从一道高考题谈起

在 2 0 0 2年上海高考题中有这样一道试题 :已知函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 +2ｘ·ｔａｎθ-1 ,ｘ∈ [-1 ,3 ],其中θ∈ -π2 ,π2 .( 1 )当θ=-π6时 ,求函数 ｆ(ｘ)的最大值与最小值 ;( 2 )求θ的取值范围 ,使 ｙ =ｆ(ｘ)在[-1 ,3 ]上是单调函数 .该题以学生熟知的二次函数知识为载体 ,考查最值和单调函数的掌握情况 .解　 ( 1 )当θ=-π6时 ,ｆ(ｘ) =ｘ2 -2 33 ｘ-1=ｘ-332 -43 ,∴ｘ=33 时 ,ｆ(ｘ)的最小值为 -43 .ｘ=-1时 ,ｆ(ｘ)的最大值为2 33 .( 2 )函数 ｆ(ｘ) =(ｘ+ｔａｎθ) 2 -1 -ｔａｎ2 θ图象的对称轴为ｘ =-ｔａｎθ,∵ｙ =ｆ(ｘ)在…     

互相渗透的函数、方程和不等式

1 .方程问题转化为函数问题一元二次方程 ｆ(ｘ) =0 ,经移项 ,可化为一端是一个二次式 ,另一端是一个一次式或常数项的形式 ,从而得到 φ(ｘ) =ψ(ｘ) .令 ｙ1 =φ(ｘ) ,ｙ2 =ψ(ｘ) ,则函数 φ(ｘ)与 ψ(ｘ)的图象的交点 ,即为ｆ(ｘ) =0的解 .判断一个方程的解的个数问题 ,可用此法求解 .例 1　已知关于ｘ的方程ｘ2 -2ｘ -1-ｋ =0 ,ｘ∈ [-1,2 ] ,ｋ≤ 1,求此方程的实数解的个数 .解 :原方程化为 :(ｘ -1) 2 =2 +ｋ ,-1≤ｘ≤ 2 ,ｋ≤ 1.令ｙ1 =(ｘ -1) 2 (-1≤ｘ≤ 2 ) ,ｙ2 =2 +ｋ(ｋ≤ 1) .在同一坐标系中 ,作出它们的图象 ,如右图 .观…     

例谈函数综合题

解函数综合题 ,需熟练掌握正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数的定义、图象和性质 ,并加以综合运用 .　　例 1　已知反比例函数ｙ =ｍｘ 与一次函数ｙ =ｋｘ +ｂ的图象都经过点 (-2 ,-1 ) ,且当ｘ=3时 ,这两个函数值相等 .求这两个函数的解析式 . (2 0 0 1年山东省菏泽市中考题 )　解　由反比例函数ｙ =ｍｘ 的图象经过点(-2 ,-1 ) ,可得ｍ =2 .故其解析式为ｙ =2ｘ.将ｘ =3代入 ,得ｙ =23 .将点 (-2 ,-1 )、3 ,23 分别代入ｙ =ｋｘ +ｂ,可得-2ｋ+ｂ =-1 ,3ｋ +ｂ=23 .解之 ,得ｋ=13 ,ｂ =-13 .故一次函数的解析式为ｙ=13 ｘ-13 .…     

有关二次函数、反比例函数中考题选登

一、填空题1 用配方法将二次函数ｙ=4ｘ2 -2 4ｘ+ 2 6写成ｙ=ａ(ｘ-ｈ) 2 +ｋ的形式是 .(河南省 )2 抛物线ｙ=(ｘ-1 ) 2 -7的对称轴是直线ｘ =. (浙江省绍兴市 )3 抛物线ｙ=ｘ2 -2ａｘ+ａ2 的顶点在直线ｙ=2上 ,则ａ的值是 .(浙江省绍兴市 )图 14 已知二次函数ｙ =ｘ2 + (ａ -ｂ)ｘ +ｂ的图象如图 1所示 ,那么化简ａ2 -2ａｂ+ｂ2 + |ｂ|ａ 的结果是 . (辽宁省大连市 )5 二次函数ｙ=2 (ｘ-2 ) 2 -7的顶点为Ｃ ,已知函数ｙ =-ｋｘ -3的图象经过点Ｃ ,则其与两坐标轴所围成的三角形面积为 . (浙江省台州市 )6 对于函数ｙ =-5ｘ,当ｘ >0时 ,…     

