关于一道平几难题与一道国际数学竞赛题

贵刊在1992年第5期上发表了肖华光老师对一道平面几何难题的几种巧妙证法,对我启发很大。 题目:已知(如图1)I是△ABC的内心,HD是内切圆I过切点D的一条直径,连AH延长交Bc于E。B 结论:BE~CD。ED 我发觉此题的结论与第33届国际数学奥林匹克试题的第4小题有密切联系。 题目:在一个平面中,C为一个圆周,直线l是圆周的一条切线,M为l上的一点,试求具有如下性质的所有点尸的集合:在直线l上存在两个点Q和R,使得M是线段QR的中点,且C为三角形尸QR的内切圆。 分析:联系上述平几难题,设p是所求集合中的一点,过切点D(点D任L)作圆周C的直径DH,…     

一道几何难题的两种简证

正二次曲线蝴蝶定理的推论:任意四边形ABCD的一组对边BA与CD交于M,过M作割线交另一组对边所在直线于H、L,交对角线所在直线于H′、     

一道平几赛题的新证及推广

2009年全国高中数学联赛陕西赛区初赛的一道平面几何题是： 如图1,PA,PB为圆O的两条切线,切点分别为A,B,过点P的直线交圆O于C,D两点,交弦AB于点Q,点Q,求证：PQ2=PC·PD—QC·QD．（1）     

一道竞赛题简证

设数列a_0,a_1,a2,…,a_n满足a_0=1/2,及a_(k 1)=a_k (1/n)a_k~2(k=0,1,2,…,n-1),其中n是一个给定的正整数。试证:     

简证一道竞赛题

第31届西班牙数学奥林匹克第2题:证明:如果(x+x2+1)(y+y2+1)＝1,那么x+y＝0.本刊2001年第4期P16给出了上题的一种证法,现给出更简捷的证法.     

简证一道比赛题

题 已知O为△ABC的外心，AO或AO的延长线交BC于M证明：BM：MC=sin2X:sina2B     

简证一道联赛题

题如图1,已知等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I工与BC边的切点,作MD／／AC,交⊙I于点D．证明：PD是⊙I的切线．     

一道竞赛题的简证

在1997年安徽省初中数学竞赛中有一道几何选择题（见《中等数学》1998年第1期）如下: 4.在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M,N,使∠MCN=45°,记AM=m,MN=x,BN=n.则 图1以x,m,n为边长的三角形的形状是().(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)随x,m,n的变化而变化的     

一道赛题简证

第六届国家集训队曾习作过这样一道试题:     

一道数学题的简证

《数学通报》93年10月号问题：原证法较繁．利用公式tg3θ=tg(60°-θ)·tgθ·tg(60° θ)来证较简单．证法如下：注本题亦可令θ＝35°来证。一道数学题的简证@宋志学$黑龙江绥棱一中@郝天媛$绥棱三中     

一道竞赛题的简证

题目:在以O为圆心的圆中,弦CD垂直于直径AB,而弦AE平分半径OC。求证:弦DE平分弦BC。 (第21届俄罗斯数学奥林匹克)。 证明:如图,连结BD,并设OC的中点为F,弦DE与BC交于点G。     

简证一道推广命题

本刊1996年第10期第38页笔者给出一道推广命题:若实数x、y满足Ax~2 Bxy     

一道竞赛题的简证

题目 求证:在两个连续平方数之间不存在四个自然数am_1 m_2,又由a≥n~2可推知m_1m_2≥n~2,     

一道竞赛题的简证

在各类数学竞赛中,几何题占有相当大的比例。近年来出现用复数法解几何题的趋势,这种思考方法对于涉及旋转的几何题效果尚好。下面是去年的高中数学竞赛中第二试的一道几何题。原题如下: 如右图,△ABC与△ADE均为等腰直角三角形,AC>AE,今将△ADE绕A旋转,求证不论旋转至什么位置,连线CE上必有一点M,使△BDM为等腰直角三角形。这道题有一定难度,首先在于△ADE位置的不确定性,其次CE上点M的性质也     

简证一道联赛题

1993年全国高中数学联合竞赛第一试第三大题: 题 三棱锥S-ABC中,侧棱SA、SB、SC两两互相垂直,M为△ABC的重心,D为AB中点,作与SC平行的直线DP,证明:     

一道平几例题的演变

在几何复习中除掌握基本概念、定理和证法外,教师挖掘题目之内在联系,运用动的观点,恰当地进行几何图形的合理形变(改变命题的题设和结论),即对典型的课本例题或习题进行演变、引申、拓广,这样对提高学生的应变能力、探索能力、解题能力,落实双基都起着重要作用.现将现行初中几何第二册P124的例题进行系列演变. 题目:如图,⊙O_1和⊙O_2外切干点A,BC是⊙O_1和⊙O_2的公切点,求证:AB⊥AC. 证明略(参见几何第二册P124) 1.改变结论:求证:2(∠BAD ∠CAD)=180°. 2.改变直线BC与两国的位置:(如图     

一道平几题的应用

定理设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,则b~2=a~2+ac的充要条件是∠B=2∠A. 这是一道脍炙人口的名题,通常被人们视为平几中一题多解的典范,而往往忽视了它的潜在功能.本文就其应用介绍如下: 一、解三角形例1 若△ABC的三边长为连续整数,且最大角∠B是最小角∠A的两倍,求三角形的三边长. (第10届IMO试题) 解:设AB=X,则AC=I十1,M=I—l,由定理得 (。+1)2一k-])’+k-1),化简整理得X’-SX一0, ∴\X=0(舍去)或X一5.故 AB=5.M=4,AC=6. 例2 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若角A、B、C的大小成等比数列且b~2-a~2=ac,则     

一道平几习题的演变

习题：在圆内接△ABC中，AB=AC，经过点A的弦与BC和BC分别相交于D、E，如图一。求证：△ABD△AEB。（九年义务教育教材《几何》第三册，第100页第12题）这是一道典型的圆内接三角形问题。教学时，对题没、结论等进行多视角的重构、演变，一题多练，对于揭示知识间的内在联系，增强习题教学的趣味性，提高教学效果，培养学生思维的灵活性和应变能力，是十分有益的。演变之一：保留条件，更换结论在题没条件下，求证：是定值。演变之二：更换条件，保留结论把条件AB=AC更换为AB·CE＝AE·CD，求证结论不变。演变之三：交换条件和…     

一道平几题的启示

初中几何第一册第225页第8题: 在△ABC中,∠C=90°,AC=2.1cm,BC=2.8cm。①求△ABC的面积;②求AB;③求高CD。要求高CD,一般的解法是先求出面积:S_(△ABC),再用勾股定理求斜边AB,然后利用面积相等的关系求出斜边上的高CD,如果不先求出面积和斜边上的长,能否直接求出斜边上的高呢?