三角形的几个向量充要条件

<中学数学杂志>2003年第5期刊登了安徽余金松老师<向量复习课的一次尝试>一文,文中探讨了新教材(试验本)151页第6题的证法.<中学数学研究>(江西)2003年第8期刊登了本人对新教材(试验本)151页第6题的应用一文<构造三角形重心巧解三角题三例>.     

一道课本练习题的探讨

已知△ABC中，∠ACB＝９０°，四边形ACDE和CBFG是在△ABC外的正方形，△ABC的高CH所在的直线交DG于M．求证：（１）DG＝AB；（２）CM＝１２DG．（人教版《几何》第二册１９７页B组第４题）当我们做完此题后，不妨以此图形为引子，并弱化条件，使△ABC为斜三角形，作以下探究：命题１在已知锐角三角形ABC的外面，作正方形ACDE和正方形BCGF，求证：AG＝BD．（人教版《几何》第二册１９６页A组第１３题）分析：只要证△ACG≌△DCB（可通过两边夹角）即可．本题还可以得到AG⊥BD．命题２在命题１的条件下，若O１、O…     

一个猜想的否定

《中学数学月刊》1999年第2期《三角形中的一个有趣性质》一文证明了下述命题: 设a,b,c表示△ABC的三边。当a~n,     

对一习题的看法

现行六年制重点中学课本《立体几何》有这样一道习题:平面ABC外一点P到三角形ABC三边的距离相等,O是三角形ABC的内心,求证:QP⊥平面ABC.(P.52习题第18题(2))本人认为:这个命题是错误的.其原因是在"平面外一点P到△ABC三边的距离相等"之条件,不一定能推出QP⊥平面     

又一命题及应用

贵刊1998年第9期《一个充要条件的妙用》一文,给出如下 命题1 在△ABC中,∠A>∠B sinA>sinB。 1999年第3期《一个命题及应用》一文,又给出了 命题2 在△ABC中,恒有cosA十cosB>0。 受此启发,本文再给出一个相关结果:     

关于《棱柱的高和棱锥的高的定义》的异议

贵刊86-6发表了《对于一个习题的看法》一文.陈继武同志认为现行六年制重点中学高中课本《立体几何》中的一道习题:“平面ABC外一点P到△ABC三边的距离相等,O是△ABC的内心,求证:OP⊥平面ABC.”(P52习题第18题(2))是一道错误的命题.其实这一命题是正确的,否则课本P32例1:“如果一个角所在平面外一点到     

一道课本习题的推广命题

正人教版高中数学选修4-4第26页习题2.1第3题是:已知:M是正三角形ABC的外接圆上的一点,求证:|MA|~2+|MB|~2+|MC|~2为定值.笔者在研究此题的过程中,得到了下面一个有趣的推广命题.命题△ABC是椭圆(或圆)C:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a0,b0)的内接三角形,且△ABC的重心是坐标原点O,M是坐标平面内的任意一点,则|MA|~2+|MB|~2+|MC|~2-3|OM|~2为     

一道几何名题的简证及其他

文[1]中提到了如下问题:问题1在一个角(C)等于60°的已知△ABC的各边上作等边三角形,则△ABC和对着∠C的新三角形的面积之和等于另外两个三角形的面积之和.此题选自胡·施坦豪斯的《数学万花筒》,文[1]中和原著的解答所用知识超出了新教材中初中阶段的要求,本文提供一个很简洁的解答.     

再探“圆内接三角形是锐角三角形的概率”

《中学数学教学参考》2009年第5期上旬刊刊登了张巧凤老师的“‘圆内接三角形是锐角三角形的概率’的探究”一文,文中张老师提出并解决了问题：设圆上的点是等可能分布的,作圆内接△ABC,     

一个几何定理的简证与推广

《中学数学教学》1994年第2期刊载了《关于三角形垂心性质的一个定理)一文,提出了如下定理和引理.定理 锐角三角形中,D、E、F是BC、CA、AB上的点,AD、BE、CF交于O,若O为△DEF的内心,那么O是△ABC的垂心.引理 D、E、F分别为锐角三角形边BC、CA、AB上的点,AD、BE、CF交于一点O,若DO平分∠FDE,则AD⊥BC.     