高二数学期末测试题

一、选择题1 θ∈ ( 0 ,π2 ) ,直线ｘ +ｙｔａｎθ +1=0的倾斜角是 (　　 )(Ａ)θ　　 (Ｂ) π2 -θ(Ｃ) π2 +θ　　 (Ｄ)π -θ2 设点Ｐ(ａ ,3)在直线ｆ(ｘ ,ｙ) =0上的射影是θ( 1,ａ) ,则ｆ(ｘ ,ｙ)可以是 (　　 )(Ａ) 2ｘ - ｙ +3　　 (Ｂ)ｘ +2 ｙ - 3(Ｃ) 2ｘ - ｙ +7　　 (Ｄ)ｘ +2ｙ - 73 直线ｌ:ａｘ +ｙ +2 =0与线段Ｐ1Ｐ2 总有交点 ,若Ｐ1( - 2 ,1) ,Ｐ2 ( 3,2 )则实数ａ的取值范围是 (　　 )(Ａ)ａ≥ 32 　　 (Ｂ)ａ≤ - 43(Ｃ)ａ≤ - 43或ａ≥ 32(Ｄ) - 32 ≤ａ≤ 434 两条直线Ａ1ｘ +Ｂ1ｙ +Ｃ1=0 ,Ａ2 ｘ +Ｂ2 ｙ+Ｃ2 =0…     

巧用“△≤0”求最值

大家知道 ,一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 )根的判别式Δ =ｂ2 - 4ａｃ有着广泛的应用 .下面就用Δ≤ 0求某些函数最值谈谈它的应用 .例 1　若ｘ、ｙ、ｚ为正实数 ,且ｘ + 3ｙ + 5ｚ =15,求 ｘ + 5ｙ+ 2ｚ的最大值 .解 :设函数ｆ (ｍ ) =(ｘ + 3ｙ + 5ｚ)ｍ2 + 2 (ｘ + 5ｙ + 2ｚ)ｍ +1+ 532 + 252 =( ｘｍ + 1) 2 + 3ｙｍ + 532 + 5ｚｍ + 252≥ 0 ,ｘ + 3ｙ + 5ｚ=15>0 ,所以Δ =4 (ｘ + 5ｙ+ 2ｚ) 2 - 4(ｘ + 3ｙ + 5ｚ) 1+ 53+ 25≤ 0 .即ｘ +5ｙ+ 2ｚ≤ 4 6 .易得等号可以成立 ,故所求式的最大值为 4 6 .例 2　设θ为锐角 ,求…     

错在哪里

1　江西省宜丰县二中　龚浩生　 (邮编 :3 3 63 0 0 )题　已知函数ｙ =5ｘ ｍ3 -(2ｍ -1 )ｘ　的反函数是ｙ =(ｍ 2 )ｘ -1ｘ ｍ 4 。求实数ｍ的值。解　在函数 ｙ =5ｘ ｍ3 -(2ｍ -1 )ｘ 的图象上取一点Ｐ (-ｍ5 ,0 ) ,因为 ｙ =(ｍ 2 )ｘ -1ｘ ｍ 4 是函数 ｙ =5ｘ     

2003届高中毕业班第一次教学质量检测数学(理科)参考答案

一、选择题1.Ｂ　 2 .Ｃ　 (新 )Ｂ　 3.Ｄ　 4 .Ａ　 5.Ｂ　 6 .Ｄ7.Ｃ　 8.Ｂ　 9.Ａ　 10 .Ａ　 11.Ｄ　 12 .Ｂ二、填空题13.ｘ - 2 ｙ +3=0　 14 .ｘ =2　 15.16　 13.(新 ) 12 0 　 16 .ａｎ =2 +( - 1) ｎ 2ｎ 或ａｎ =1　ｎ为奇数3　ｎ为偶数 　或ａ =2 +ｓｉｎ2ｎ +12 π三、解答题17.解 :ｔａｎ2θ =2ｔａｎθ1-ｔａｎ2 θ=- 2 2 ,解得ｔａｎθ =-22 或ｔａｎθ =2因为 2π <2θ <3π ,所以π <θ <3π2 则ｔａｎθ >0 ,所以ｔａｎθ =- 22 (舍去 ) ,所以ｔａｎθ =2 .原式 =ｃｏｓθ-ｓｉｎθｃｏｓθ +ｓｉｎθ=1-ｔａｎθ1+ｔ…     

