怎样求内切球的半径(高二、高三)

1．直角三角形的内切圆的半径如图1,设一个直角三角形的两直角边的长为a,b,斜边的长为 (a2 b2)~(1/2),则其内切圆半径     

一道课本练习题的内涵

初中《几何》第二册106页第3题,要求用两直角边a、b的代数式表示直角三角形内切圆半径r,结果为r=(a+b-(a~2+b~2)~(1/2))/2。在直角三角形中,斜边c=(a~2+b~2)~(1/2),那么上式可以用a、b、c的代数式表示为r=(a+b-c)/2。不过这样一来,r的表达式就不止一种了。     

直角三角形的一个性质及应用

性质直角三角形两直角边的和不大于斜边的丫.万.倍. 证明设a、民。分别为直角三角形的两直角边和斜边,则“2十护~。, aZ bZ)Zab, 2(az bZ))a含 Zab十b2. 即Ze“》(a, 占2).又a、西、e均为正数. :一 b板杯玄c.当且仅当a~b时取等号. 运用这一性质解题,可收到事半功倍之效果. 例1设直角三角形斜边上的高为h,内切圆半径为,,求证:。,4<李<0.5~‘一吟~’,,、~’一’‘、h、一’” 证设直角三角形的两直角边为a、b,斜边 ,·,1,1为c,则告c·h=专r(a十b十e)./‘一”、“2一’一2一:,立一竺土些 1 h_’:。十。夕“,.’.下夕z又,.’a b镇了~百c二,.,…     

直角三角形的一个美妙性质

<正>如图1,三角形ABC为直角三角形,C为直角顶点.过C作斜边AB的垂线,将三角形分成两个直角三角形,用同样的方法,再将其中的一个直角三角形再分成两个直角三角形,可以继续分下去,设三角形ABC被分成了n个小的直角三角形(图1中n=7),则这些小直角三角形的内切圆半径的平方和是一个定值.确切地,设这些小直角三角形的内切圆半径分别为r1,r2,r3,…,rn,三角形ABC的内切圆半径为r,则     

对一道“希望杯”赛题的再思考

题目设直角三角形两直角边的长分别为a和b,斜边长为c,斜边上的高为h,则a+b和c+h的大小关系是( )     

直角三角形边与面积的关系及应用

直角三角形有许多属性,除边与边、角与角、边与角的关系外,边与丽积电有内在的联系.设a、b为直角三角形的两条直角边,c为斜边.S△为面积,于是有(a+b)2=a2+2ab+b2,a2+b2=c2,2ab=4×1/2ab=4S△,∴(a+b)2=c2+4S△,即S△=1/4[(a+b)2-c2].     

经验是可贵的

经验是可贵的 .G·波利亚说 ,“我们是从经验里学习 ,……” ,还说 ,“最充分地利用经验是人类的一项伟大的任务 ,……” .由经验而产生直觉 (叫做经验直觉 ) ,是您解决问题时经常发生和产生的过程 ,你在解决下面这个具体问题时便可以体验到 .问题　已知直角三角形斜边上旁切圆的半径等于 2 ,而斜边的高等于 6-2 ,求该三角形的直角边长 .分析　直角三角形的内切圆中 ,有如下的结论是 a +b-c=d ,现在是斜边上的旁切圆 (见图 1 ) ,但本质上却是同一类问题 .凭经验直觉 ,这次的结论应该是a +b+c=d .图 1证明如下 :如图 1 ,CE+CD =2r=d ,而　…     

勾股定理和乘法公式的结合

学习了乘法公式和它的变形公式,比如a2+b2=(a+b)2-2ab之后,我们发现,在运用勾股定理进行计算时,有时若能将它们结合起来,常常会使解题过程变得简捷、明快,收到出奇制胜的效果.例1已知直角三角形ABC的周长为22+2,斜边上的中线CD长为1,求这个三角形的面积.解设两直角边分别为a、b,则由题意a2+b2=22(1)a+b=22(2)由(2)2-(1)得,2ab=4.所以S=21ab=24ab=1.解后反思对此题的解决,通常情况下,我们的思路是利用勾股定理,以及周长建立方程组,求出两直角边,然后再求出面积.仔细分析,我们会发现,求面积的实质是求两直角边的乘积,即求两个量的积,不一定…     

问题6.2解法

题目在直角三角形中,通过内心I的弦平行于斜边,并且被I分成两线段长分别为m和,,求直角三角形面积(用m和,来表示). 解如图1,由相似三角形可得出 rC足r‘以一—,O一—, 九尹刀其中r是△ABC内切圆半径,a,b,c是直角三角形三条边,c是斜边.由‘“一彭+夕,得砂一辉 刀+啊 刀Zn训mZ+nZ图1三角形面积的2倍为ab一r(a+b+c).r2护J r .r一{—一T川一州卜一州卜l{,77矛刀、刀222c一从+n+、/一mZ+形, 1二 。一兀万“口一二丁万万 “,户之nmn(刀z+n+、’mZ+n,)22(mZ+刀2)问题6.2解法~~…     

