活用“两根式” 巧解不等式

对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),如果方程f(x)=0的两个实根为x1,x2,那么二次函数f(x)可写成f(x)=a(x+x1)(x-x2),这就是二次函数的“两根式”.灵活地运用二次函数的两根式,可以巧妙地解决一些不等式问题. 例1 已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R). (1)若方程f(x)=0有两个非整数实根,且这两实根在相邻两整数之间,试证     

剖析三个“二次”的联系

三个＂二次＂即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式,它们是中学数学的重要内容,具有丰富的内涵和密切的联系,也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.一、重点知识归纳1.二次函数的表达式.设二次函数f（x）=ax^2＋bx＋c,则f（x）=a（x＋b/（2a））^2-（b^2）/（4a）＋c.     

例说“三个二次”的相互转化

二次函数是重要的初等函数之一,是初中和高中数学的重要衔接点,很多问题都要化归为二次函数解决.二次函数f(x)=ax2 bx c(a≠0)的图象是一条抛物线,这类抛物线是我们研究二次方程、二次不等式的基础工具.一元二次不等式的解法,就是利用数形结合思想沟通了二次函数、二次不等式、     

数学竞赛中的“三个二次”问题

(本讲适合高中 )一元二次方程、一元二次不等式与二次函数简称“三个二次” ,它们互相联系、互相渗透组成了一个特殊的“知识板块” ,这个“知识板块”的内容异常丰富 ,技能、技巧变化多端 .因此它成了高考命题的难点 ,也是近年数学竞赛命题的热点 .1　基础知识1.1　二次函数的单调性 ,闭区间上的最值与图象对称轴位置的关系 .1.2　二次函数的几种特殊表示形式1.2 .1　顶点式 :f(x) =a(x -k) 2 +h .1.2 .2　零点式 :f(x) =a(x -x1) (x -x2 ) .1.2 .3　三点式 :f (x ) =(x -x2 ) (x -x3 )(x1-x2 ) (x1-x3 ) f (x1) +(x -x1) (x -x3 )(x2 -x3 …     

追本溯源 把“根”留住——由一道习题引起的思考

<正>一、题目在讲完一元二次不等式这节内容后,有这样一道课后的习题:设二次函数f(x)=ax²+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(m0的解集;(2)若a>0,且0相似文献   

以二次函数为背景的“三个二次”问题

一、以考查"三个二次"的关系为背景的问题【例1】已知a∈R,二次函数(f x)=ax2-2x-2a,设不等式(f x)>0的解集为A,又知集合B={x│1相似文献   

例说二次函数、二次方程、二次不等式的内在转化

二次函数是重要的初等函数之一,是初中和高中数学的重要衔接点,很多问题都要化归为二次函数解决．二次函数f(x)=ax~2 bx c(a≠0)的图象是一条抛物线,这类抛物线是我们研究二次方程、二次不等式的基础工具．《全日制普通高级中学教科书》第一册(上)1．5节——一元二次不等式的解法,就是利用数形结合思想沟通了二次函数、     

3个二次 由“暗”转“明”

所谓3个二次指的是二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)、二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)、二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0)对应于考查二次方程根的分布问题、二次函数性质(单调性、最值等)、二次不等式解或恒成立问题.对于高考而言,3个二次的考查并不陌生,几乎年年考、年年新,浙江卷很少直接考二次函数,纵观全国各个省份的高考卷,也有个别省份直接考二次函数,甚至     

二次函数论证题的巧思妙解

以二次函数为背景的高考综合题,已经从代数题的计算化、程序化层面上升为抽象论证能力的高档题,成为拉开考生思维档次的重要手段.本文从解题思路分析的角度,揭示巧思的来由、妙解的发现.例1.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足00,f(x)-x1<0.然后分别证这两个不等式.证明1由00.①又f(x)-x1=[f(x)-x]+(x-x1)=a(x1-x)(x2-x)-(x1-x)=a(x1-x)[(x2-x)-1a]<0②由①、②得x相似文献   

重视数学思想,提高解题效率

<正>一、函数与方程思想例1设f(x)=lg((1+2^x+4x+4^xa)/3),其中a∈R,如果当x∈(-∞,1]时,f(x)有意义,求a的取值范围。解析:二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者是紧密联系的,许多问题都可以利用它们来解决,只要进行合理的转化就可以了。可知1+2xa)/3),其中a∈R,如果当x∈(-∞,1]时,f(x)有意义,求a的取值范围。解析:二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者是紧密联系的,许多问题都可以利用它们来解决,只要进行合理的转化就可以了。可知1+2^x+4x+4^xa>0,即a>     

"三个二次"间的关系及应用

一元二次方程、一元二次不等式、二次函数简称为“三个二次”,它们互相联系、互相渗透,组成了一个特殊的知识板块,是一个有机的整体,利用转化化归的思想来解决有关“三个二次”之间的问题,能使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,起到化难为易、化生为熟、化繁为简,从而达到简易求解的效果.1基础知识1.1二次函数的三种形式1)一般式:f(x)=ax2 bx c(a≠0);2)顶点式:f(x)=a(x-h)2 k(a≠0);3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).1.2二次函数的性质1)函数图像为抛物线.a>0时,开口向上,a<0时开口向下.顶点坐标-b2a,4ac-b24a或(h,k).2)对称性:关于直…     

高考中永恒的话题

(2)不等式ax2+bx+c>0(<0)的解集为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)图象上方(下方)的点的横坐标的集合,所以,已知二次函数、二次不等式和二次方程中的任意一个,通过图象也就知道另外两个的情况.     