反比例函数中考题精选

一、填空题1 已知函数ｙ =ｋｘ 的图象经过点 (2 ,3 ) ,则ｋ =. (2 0 0 1年江苏省徐州市中考题 )2 点Ａ(ａ ,ｂ)、Ｂ(ａ -1,ｃ)均在函数ｙ =1ｘ的图象上 .若ａ <0 ,则ｂｃ .(填“ >”、“ <”或“ =”)(2 0 0 1年河北省中考题 )3 某函数具有下列两条性质 :(1)图象关于原点Ｏ成中心对称 ;(2 )当ｘ >0时 ,函数值ｙ随自变量ｘ的增大而减小 .请举一例 (用解析式表示 ) :. (2 0 0 1年江苏省连云港市中考题 )4 已知反比例函数ｙ =ｋｘ 与直线ｙ =2ｘ和ｙ =ｘ + 1的图象过同一点 ,则当ｘ >0时 ,这个反比例函数的函数值ｙ随ｘ的增大而 .(填“增大…     

浅析天津市2002年中考数学综合题

题目　已知二次函数ｙ1=ｘ2 - 2ｘ- 3.( 1 )结合函数ｙ1的图像 ,确定当ｘ取什么值时 ,ｙ1>0 ,ｙ1=0 ,ｙ1<0 ;( 2 )根据 ( 1 )的结论 ,确定函数ｙ2 =12 ( |ｙ1| -ｙ1)关于ｘ的解析式 ;( 3)若一次函数ｙ =ｋｘ +ｂ(ｋ≠ 0 )的图像与函数ｙ2 的图像交于三个不同的点 ,试确定实数ｋ与ｂ应满足的条件 .该题是天津市 2 0 0 2年中考题 .图 1由图 1及绝对值意义易得 :( 1 )当ｘ <- 1或ｘ>3时 ,ｙ1>0 ;当ｘ =- 1或ｘ =3时 ,ｙ1=0 ;当 - 1 <ｘ <3时 ,ｙ1<0 .( 2 )ｙ2 =0 (ｘ≤ - 1或ｘ≥ 3) ,-ｘ2 + 2ｘ + 3(- 1<ｘ <3) .而问题 ( 3)有较强的综合性 ,…     

一次函数问题常见错解例析

例 1　已知函数ｙ =(ｍ - 3)ｘｍ2 - 2ｍ - 2 是正比例函数 ,则ｍ =.(1997年重庆市中考题 )　错解　由题意 ,得ｍ2 - 2ｍ - 2 =1.解得ｍ =- 1或ｍ =3.剖析　正比例函数的一般式为ｙ =ｋｘ(ｋ≠0 ) ,要特别注意定义中ｋ≠ 0这一条件 .错解正是忽略了ｋ≠ 0这个隐含条件 .正确答案为ｍ =- 1.例 2　一次函数ｙ =(2ｍ - 1)ｘ +(1- 4ｍ)的图象不经过第三象限 ,则ｍ的取值范围是 .　错解　因为图象不经过第三象限 ,所以图象经过第一、二、四象限 .故有 2ｍ - 1<0 ,1- 4ｍ >0 .∴　ｍ <14 .剖析　图象不经过第三象限 ,则有两种可能 ,即图象经过第一…     

2003年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题

一、选择题 (本大题共 1 2小题 ,每小题 5分 ,共60分 ,在每小题给出的 4个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1 如果函数 ｙ=ａｘ2 +ｂｘ+ａ的图象与ｘ轴有两个交点 ,则点 (ａ,ｂ)在ａＯｂ平面上的区域 (不包含边界 )为 (　　 )2 抛物线 ｙ=ａｘ2 的准线方程是 ｙ=2 ,则ａ的值为 (　　 )　 (Ａ) 18　 (Ｂ) -18　 (Ｃ) 8　 (Ｄ) -83 已知ｘ∈ -π2 ,0 ,ｃｏｓｘ =45,则ｔａｎ 2ｘ=(　　 )　 (Ａ) 72 4　 (Ｂ) -72 4　 (Ｃ) 2 47　 (Ｄ) -2 474 设函数 ｆ(ｘ) =2 -ｘ-1 ,ｘ ≤ 0 ,ｘ1 2 ,　　ｘ >0 .若 ｆ(ｘ0 )>1 ,则ｘ0 的取值范围是 (…     

