Cauchy-Schwarz不等式的多种证法及推广

本文对高等数学中一个非常著名的Cauchy-Schwarz不等式采用多种证法进行了证明,并对其加以推广.     

关于具有某些性质的函数是对数函数的另一证法

通常讨论的函数方程都是假定f(x)是连续函数，但[1]中对满足条件f(xy)=f(x) f(y),x、y∈(0, ∞)的单调函数是对数函数给出了证明。本文利用函数的可积性给出它的另一证法。     

Cauchy-Schwarz不等式的证明和应用

Cauchy—Schwarz不等式有多种证明方法而且应用广泛．本文归纳了几种Cauchy—Schwarz不等式的典型证明方法,并探讨了Cauchy—Schwarz不等式的应用．     

函数的连续性、单调性、可积性及原函数存在性之间的关系

"数学分析"及"高等数学"中有几大类重要函数:连续函数、单调函数、可积函数与存在原函数的函数,它们之间存在着微妙的关系。研究它们之间的相互关系,在对知识的理解、加深、巩固及数学核心素养的提升上有着十分重要的作用。该文作者担任"数学分析"、"复变函数"与"高等数学"教学工作近三十年,同时也为考研辅导班上课,认为明晰这几类重要函数之间的关系意义非凡,故在此分享。     

谈定积分不等式的几种证法

文章针对被积函数是连续函数、可导函数的定积分不等式提出了几种有效的证明方法。     

可积函数的判别及逼近性质的证明

通过对定积分定义的了解,进一步研究函数可积的充分条件、必要条件及充要条件,并且给出了可积函数可用连续函数逼近结果的证明。     

Gronwall不等式的推广及应用

在微分方程,解析函数等课程的学习中,经常用Gronwall不等式来证明方程逐次近似解的收敛性,有界性和唯一性。将Gronwall不等式推广到n维向量空间,并应用推广定理证明微分方程组解的唯一性。     

平均值函数的极值问题

对[1]、[2]中在[a，b]上的可积函数f(x)的平均值函数F(x)={1/x-a∫a^x f(t)dt x∈(a,b) f(a) x=a的极值问题提出了改进。     

关于Cauchy-Schwarz不等式的推广与应用

给出Cauchy-Schwarz不等式的行列式形式,然后对其进行了推广,最后说明推广后的不等式在一些实际问题中的应用.     

数学分析中几个基本定理的推广

把经典分析数学中,连续函数的微积分基本定理、牛顿—莱布尼兹公式,推广到了对任一黎曼可积函数仍成立,在理论上肯定了任一黎曼可积函数都存在连续的广义原函数,并给出了求连续的广义原函数的一般方法．     

函数的"连续开拓"及应用

连续开拓是函数连续性中的重要概念,对函数在某点做的连续开拓所得到的函数称为连续开拓函数,连续开拓函数在函数的有关问题证明中起重要作用.     

积分第一中值定理的改进和推广

研究了积分第一中值定理的中间值问题,证明了定理中的中间值可以属于开区间内部,并进而将积分第一中值定理的被积函数连续性的条件减弱为可积且有原函数.     

Hadamard不等式的应用与推广

应用Hadamard不等式及一些相关的凸函数不等式可以在调和平均值、几何平均值、算术平均值之间再插入其它的数,构成新的不等式,并给出Hadamard不等式在一元情形下的一个推广。     

关于二重积分中值定理的一个推广

本在献[2]的基础上将二重积分中值定量中一点的结果推广到包含这一点的某一区域上，得到定理2及推论1，2，3。     

C~n空间中有界域一个积分公式的拓广

利用向量函数组w1,w2, ...wm-1以及互相独立的实参数组λ1,λ2, ...λm-1证明了Cn空间有界域上光滑函数的积分表示公式，这个公式可以看为全纯域上著名积分公式在光滑函数上的拓广，通过适当选择其中的向量函数组和参数组可以得到Cn空间各种有界域上的积分表示公式。     

不定积分中存在的一些问题

分析了高等数学和数学分析教材中的积分计算和积分证明中出现的错误,得到了正确解决这些问题的结论。     

奇、偶函数概念的拓广

指出了传统奇、偶函数概念的不足，并给出奇、偶函数新概念，消除了一些不合理的现象，从而拓广了奇、偶函数的范围，同时，证明了新旧概念下的奇、偶函数在对称性、导数和积分等方面具有相同的性质。     

谈反例教学对数学思维品质的培养

在数学分析教学中,笔适时抓住教材中的“瑕点”,应用反例教学,对调动学生的积极思维－思维的敏捷性、灵活性、批判性,起到了较好的效果。同时还指出了几本高等数学参考书中关于不定积分、二重积分、曲线积分计算中出现的错误。     

C^n空间有界域上Cauchy-Leray公式和Cauchy-Fantappie公式的拓广

本文得到C^n中有界域上积分核含有向量函数的Cauchy—Leray和Cauchy—Fantappie的拓广式，同时还可以得到C^n空间中有界域上全纯函数著名的Cauchy—Fantappie公式的一种积分核含有向量函数的拓广式，在公式中适当的选取参数，可以得到至今许多区域上光滑函数和全纯函数种种已有积分公式．