要我们去探索发现，做一番研究。     

k1x^2＋k2x-1=0型一元二次方程根的位置与系数关系

一元二次方程是初中阶段最常见重要的方程类型，讨论其根的位置与系数的关系是中考、竞赛中最难的题目类型之一．这里巧妙地应用判别式和韦达定理将k1x^2＋k2x-1=0（k1≠0）型的常见位置关系分述如下，读者可用求根公式验证，希望对读者有所启发．     

深思出妙解

对某些问题如果从不同的角度来思考,会获得不同的解法．如88年吉林省的一道方程考题就有如下4种巧妙的解法．（88吉林）已知方程（x－l）（x－2）二k‘,儿为实数且k／0．证明：方程一根大于1,另一根小于1．分析（放缩法）由一元二次方程的求根公式,可求得方程的两根（面是关于字母k的代数式）．然后根据力的取值范围,对已进行适当的放大或缩小,使得放缩后的值为1．证法1原方程化成一般式,得xZ－3x＋2kZ＝0．西二9－“2－k）‘＝1＋4尸＞0．方程有两个不相等的实数根分析2（主无法）若把（X－1）视为一整体（主元）,即可得到关于（…     

对一道数学高考题的剖析与思考

2007年浙江省高考数学卷理科第21题:已知数列{a_n}中的相邻两项 a_(2k-1),a_(2k)是关于 x的方程 x~2-(3k 2~k) 3k·2~k=0的2个根,且a_(2k-1)≤a_(2k)(k=1,2,3,…).(1)求 a_1,a_3,a_5,a_7;(2)求数列{a_n}的前2n 项和 S_(2n);(3)记 f(n)=1/2((|sinn|/(sinn) 3),T_n=((-1)~(f(2)))/(a_1a_2) ((-1)~(f(3)))/(a_3a_4) ((-1)~(f(4)))/(a_5a_6) ... ((-1)~(f(n 1)))/(a_(2n-1)a_(2n)).求证:1/6≤T_n≤5/(24)(n∈N~*).本题叙述简洁明了,不拖泥带水.题目的大条件是以学生十分熟悉的一元二次方程的根为背景给出的,显得平和而贴切.试题一共设置了3个小题,设问角度新颖,梯度明显,体现了浅入深出、简约而不简单的命题风格.本题所包含的主要数学知识有:一元二次方程、数列的通项与前 n 项和、函数的周期性、不等式等;所涉及的数学思想有:分类讨论、归纳与猜想等,考查的主要数学技能有:数学运算、逻辑     

怎样求“二次”问题中的参数

根据题没求“二次”问题中的参数，由于此类问题综合了较多的知识点，常使某些同学束手无策或误解．解此类问题常根据报的判别式、根与系数的关系、二次函数图象和其它条件求解．举例分析此类问题的解题思路，仅供同学们参考．例1若关于X的一元二次方程X’－3x＋kWI—0的两根的平方和小于5，求是的取值范围．（1995，成都试题）阑”．”方程有两个实根，．’．西一（－3）’一4（k＋l）＞0．（1）设JI、山是方程的两实根，由题设，得X卜Xks．即（x1＋x2）‘－2x；x2＜巳3’－2（k＋1）＜5．（2）解不等式（）和（2）并求两不等式解集的…     

对2007年浙江省高考数学卷理科第21题的分析

试题已知数列{a_n}中的相邻两项 a_(2k-1),a_(2k)是关于 x 的方程 x~2-(3k 2~k) 3k·2~k=0的2个根,且 a_(2k-1)≤a_(2k)(k=1,2,3,…).(1)求a_1,a_3,a_5,a_7;(2)求数列{a_n}的前2n 项和 S_(2n);(3)记 f(n)=1/2((|sinn|)/(sinn) 3),T_n=((-1)~(f(2)))(a_1a_2) ((-1)~(f(3)))/(a_3a_4) ((-1)~(f(4)))/(a_5a_6) ... ((-1)~(f(n 1)))/(a_(2n-1)a_(2n)),求证:1/6≤T_n≤5/24(n∈N~*).1 特点分析2007年浙江省高考数学试题在"能力立意"思想的指导下,在坚持考查学生基础知识、基本方法的同时,特别突显对学生思维能力的考查,其中理科第21题就是一个亮点.该试题以等差数列、等比数列为基础,将数列、方程、不等式、函数、三角等知识巧妙结合,体现了命题者的匠心独运和超凡构思.试题既考查学生对相关知识的掌握情况,又考查学生能否     

一元二次方程中考热点题型考题训练

一、一元二次方程及其解的概念。1．关于x的方程（k^2-1）x^k^2-2k-1＋x＋k=0为一元二次方程，求k的值．2．若a是关于x的方程x^2＋bx＋a=0的根，且a≠0，求a＋b的值．     