三角形中的几个不等式

在数学奥林匹克问题 (载《中等数学》2 0 0 0年第 5期第 4 9页 )中有一道几何不等式题 :在钝角△ABC中 ,∠A为钝角 ,ha 为边a上的高 ,求证 :a ha>b c.本文给出如下几个命题 .命题 1　在等腰△ABC中 ,∠ A为顶角 ,ha为边 a上的高 ,则 :(1 )若∠A=arccos72 5,则 a ha=b c;(2     

一道课本习题的探究与应用

原题:如图1,直线11∥12;ΔABC与△DBC的面积相等吗?你还可以画出一些与△ABC面积相等的三角形吗?(人教版八年级下册第十九章《四边形》习题19.1第8题)认真研究本题可以得到以下两个命题:     

直角三角形的一个有趣性质--兼擂题(62)第1题的解答

<中学数学教学>2003年第4期擂题(62)第1题是: △ABC中,CD⊥AB于D,△ACD、△BCD、△ABC的内切圆分别切AC、BC、AB于E、F、G.证明或否定:∠EGF为直角的充要条件是∠ACB为直角.     

中线分点问题的解法

HF些此邵BC,一一=得//GE豁嗣AD又·二于故 近年来,在国内外中学数学竞赛试题中,经常出现涉及三角形中线分点的间题,这类题利用下述命题来解,十分简捷。,.,. AD// EF.// BC. 命题过△ABC的顶点C任作一直线,与边八刀及中线AD分别交于点F及E.求证:AE:ED一ZAF:FB.(初中教材《几何》第二册尸。6第9题,西南师大版义务教材《儿何》第三册复习题五第6题) 例3在正方形ABCD中,E是AD边的中点,BD与CE交于F点.求证:AF上BE.(1 992年四川省初中数学联赛)图1证明:。:又BE为.BGBFFDBCDE△ABCD 例1如图2,0是正方形ABCD对角线的交点…     

对一道教材习题答案的完善

人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第112页第14题如下:如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB、BC、CA的长分别为c、a、b,求△ABC的内切圆半径r.中学数学课程研究中心编著的《教师教学用书》第     

一个三角形不等式的逆向

刘健先生在文《100个待解决的三角形不等式问题》[1]中提出了一个关于三角形中线的猜想不等式:(问题shc15(g)) 在锐角△ABC中,有 32bcmmabcbc冲+, (1) 其中a、b、c;am、bm、cm分别是△ABC的三内角A、B、C所对边长和所对边上的中线长,为循环和. 杨学枝先生在文[2]中证明了较不等式(1)更强的不等式: 在锐角△ABC中,有 114bcmmabca邋. (2) 本文考虑不等式(1)的逆向,得到 命题 在锐角△ABC中,有 44bcmmRrbcr+澹, (3) 其中R、r是△ABC的外接圆半径、内切圆半径. 证明△ABC的外心为O,点O到△ABC…     

“添辅助线寻找解题思路一例”的另一种解法

贵刊1991年第12期刊登了《添辅助线寻找解题思路一例》(以下简称《一例》)一文,阅后觉得在复习练习中,运用典型性例题复习巩固有关的基础知识,激发学生思维的发展,确是一种好的复习方法,《一例》中举出一道富有思考性的几何题,题目是:已知三角形ABC是一个等边三角形,D为AB边的中点,△BDE的面积是5平方厘米,求等边三角形ABC的面积(见叶潮鲜文的图一)在指导学生解答时,可先作出等边三角形ABC中BC边上的高     

一个命题的改进

《中学数学》(苏州)1996年第12期刊登的章建民老师的《周长为定值的整边三角形的个数问题》一文,给出了如下的命题:     

一道值得重视的例题

翻开数学辅导书或模拟试卷,会发现许多练习题、测试题都直接或间接地用到了人民教育出版社出版的《几何》第三册第36页例2的知识,有的就是它的变形.因此,加深对该例题的理解,有助于我们提高证题能力.一、分析该例题的证题思路例如图1,AD是△ABC的高,AE是△ABC外接圆的直径.求证:AB·AC=AE·AD.简析:求证比例式,首先应考虑构造两个相似三角形,因为以AC、AD、DC为边的三角形为直角三角形,又考虑到AE为直径,故而想到连结BE(或CE),证△ABE∽△ADC(或证△ACE∽△ADB)即可.证明略.二、拓展及练习1.如图2,△ABC内接于⊙O,AB=AC…     

一道课本习题的探究与应用

题目:如图1,直线l1∥l2,△ABC与△DBC的面积相等吗?你还可以画出一些与△ABC面积相等的三角形吗?(人教版八年级下册第十九章《四边形》习题19·1第8题)认真研究本题可以得到以下两个命题:命题:如图1,若直线l1∥l2,则S△ABC=S△DBC,逆命题:如图2,若S△ABC=S△DBC,则有直线l1∥l2.不难证明两个命题的正确性·