一个三角形不等式

命题　设△ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径分别为a、b、c、R、r.则有b2 c22bc ≤ R2r.①证明 :　记△ABC的面积为S .由abc =4RS及S =12 r(a b c)知式①等价于b2 c22bc ≤abc(a b c)1 6S2 .②由海伦公式知1 6S2 =(a b c) (b c -a)·(c a -b) (a b -c) .③则式②等价于1 6S2 (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) (a b c) (b c-a) (c a -b)·(a b-c) (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) 2ab2 c2 - (b c -a) (c a -b)·(a b -c) (b2 c2 ) ≥0 b2 [ac2 - (b c-a) (c a -b)·(a b -c) ] c2 [ab2 - (b c-a)·(c a -b) (a …     

不等式1／a＋1／b＋1／c≥9的妙用

这是一道常见的题目:已知a、b、c∈R~ ,且a b c=1,求证:1/a 1/b 1/b≥9(*).灵活利用不等式(*)及其证法,我们可以巧妙地解答与之相关的数学命题.证明1:因为a、b、c∈R~ ,a b c=1.所以1/a 1/b 1/c=(a b c)/a (a b c)/b (a b c)/c=3 (b/a a/b)     

绝对值问题5例

例1 若a、b、c均为非零实数,且a＋b＋c=0,求代数式｜a｜b/a｜b｜＋｜b｜c/b｜c｜＋｜c｜a/c｜a｜的值。     

合比定理在不等式中的推广和应用

在比例中,合比定理即若a/b=c/d,则(a b)/b=(c d)/d,(1)但当a b≠0且c d≠0时,(1)还可写成: a/(a b)=c/c d 把(1)、(2)推广到不等式中,可得定理若a/b≥c/d,则 (a b)/b≥c d/d,(*) 若a/b≥c/d>0,则 a/(a b)≥c/(c d).(**) 证:∵a/b≥c/d, ∴a/b 1≥c/d 1, ∴(a b)/b≥(c d)/d。∵a/b≥c/d>0 ∴0相似文献   

具有相同规律的一组数学竞赛题

先看下面的一个公式:设ai∈R,bi∈R+,i=1,2,…,n.则a21b1+a22b2+…+a2nbn≥(a1+a2+…+an)2b1+b2+…+bn.这个公式是由柯西不等式稍加变形后得到的,用它处理一类分式不等式问题十分方便.下面举例说明.例1已知a、b、c∈R+.求证:ab+c+bc+a+ca+b≥32.(第26届莫斯科数学奥林匹克)证明:ab+c+bc+a+ca+b=a2a(b+c)+b2b(c+a)+c2c(a+b)≥(a+b+c)22(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)2(ab+bc+ca)=32.例2设a、b、c∈R+,且abc=1.则1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32.(第26届IMO)证明:1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)=a2b2c2a3(b+c)+a2b2c2b3(c+a)+a2b2c2c3(a+b)=b2c2a(b+…     

一道竞赛题的别证与加强

1989年四川省高中数学联合竞赛第二试题1为: 已知a、b、c、d是任意正数,求证: (a/b+c)+(b/c+d)+(c/d+a)+(d/a+b)≥2。本文首先给出此竞赛题的一种简便证法,然后再将竞赛题进一步加强。证根据柯西不等式有 [a(b+c)+b(c+d)+c(d+a)+d(a+b)] ((a/b+c)+(b/c+d)+(c/d+a)+(d/a+b))≥(a+b+c+d)~2。     

用均值不等式证高次不等式

1．设a,b,c∈R^＋,求证： （a＋2b/a＋2c）^n＋（b＋2c/b＋2a）^n＋（c＋2a/c＋2b）^n≥3． 证明a＋2b/a＋2c＋b＋2c/b＋2a＋c＋2a/c＋2b≥3 ←→（a＋2b）（b＋2a）（c＋2b）＋（b＋2c）（c＋2b）（a＋2c）     

高考对平面向量的考查要点

一、考查平面向量的基本概念和运算律例1设a、b、c是任意的非零平面向量,且互不共线,给出下列四个命题:①(a·b)c-(c·a)b=0;②｜a｜-｜b｜<｜a-b｜;③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9｜a｜2-4｜b｜2.其中真命题有()A.①②B.②③C.③④D.②④解析①∵a、b、c互不共线,∴(a·b)c与(c·a)b分别与c、b共线,而c与b不共线,∴(a·b)c≠(c·a)b,故(a·b)c-(c·a)b=0不成立.②∵a、b、c互不共线,∴a、b、a-b可以构成三角形,∴｜a｜-｜b｜<｜a-b｜.③∵犤(b·c)a-(c·a)b犦·c=(b·c)a·c-(c·a)b·c=(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0,…     