二次函数背景下不等式问题解法探究

函数问题历来是高考命题的重点,考查内容设计新颖,形式多样,综合性强.其中,以函数为背景的不等式问题,是知识网络的一个交汇点,同时也是高考命题的热点问题之一.探求二次函数背景下的不等式问题,实质是将二次函数的有关性质进行适当转化,再归结为不等式问题;其中二次函数性质的基本意义和图像特征,是问题转化的基础.因此,在实际解题中要注重从概念、图像出发,进行逻辑分析、推理和判断,并结合不等式的相关知识求解问题.一、借助不等式性质,实现参数代换转化例1已知函数f(x)=ax2 bx c(a、b、c∈R),当x∈[-1,1]时,f(x)“1.(1)求证:b“1;(2)若g(x)=bx2 ax c(a、b、c∈R),则当x∈[-1,1]时,求证:g(x)“2.分析本题中所给条件并不足以确定参数a、b、c的值,但应该注意到:所要求的结论不是b或g(x)的确定值,而是与条件相对应的“取值范围”.因此,我们可以用f(-1)、f(0)、f(1)来表示a、b、c.证明(1)由f(1)=a b c,f(-1)=a-b c#b=12[f(1)-f(-1)],从而有b=12[f(1)-f(-1)]“21[f(1) f(-1)].∵f(1)“...     

谈二次函数与三次函数的零点式应用

<正>对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)若有根x1,x2,则可写成零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).同理对一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)若有根x1,x2,x3,则可写成零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(a≠0),其应用广泛,下面简单讨论其应用.1巧证不等式     

细嚼一个一元二次不等式恒成立题组

含参的一元二次不等式恒成立问题是高中阶段最简单最常见的恒成立问题,它具有一元二次(不等式、方程和二次函数)的最基本特点,又是研究恒成立问题的最典型的例子.下面通过一个题组来看在新课标条件下,此类题目又有什么新的特点.【题组】(1)对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则a的取值范围是.(2)对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是.(3)对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a+a2的值恒大于零,则a的取值范围是.(4)对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a+a2的值恒大于零,则x的取值范围是.解决问题的基本方法应该是利用二次函数的判别式,根与系数的关系和对称性,通过对其图像位置的讨论得到参数满足的关系式.例如题(1):函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的对称轴为x=-a-24=42-a.①当42-a&lt;-1,即a&gt;6时,f(x)的值恒大于零,等价于f(-1)=1+(a-4)&#215;(-1)+4-2a&gt;0,解得a&lt;3,故有a∈.②当-1≤4-2a≤1,即2≤a...     

挖掘二次函数的一个重要性质

这里挖掘二次函数的一个重要性质以及在解题过程中的具体应用.性质如果二次函数f(x)=ax2 bx c(a≠0)有两个不相等的实数根x1、x2且x10.b2-4ac>0.证明:①由二次函数有两个不相等的实数根x1、x2.故原二次函数可写为f(x)=a(x-x1)(x-x2)且b2-4ac>0.由x10,x-x2<0,故a f(x)=a2(x-x1)(x-x2)<0,其逆也真.②由x0,x-x2>0,故a f(x)=a2(x-x1)(x-x2)>0且b2-4ac>0.其逆也真.(得证)图1图2我们从二次函数的图象也可以直观地看出:当a>0时(如…     

一次函数性质的应用

1996年全国高考试题第 2 5题 ,是一次、二次函数和不等式的综合性试题 ,当年的考生反应强烈 ,得分率很低 .实际上 ,除试题本身较难、思维层次高外 ,也说明学生对一次、二次函数特别是一次函数的性质掌握得不好 .现将原题及解答抄录于下 :已知 a,b,c是实数 ,函数 f ( x) =ax2 +bx +c,g( x) =ax +b,当 - 1≤ x≤ 1时 ,|f ( x) |≤ 1,( 1)证明 :|c|≤ 1;( 2 )证明 :当 - 1≤ x≤ 1时 ,|g( x) |≤ 2 ;( 3)设 a >0 ,当 - 1≤ x≤ 1时 ,g( x )的最大值为2 ,求 f ( x) .解 :由 ( 1)由条件当 - 1≤ x≤ 1时 ,|f ( x) |≤ 1,取 x =0得 |c|=|f ( 0 ) |…     

再谈“利用放缩法解函数零点存在问题”

文[1]对于由“e x,ln x”和其他函数(如一次、二次整式或分式)的和、差、积、商组合而成的函数的零点存在问题,利用e x≥x+1,e x>x,e x>x 2,1-1 x≤ln x≤x-1或ln xx对f(x)进行缩小时,逻辑推理有误.为行文方便,现摘抄部分如下:(2016年全国I卷理科第21题)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2有两个零点.     

具体问题具体分析的副作用

例题已知二次函数f(x)=ax2 bx c(a＞0)满足f(2 x)=f(2-x),解不等式:f[log1/2(x2 x 1/2)]＜f[log1/2(2x2-x 5/8)].     

解两类含参数的复合不等式有解与恒成立问题

本文从学生对一道含参数的一元二次不等式恒成立问题处理的逻辑错误入手,对“a≤g(x)或a≥f(x)”和“g(x)≤a≤f(x)”这两类含参数的复合不等式有解与恒成立问题进行探讨,得出相应的等价处理方案.