一道“世锦赛”方程题的寻“根”之旅

题目求方程 （x＋1）（x^2＋1）（x^3＋1）=30x^3的所有实数根的和． 本题是2011年第二届世界数学团体锦标赛青年组接力赛第二轮A题，题目文字简短，但难度较大，似乎无从下手，但若静下心来深入分析剥茧抽丝，最终“千淘万漉虽辛苦，吹尽黄沙始到金”．下面将对这道世锦赛题目的寻“根”之旅整理成文与大家分享．     

混淆充要条件，错误屡屡出现——从一道易错题谈起

1问题的提出 教学中，经常遇到这道题： 已知关于x的方程x^2＋（m-2）x＋5-m=0的两个实数根都大于2，求实数i的取值范围．本题我们很熟悉，看起来也很普通，但是学生却很容易错，多数学生的解法如下：     

浅谈数学习题中隐含条件的五种情形

数学习题中的隐含条件往往是解题的关键和突破口,如果学生能深入挖掘并充分利用题中的隐含条件,解题时就不会感到无从下手。下面举例说明数学习题中存在隐含条件的五种情形:一、隐含于概念、定理之中例1:计算:(x-y)1y-x√ 12y-x√分析:根据二次根式的意义,本题的隐含条件是y-x>o解:原式=x-yy-x(x-y)1y-x√ 12y-x√=12y-x√例2:已知关于x的方程(k-1)x2 2kx k 3=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围。分析:此题给出原方程有两个不相等的实数根,说明它是一个二次方程,所以题中隐含条件是k-1≠0,即k≠1。正确答案为k<23且k≠1。例3:等腰三角形…     

利用根与系数的关系解竞赛题

在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,设x1,x2是它的两个根,则它的根与系数满足:x1+x2=-ba,x1·x2=ca.这两个表达式看起来简单,巧妙地利用它们,可以解答不少的数学竞赛题.一、求值例1设2x2-2x+k=0,2y2-2y+k=0,且x-y=2,那么k=.(2000年河南省初三数学竞赛题)解:由题意知x,y是方程2t2-2t+k=0的根.由根与系数的关系和已知得x+y=1,xy=k2,x-y=2 ∴k=-32.例2若关于x的方程(x+a)(x+b)=M的两根是α、β,则关于x的方程(x+α)(x+β)=-M的两根的平方和为.(2002年河南省初三数学竞赛试题)解:方程(x+a)(x+b)=M可化为x2+(a+b)x+ab-M=0.由根与系数的关…     

对一道试题错解的剖析

题目关于x的方程、公二几一入孚再一1,有一个增根为4,求k的值. 据统计,该题有83%的学生解法错误,现将几种典型的错误力目以音J析. 错解1把二一4代人原方程,得 吃又4一4一、/诬互落一1. 解得k一一3. 本解法错误在于对增根概念理解不准确.既然是增根,代到原方程中去,等式不应该成立.实际上解法中把4当作原方程的根,而没有当作增根来处理.错解2将原方程化为整式方程,得 4(x十k)一(二一5一k)2.把x一4代人整式方程(*),得4(4+k)=(4一5一k)2. 解戈匕,得kZ一一3,kZ一5. 答:k的值为一3或5. 本解法已经考虑到增根的定义(即适合于由原方程所得到的整…     

处理高次方程根的问题的几个技巧

<正>高次方程根的问题是高考中的常考题.主要考查直接解方程和求方程根的个数这两方面的问题,要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.对此,许多同学常常束手无策.本文介绍一些常用方法供大家参考.一、巧用函数图象例1关于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0,给出下列4个命题:1存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;2存在实数k,使得方程恰有4个不同的     

谁的解法正确

题目:当k为何值时,方程(k2-1)x2+2(k+1)x+1=0有实数根?四位同学采取了如下四种不同的解法。甲的解法:∵△=[2(k+1)]2-4(k2-1)=8k+8.∴当8k+8>0,即k>-1时,方程有实数根。乙的解法:∵△=8k+8,∴当8k+8≥0,即k≥-1时,方程有实数根。丙的解法:∵△=8k+8,依题意有:k2-1≠08k+8≥0解之得:k≠±1,k≥-1∴当k>-1且k≠1时,方程有实数根。丁的解法:分别讨论k2-1≠0与k2-1=0两种情:(1)设k2-1≠0,依题意有k2-1≠08k+8≥0解得:k≠±1,k≥-1∴当k>-1且k≠1时,方程有两个实数根;(2)当k=1时,原方程为4x+1=0,有一个实数根;(3)当k=-1时,原方程为0·x+1=0,方程…