例谈放缩法证明不等式

放缩法证明不等式主要依据不等式的传递性.利用放缩法证明不等式的关键在于如何放缩,放缩度是放缩法的关键.下面就以以下几个例子,谈谈几种常规的放缩手段.一、添上(或去掉)某些项,从而达到放缩的目的:【例1】已知a,b,c,为非负实数,试证明:a2 ab b2 b2 bc c2≥a b c.证明:∵a2 ab b2=(a 2b)2 34b2≥a 2b①b2 bc c2=(c 2b)2 34b2≥c 2b②① ②得a2 ab b2 b2 bc c2≥a b c.得证.二、通过对分子,分母的放大或缩小从而达到放缩的目的:【例2】已知a,b,c,d∈R S=a ba d b cb a c cd b d da c,求证:11aa b d>a b ac dbb c a>a b …     

一个立方公式在解竞赛题中的应用

本文证明一个立方公式 ,通过这个公式能使一些涉及立方的问题得到轻松的解决 .这个公式是 :a3 b3 c3-abc=(a b c) (a2 b2 c2 -ab-bc-ca) . ①证明　由立方和公式a3 b3=(a b) (a2 -ab b2 )以及和的立方公式 (a b) 3=a3 b3 3ab· (a b) ,则a3 b3 c3- 3abc=(a b) 3 c3- 3ab(a b) - 3abc=(a b c) [(a b) 2 - (a b) ·c c2 ]- 3ab(a b c)=(a b c) [(a b) 2 - (a b)·c c2 - 3ab]=(a b c) (a2 b2 2ab-ac -bc c2 - 3ab)=(a b c) (a2 b2 c2 -ab -bc-ca)公式①是一个十分重要的公式 ,在①中 ,若a b c=0 ,则有a3 b3 c3=3abc. ②以下举…     

谈双圆四边形的一个性质

《数学教学》2001年第6期的数学问题548是设△ABC的三边长为a,b,c,求证:b c a c a b a b ca b c+?++?++?>22.①《中学数学月刊》在2002年第11期第29页用换元法给出了其一简证,并在2003年第7期又给出了其一个类似.在△ABC中,三边长为a,b,c,求证:c a b a b c b c aa b c+?++?++?≤3.②笔者发现,在双圆四边形中也有定理在双圆四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,R、r表示其外接圆半径、内切圆半径,则42b c d a a c d ba b≤++?+++?+a b d c a b c dc d++?+++?4r r24R2r2≤r+?③证明记1()s=2a+b+c+d,由文[1]得abcd=(s?a)(s?b)(s?c)(s?d).…     

2007年第2期问题解答

79.已知a、b、c∈R ,且abc=8,求aabbcc的最小值.解:因为函数(f x)=lnx在(0, ∞)上是增函数,所以对于任意a,b∈R ,恒有(a-b)[f(a)-f(b)]≥0成立,即a ln a b ln b≥a ln b b ln a.①同理,b ln b c ln c≥b ln c c ln b.②c ln c a ln a≥c ln a a ln c.③由① ② ③得2ln(aabbcc)≥(b c)ln a (a c)ln b (a b)ln c.所以有3ln(aabbcc)≥(a b c)ln(abc),即aabbcc≥(abc)a b c3.又因为abc=8,所以a b c≥3#3abc=6,即aabbcc≥82=64.当且仅当a=b=c=2时取等号,所以aabbcc的最小值为64.80.设a,b>0,求证:当λ>2时,有!a aλb$ !b bλa$≤λ$!λ2-1.证明:…     

一道不等式的推广

人教版教材高中数学第二册上(必修)第30 页有这样一道习题 已知:a > b > c,求证: 1 1 1 > 0 . a ? b b? c c ? a 此题可推广如下: (1)已知 a > b > c,求证: a ? b b? c c ? a 1 1 4 ≥ 0 . 证明 ∵(a ? c)(a 1 1 ? b b ?c) =[(a ?b) (b ?c)](a ? 1 1 ≥ 4, b b ? c) ∴ ,　 a ? b b ? c a ?c 1 1 ≥ 4 1…     