面积公式的妙用

在数学学习中,同学们常常会利用特殊平面图形面积公式来解决一些一般平面图形的面积问题。你可知道,我们还可用这些面积公式来解决一些其它数学问题。图1一、利用面积可以验证勾股定理例1如图1,我们知道在Rt△ABC中,两条直角边与斜边有如下关系:a2+b2=c2即在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。图2将四个全等的直角三角形拼成图2,利用计算小正方形的面积可以验证勾股定理。S小正方形=S大正方形-4SRt△即c2=(a+b)2-4×12·a·b=a2+2ab+b2-2ab∴c2=a2+b2.二、利用面积可以求出直角三角形斜边上的高例2如图3,在Rt△ABC中,BC…     

《勾股定理》中的数学思想

勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a、 b,斜边为c,那么a2 b2=c2．勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 b2=c2,那么这个三角形是直角三角形．勾股定理揭示了直角三角形三边关系的重要性质, 它的逆定理则是由三边关系判定直角三角形的一个方法．德国数学家、天文学家开普勒曾经说过:“几何学中有两个宝藏:一是勾股定     

从狼群的活动范围谈起

勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a^2＋b^2=c^2； 逆定理 如果三角形的三边长a，b，C满足a^2＋b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。     

勾股定理以及勾股定理的巧妙运用

<正>勾股定理大家都很清楚,就是在直角三角形中,两条直角边的平方之和等于斜边的平方,它表示了直角三角形中三条边之间的关系,即c²=a2=a²+b2+b²(Rt△中c为斜边,a、b为两条直角边)。勾股定理的应用非常广泛,不仅在几何的计算和证明中经常用到,在代     

欧拉不等式的推广

欧拉不等式是指:若三角形的内切圆和外接圆半径分别为r和R,则R≥2r。将此不等式推广到四边形中,有: 定理设双圆四边形(既有内切圆又有外连圆的四边形的内切圆和外接圆的半径分别为r和R,则 R≥2~(1/2)r ①分析如图,设ABCD为双圆四边形,边长依次为a、b、c、d,令AC=u,则 u=((ac bd)(ad bc)/(ab cd))~(1/2) (参见[3]) 设ABCD的面积为△,则△A=rs,其中s=1/2(a b c d)∴r=△/s。     

欧拉不等式的链

设三角形的内切圆和外接圆的半径分别为r和R,则2r≤R。对于上述著名的欧拉不等式,本文给出它的一个链,同时还给出欧拉不等式在四边形中的推广及其链。一、欧拉不等式的链定理1 设三角形的内切圆和外接圆的半径分别为r和R,三边为a、b、c,则2r≤(abc/(a+b+c))~(1/2)≤R。     

从东、西方文化看勾股定理的起源

什么是勾股定理?众所周知,所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图1所示,我们用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形的两条直角边,用弦(c)来表示斜边,则可得:勾2 股2=弦2,即:a2 b2=c2。     

2004年“TRULY~信利杯”全国初中数学竞赛试题(初二、初三)

1.已知实数a≠b,且满足(a 1)2=3-3(a 1),3(6 1)=3-(b 1)2,则的值为( ) (A)23. (B)-23. (C)-2. (D)-13. 2.若直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有( )     

构造法解题初探

许多数学问题如果作出所涉及的元素的图形往往可以引出简单明了的解答。例1:已知,a、b为直角三角形的两条直角边,c为斜边。求证:(a+b)/c≤2~(1/2) 分析:要证(a+b)/c≤2~(1/2)只须证明a+b≤2~(1/2)c即可,为了证明a+b≤2~(1/2)c,     

直角三角形边与面积关系的解题捷径

同学们知道,在直角边分别为a、b(a≥b),斜边为c的直角三角形中,有a2 b2=c2.在此,我们若利用完全平方公式,将其稍加变式,则可得到其边与面积S△的一个重要关系:     

2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题

一、选择题 (共 5小题 ,每小题 6分 ,满分 3 0分 )1 已知实数a≠b,且满足 (a+1 ) 2 =3 -3 (a +1 ) ,3 (b+1 ) =3 -(b +1 ) 2 .则b ba +a ab 的值为 (　　 ) .　　　　　　　　　　　　　　　　　　(A) 2 3　　　 (B) -2 3　　　(C) -2　　　 (D) -1 32 若直角三角形的两条直角边长为a、b,斜边长为c,斜边上的高为h ,则有 (　　 ) .(A)ab=h2 　　　 (B) 1a+1b=1h(C) 1a2 +1b2 =1h2 　　　 (D)a2 +b2 =2h23 一条抛物线 y =ax2 +bx +c的顶点为 ( 4,-1 1 ) ,且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负 ,则a、b、c中为正数的 (　　 ) .(A)只有a…