例谈“点差法”在解析几何中的应用

解析几何中的圆锥曲线是高考的重点、难点和热点。而其中的计算往往是非常困难的．如何避免大量复杂的计算,也就成了处理这类问题的难点与关键．在解析几何的运算中,有时我们为了解题方便常设一些量而并不解出这些量,利用这些量架起连接已知量和未知量的桥梁从而问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”．这实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．     

例谈点差法在解题中的应用

<正>在解析几何圆锥曲线这一章中,我们常常会碰到一类与弦中点有关的问题,对于这一类问题常用的解法是"点差法".所谓点差法就是将弦的两端点A(x1,y1),B(x2,y2)代入圆锥曲线方程,然后将所得的两式相减,再因式分解,求得弦的斜率,其中用到的公式有     

“点差法”在解析几何题中的应用

在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）,代人圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”,此法有着不可忽视的作用,其特点是巧代斜率．本文列举数例,以供参考．     

例谈"点差法"在解析几何中的运用

所谓“点差法”是指：先设弦的2个端点的坐标为（x1,y1）、（x1,y2）,再代入圆锥曲线方程得2方程后相减,得弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,进而求解的方法．在解答平面解析几何中的某些问题时,如果能适时运用点差法,可以达到“设而不求”的目的,便于应用韦达定理、中点公式、斜率等,同时,还可以降低解题的运算量,优化解题过程,但必须注意用判别式大于零来确保相交．这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围．     

定比点差法在圆锥曲线中的应用

在解答圆锥曲线中的中点弦问题时,点差法是最直接、最常用的方法,同时点差法也避免了较为复杂的代数运算,原理清晰,过程明了,受到广大师生的喜爱.实质上,点差法只是处理定比弦长类问题的一个特例,其本质应为定比点差法(也称倍长点差法),即在涉及弦长类比例关系时的一种转化方法.     

例谈圆锥曲线中的定比点差法

直线与圆锥曲线相交弦涉及定比分点问题,常规解法是把比例关系用坐标表示,计算量较大,如果涉及的定点并非中点,是否还能运用点差法呢?本文对定比点差法的应用进行了一些举例与拓展探究.     

“设而不求”在解析几何中的应用

解析几何中的圆锥曲线是高考的重点、难点和热点,如何在解题过程中避免求交点,从而简化计算,也就成了处理这类问题的难点与关键．下面介绍一种策略——设而不求,这实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．     

妙用“点差法”巧解解析几何综合题

众所周知，解析几何综合性问题具有涉及的知识点多、运算量大、形式灵活多变等特点。学生对此类问题颇感头疼，往往采取“退避三舍”的态度，使此处教学陷入僵局。笔者通过研究发现，许多解析几何综合题，均可妙用解决“中点弦”问题的常用方法——“点差法”来解决，往往可以收到化繁为简、出奇制胜的效果。现就具体问题展示如下。     

慎用“点差法”解解析几何综合题

文献[1]介绍了妙用"点差法"巧解解析几何综合题,读后获益匪浅.用"点差法"解决圆锥曲线中中点弦的有些问题,常能使解题思路清晰、运算简洁、结构紧凑,易于学生理解与接受.但由于学生未能准确理解"点差法"的适用范围和前提条件,有时会陷入困境,或者求解不完整,甚至会求解出错等.作为     

例谈定比点差法在圆锥曲线问题中的应用

圆锥曲线的中点弦问题可以采用点差法求得中点坐标与弦直线斜率的关系,定比点差法是点差法的拓展与延伸,在处理直线与圆锥曲线交点问题的时候提供了新的思路,合理利用此方法可以大大降低计算复杂度,开拓学生思维.     

再议“点差法”

在解答平面解析几何中直线与圆锥曲线位置关系时,若设直线F（x,y）=0与圆锥曲线G（x,y）=0的交点A、B（弦的端点）坐标为（x1,y1）、（x2,y2）,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为＂点差法＂.     

“点差法”，差在哪？

中点弦问题是解析几何中的重点、热点问题。解圆锥曲线的中点弦问题，很多学生习惯于用所谓“点差法”：首先设出弦的两端点坐标，然后代入圆锥曲线方程相减，得到弦中点的坐标与所在直线的斜率的关系，从而求出直线方程。但是，有时候符合条件的直线是不存在的，这时使用“点差法”便会走入“误区”。下面问题中便有学生经常掉入“陷阱”。     

例谈解析几何法在代数中的应用

解析几何是高中数学中的一个重要内容，它用代数的思想和方法解决几何问题，其优点是形数结合，把几何问题转化为数、式的推演计算．反之，数、式问题也可以借助解析几何模型来处理．下面略谈它的应用．     

浅析“点差法”在圆锥曲线中的应用

直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何中常见且重要的题型,也是高考命题的热点,但是往往学生在此部分的得分不高,因为用传统解法它的计算量大,烦琐,费时,出错率高。在多年的教学实践中发现点差法在解决圆锥曲线中一些特定的问题如求中点弦方程、求弦中点轨迹、求垂直平分线、求定值问题,可以化繁为简,有出奇制胜的效果。点差法:设弦的两个端点坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2),代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这种代点作差的方法被称为点差法。     

点差法公式的应用

直线与圆锥曲线相交弦中点问题,是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问题,锯决问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关...     

“代点法”在解析几何中的应用

从“代点法”的引入、变式、引中等几个方面，通过具体的实例探讨“代点法”的应用．同时，指出在应用“代点法”解决问题时，应该注意的问题．     

定比点差法巧解三类圆锥曲线问题

圆锥曲线问题是高考数学中的一个难点,也是近几年高考及各地模拟考试的必考点.文章讨论了三种类型的定比点差法,并以2022年三道圆锥曲线高考题为例,运用定比点差法对其进行探究.     

浅谈“点差法”在求圆锥曲线范围问题中的应用

圆锥曲线问题是高中数学的难点之一,圆锥曲线的弦的中点有关问题是常考查的内容．解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解,过程繁琐,计算量大．“点差法”是由弦的两端点坐标代人圆锥曲线的方程,得到两个等式相减,可得一个与弦的斜率及中点相关的式子,再结合有关条件来求解．