漫谈公式a b c=0<==>a~3 b~3 c~3=3abc在解题中应用

设a、b、c是不都相等的实数,则有下列公式:a b c二0 令乡a3 b, c’二3abc, 因为:a, b’ e,一3abc=(a b e)(a: 乙2 c:一a6一石c一ea)=于(a b c)〔(a一乙)2 (丢一c)2 (a一c).〕当a、西、e不都相等时,(a一乙)2 (b一c)2 (a一e)2特0(>0),所以a 右 c二o牵今a, b3 c3一3a乙e二0,即 a b     

从三种观念抓勾股定理的教学

一、公式变形观念初学勾股定理时 ,可结合右图 ,要求学生牢记 a2 b2= c2。同时 ,更重要的是引导学生得出变形公式 ,可以列成如下表格 :勾股定理∠ C=90° a2 b2 =c2已知求变形公式a、b c c=a2 b2a、c b b=c2 - a2 =( c a) ( c- a)b、c a a=c2 - b2 =( c b) ( c- b)　　如果教师没有把公式变形的观念点出来 ,学生往往只是用原公式解题 ,如已知直角三角形中斜边 c=2 5,直角边 a=2 4 ,求直角边 b。没有点出公式变形观念 ,学生会根据勾股定理导出 2 4 2 b2 =2 52 ,然后解出b= 7,点出了变形观念后 ,学生明确了解题目标 ,就能迅速选用变…     

数学问答

问题 155.已知a、b、c是正实数且a b c=1,求证:1/a b 1/b c 1/c a≥9/2.     

《一组猜想不等式的证明》引发的思考

在文[1]中,陆爱梅老师提出一组四个猜想不等式: 猜想1 已知a,b,c是满足abc=1的正数,证明:a2/a3+2+b2/b3+2+c2/c3+2≤1/3(a+b+c); 猜想2 已知a,b,c是满足a+b+c=1的正数,证明:a2/b+c2+b2/c+a2+c2/a+b2＞3/4; 猜想3 已知a,b,c是满足a+b+c=3的非负实数,证明:a+b/a+1+b+c/b+1+c+a/c+1≥3; 猜想4 已知a,b,c是两两不同的实数,证明:(a-b/a-c)2+(b-c/b-a)2+(c-a/c-b)2≥a2+c2/a2+b2+b2+a2/b2+c2+c2+b2/c2+a2.     

一个几何不等式的最佳形式

设ta、tb、tc分别是ABC的三条角平分线长,a、b、c为三边长,R、r、p分别是三角形的外接圆半径、内切圆半径、半周长,∑表示循环和.文[1]证明了不等式bct2a cat2b abt2c≥4.文[2]将此不等式加强为∑bct2a≥34Rp23.本文给出它的最佳形式∑bct2a=Rr 2.证明:由三角形角平分线长的公式知ta=2bccosA2b c.　　则t2a=4b2c2cos2A2(b c)2=2b2c2(1 cosA)(b c)2=2b2c2(b c)21 b2 c2-a22bc=bc(b c a)(b c-a)(b c)2=4bcp(p-a)(2p-a)2.故bct2a=(2p-a)24p(p-a)=14·pp-a 12 p-a4p.同理,cat2b=14·pp-b 12 p-b4p,abt2c=14·pp-c 12 p-c4p.　　于是,有∑b…     

一道课本习题的探究

全日制普通高级中学教科书《数学》第一册(上)第136页的第7题是:已知a2,b2,c2成等差数列(公差不为0),求证:b+1c,c+1a,a+1b也成等差数列.此题的证明并不难,我们感兴趣的是该问题的逆命题成立吗?笔者发现:命题若b+1c,c+1a,a+1b成等差数列,则a2,b2,c2也成等差数列.证明由b+1c,c+1a,a+1b成等差数列可得b+1c+a+1b=c+2a,因此(a+b)(a+c)+(b+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),即a2+c2=2b2.所以a2,b2,c2成等差数列.于是,我们有:定理1设a,b,c∈(0,+∞),则a2,b2,c2成等差数列的充要条件是b+1c,c+1a,1a+b成等差数列.波利亚在《怎样解题》一书中这样写道:当你发现了一…     

《数学通报》问题1885的另证与推广

《数学通报》2010年11月第1885号数学问题是:已知a,b,c为正数,求证:(9a)/(b+c)+(16b)/(c+a)+(25c)/(a+b)≥22.证明原不等式等价于9(a+b+c)/(b+c)+16(a+b+c)/(c+a)+25(a+b+c)/(a+b)≥72