直线与椭圆有公共点问题的四种解法

题目　设 0≤θ≤π ,直线l:xcosθ +ysinθ=2和椭圆x26+y22 =1有公共点 .求 :θ的取值范围 .解法一 :(判别式法 )①cosθ=0时 ,直线l的方程为 :y =2 ,此时直线和椭圆相离 .②cosθ≠ 0时 ,直线l的方程为 :x=-ytanθ+2secθ　代入椭圆方程 :x2 +3y2 -6=0　可得 :( 3 +tan2 θ)y2 -4secθtanθ·y+4tan2 θ-2 =0由Δ =16sec2 θ·tan2 θ -4 ( 3 +tan2 θ) ( 4tan2 θ -2 ) ≥ 0 ,解得tan2 θ≤ 1,又∵ 0 ≤θ≤π ,∴θ∈ 0 ,π4∪ 3π4,π .评注 :判别式法是处理直线和圆锥曲线位置关系最常规的方法 ,思想方法较简单 ,但有时运算较复杂 .解…     

2002年安徽省高中数学竞赛

一、选择题 (每小题 6分 ,满分 36分 )1.已知集合Ｐ ={ｘ|ｘ2 =1}和Ｑ ={ｘ|ｍｘ =1} .若Ｑ Ｐ ,则实数ｍ可取值的个数为 (　　 ) .(Ａ) 0　　 (Ｂ) 1　　 (Ｃ) 2　　 (Ｄ) 32 .若ａ、ｂ是任意实数 ,且ａ >ｂ ,则下列不等式一定成立的是 (　　 ) .(Ａ)ａ2 >ｂ2 (Ｂ) ｂａ <1(Ｃ)ｌｇ(ａ -ｂ) >0 (Ｄ) 12ａ<12ｂ3.如果圆ｘ2 +ｙ2 =ｋ2 至少覆盖函数ｆ(ｘ)= 3ｓｉｎπｘｋ 的一个最大值点和一个最小值点 ,则ｋ的取值范围是 (　　 ) .(Ａ) |ｋ|≥ 3(Ｂ) |ｋ|≥ 2(Ｃ) |ｋ|≥ 1(Ｄ) 1≤ |ｋ|≤ 24 .已知ＯＰ =(2 ,1) ,ＯＡ =(1,7) ,ＯＢ =(5 ,1)…     

2002年上海市高中数学竞赛

说明 :解答本试卷不得使用计算器一、填空题 (每小题 7分 ,共 70分 )1.一个正△ＡＢＣ内接于椭圆ｘ29+ｙ24 =1,顶点Ａ的坐标为 (0 ,2 ) ,过顶点Ａ的高在ｙ轴上 .则此正三角形的边长为 .2 .已知ｘ、ｙ为正数 ,且 ｓｉｎθｘ =ｃｏｓθｙ ,ｃｏｓ2 θｘ2+ｓｉｎ2 θｙ2 =103(ｘ2 +ｙ2 ) .则 ｘｙ 的值为 .3.袋里装有 35个球 ,每个球上都记有从 1到 35的一个号码 ,设号码为ｎ的球重 ｎ23- 5ｎ +2 3克 ,这些球以同等的机会 (不受其重量的影响 )从袋里取出 .若同时从袋内任意取出两球 ,则它们重量相等的概率为 (用分数作答 ) .4 .已知正四棱台的…     

求函数值域的几种常用方法

求函数值域的方法很多 ,也没有一种固定的方法 .只能依据函数解析式的结构特征来选择相应的解法 .常用的方法有 :一、配方法形如 ｆ(ｘ) =ａｇ2 (ｘ) +ｂｇ(ｘ) +ｃ的函数的值域问题 ,都可使用配方法 .例 1　求函数 ｙ =-ｘ2 +2ｘ+3 的值域 .解　令ｕ=-ｘ2 +2ｘ +3=-(ｘ2 -2ｘ+1 ) +4=-(ｘ-1 ) 2 +4,显然有　　　　 0 ≤ｕ ≤ 4.由 ｙ =ｕ ,得　 0≤ ｙ≤ 2 .因此 ,函数的值域为 [0 ,2 ].例 2　求函数 ｙ =ｓｉｎ2 ｘ -2ｓｉｎｘ +2 -π4<ｘ≤π 的值域 .解　令ｕ =ｓｉｎｘ -π4<ｘ≤π ,则-22 <ｕ≤ 1 ,函数 ｙ=ｕ2 -2ｕ+2=(ｕ-1 ) 2 +1 .…     

二次函数问题常见错解剖析

一、忽视二次项系数ａ≠ 0所造成的错解例 1　已知二次函数ｙ =ｋｘ2 - 7ｘ - 7的图象和ｘ轴有交点 ,则ｋ的取值范围是 (　　 ) .(Ａ)ｋ >- 74 　　 (Ｂ)ｋ≥ - 74 且ｋ≠ 0(Ｃ)ｋ≥ - 74 (Ｄ)ｋ >- 74 且ｋ≠ 0(2 0 0 0年山西省中考题 )　错解　由题意 ,得Δ =(- 7) 2 - 4ｋ·(- 7)≥0 .解得ｋ≥ - 74 .所以选 (Ｃ) .剖析　当ｋ =0时 ,原函数不是二次函数 ,所以ｋ≠ 0 .故应选 (Ｂ) .例 2　已知二次函数ｙ =ａｘ2 +ａｘ +ａ - 1的最小值是 2 .求ａ的值 .　错解　由题意 ,得4ａ(ａ - 1) -ａ24ａ =2 .整理 ,得ａ2 - 4ａ =0 .解得ａ =0或ａ =4…     

浅析一次函数解析式的求法

知识链接形如ｙ =ｋｘ +ｂ(ｋ、ｂ为常数 ,且ｋ≠ 0 )的函数叫做一次函数 .ｙ =ｋｘ +ｂ是一次函数的解析式 .一、根据一次函数的定义求解析式例 1　已知一次函数ｙ =-ｘ2ｍ2 -7+ｍ -2的图象经过第三象限 ,求函数的解析式 .　解　由定义 ,得 2ｍ2 -7=1.解得ｍ =± 2 .当ｍ =2时 ,函数ｙ =-ｘ的图象不经过第三象限 ,不合题意 ,舍去 ;当ｍ =-2时 ,函数ｙ =-ｘ -4的图象经过第三象限 .故所求函数解析式为ｙ =-ｘ -4 .二、应用待定系数法求解析式待定系数法是求函数解析式的基本方法 ,一般步骤是 :(1)根据已知条件设出含有待定系数的函数解析式 …     

二次函数与一元二次方程关系的应用

知识链接二次函数ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )与一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ =0 (ａ≠ 0 )的关系是 :二次函数ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(ａ≠ 0 )的图象与ｘ轴交点的横坐标是一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的根 ;反之 ,一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ=0 (ａ≠ 0 )的根是二次函数ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )的图象与ｘ轴交点的横坐标 .一、判断二次函数图象与ｘ轴的交点情况例 1　已知抛物线ｙ =ｘ2 - (2ｍ - 1)ｘ +ｍ2 -ｍ- 2 .(1)证明抛物线与ｘ轴有两个不同的交点 .(2 )分别求出抛物线与ｘ轴的交点Ａ、Ｂ的横坐标ｘＡ、ｘＢ及与ｙ轴…     

高一数学单元测试(两角和与差的三角函数)

一、选择题1 .ｓｉｎ2 π12 -ｃｏｓ2 π12 的值为 (　　 )　 (Ａ) -12 　 (Ｂ) 12 　 (Ｃ) -32 　 (Ｄ) 322 .已知ｃｏｓαｃｏｓ β+ｓｉｎαｓｉｎ β =0 ,那么ｓｉｎαｃｏｓβ-ｃｏｓαｓｉｎ β的值为 (　　 )　 (Ａ) -1　　 (Ｂ) 0　　 (Ｃ) 1　　 (Ｄ)± 13 .已知ｆ(ｔａｎｘ) =ｃｏｓ 2ｘ ,则 ｆ -22 等于(　　 )　 (Ａ) -2 23 　 (Ｂ) 0　 (Ｃ) 13 　 (Ｄ) -14.化简1 +ｓｉｎθ-ｃｏｓθ1 +ｓｉｎθ+ｃｏｓθ等于 (　　 )　 (Ａ)ｔａｎθ　　　　 (Ｂ)ｃｏｔθ　 (Ｃ)ｔａｎ θ2 　 (Ｄ)ｃｏｔ θ25 .如果 1 -ｔａｎＡ1 +ｔａｎＡ…