一个三角恒等式在几何解题中的应用

<正> 形如ab=cd+ef的几何问题,其思路不易展开,用“三角法”也有一串冗长的演算。今介绍一个三角恒等式用来证明这类几何问题,它可以省去添加辅助线和冗长计算的麻烦。 三角恒等式。 若α+β+γδ=π, 则sin(α+β)·sin(β+γ)=sinα·sinγ+sinβ·sinγ……(1) 证明:α+λ=π-(β+δ)、∴cos(α+γ)=-cos(β+δ)     

逻辑运算的完备性浅议

逻辑代数中,一般定义六种命题运算 (或逻辑运算):“非”(一)、“与” (·)、a或,,(+)、"蕴涵,,(”),“等价”(、一约和“异或”(④)。这六种命题运算之间有以下的关系: A、B=A+B==A·B; A。、B=(A、B)(B、A)==(A+B)(B十A)=AB+AB; A①B=AB十A B.这些等式的正确性可用全代入法验证。 .46· 这些等式说明,运算“一”、“一尹、“①”可以用“一”、“·”、“十”三种运算表示出来,因此,常称“一”、“·”、“十”为三种基本命题运算。 那末,只有这三种基本命题运算就够用了吗?本文回答只有这三种命题运算就足够了,进而讨论逻辑运…     

幂运算注重“三用”，避免“三错”

幂的运算性质①am·an =am +n(m、n都是正整数 ) ;②(am) n=am n(m、n都是正整数 ) ;③ (ab) n=anbn(n为正整数 ) ;④am÷an=am -n(a≠ 0 ,m ,n都是正整数 ,且m >n)是整式乘除的基础 ,学好这部分内容 ,要注重“三用” ,避免“三错” .一、注重三个运用1 综合运用整式的混合运算一般要综合运用幂的运算性质及其他数学知识来解决 ,要细心观察算式 ,明确运算顺序 ,即先算幂的乘方和积的乘方 ,再算同底数幂的乘除法 ,然后加减运算 .例 1　计算 :(x4) 2 -x· (x2 ) 2 ·x3 + (x2 ) 4-( -x) ·( -x) 3 · ( -x2 ) 2 .解　原式 =x8-x·x4·x3 +x8-…     

一道“希望杯”三角题的3种解法及推广(高二、高三)

题已知α、β、γ、均为锐角,且cos2α+cos2β+cos2γ=1,则cotα·cotβ·cotγ的最大值等于 (13届“希望杯”高二2试)     

构造三角对偶式解三角题初探

本文将探求,具备什么样特征的三角式,可以构造相应的三角对偶式,以及施行怎样的运算顺序,就能达到化繁为易的目的。一、由公式sin~2α+cos~2α=1,cos~2α-sin~2α=cos~2α,cosα·cosβ±sing·sinβ=cos(α±β),sinα·cosβ±cosα·sinβ=sin(α±β)可以得出,具备上述特征的三角式,即为本文探求的第一类三角式。下面举例说明。     

介绍一个三角恒等式的应用

在高中数学第一册中,有下面的一个三角恒等式: 在非直角三角形ABC中: tgA+tgB+tgC=tA·tgB·tgC (1)这是一个很有意思的恒等式,因为它是涉及到三实数之和等于这三实数之积的问题,因此它不论在几何或在代数中,公式(1)都有很广泛的应用。公式(1)的推广是: 如果α,β,γ满足α+β+γ=Kπ(K∈J),则 tgα+tgβ+tgγ=tgα·tgβ·tgγ (2) (2)的逆定理是: 如果tgα+tgβ+tgγ=tgα·tgβ·tgγ,则α+β+γ=Kπ (K∈J) (3) 这三个恒等式的证明是大家所熟悉的,这里就不再赘述了,下面我们介绍这些等式     

计算 猜想 证明

著名数学家、教育家G·波利亚写过《数学与猜想》,他强调“要成为一个好的数学家,你必须首先是一个好的猜想家.”伟大的牛顿也说过:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现.”学习数学令人最感困惑的也是最引人入胜的环节之一,就是如何发现定理及怎样证明定理,波利亚把“从最简单的做起”当作座右铭,提倡所谓“合情推理”,而猜想又是合情推理的最普遍、最重要的一种,本文对“计算———猜想———证明”模式作初步的介绍.例1计算:S1=11·2=12;S2=11·2+12·3=23;S3=11·2+12·3+13·4=34;……猜想:Sn=11·2+12·3+13·4+…+1n(n+1)=nn+1.①…     

例谈估算的若干策略

所谓估算,实质上是一种快速的近似计算,它的基本特点是对数值作适当扩大或缩小,从而对运算结果确定一个范围,或做出一个估计·本质地看估算,它应该是一种数学意识,是理性思维能力的具体表现·一般地,运算能力的指标可归纳为:准确、熟练、合理、简捷·而运算的合理性是运算能力的核心,运算的简捷是运算合理性的标志·只有深刻理解数学知识内在的本质属性,注意观察、分析题目的结构特征,挖掘题目中的每一条信息,筛选出关键或有用的信息,才能找准估算的切入点·下面结合近几年的高考试题进行说明·一、用近似值估算例1(2003年上海卷)方程x3+lgx…     

高考平面向量问题归类分析

平面向量及其运算是高中教材的新增内容 ,它融数、形于一体 ,具有代数形式和几何形式的双重身份 ,使它成为中学数学知识的一个交汇点 ,成为联系多项内容的媒介 .下面对近三年全国新课程高考试题及上海试题 ,分类进行分析 ,供复习参考 .1　考查平面向量的基本概念和运算律例 1　 ( 2 0 0 2年上海高考题 )若ａ ,ｂ,ｃ为任意向量 ,ｍ ∈Ｒ ,则下列等式不一定成立的是 (　　 )Ａ .(ａ+ｂ) +ｃ=ａ +(ｂ +ｃ)Ｂ .(ａ+ｂ)·ｃ=ａ·ｃ+ｂ·ｃＣ .ｍ(ａ +ｂ) =ｍａ +ｍｂＤ .(ａ·ｂ)·ｃ =ａ· (ｂ·ｃ)解析 :　因为向量的数量积不满足结合律 ,故显…     

“±”号果真是解不开的谜吗?

在三角函数习题的教学过程中,开方运算中“±”号的确定犹如解不开的谜,让学生茫然不知所从.在此,让我们共同探究其中的奥妙!题目:已知cosα-cosβ=12①,sinα-sinβ=-13②,求sin(α+β).学生解答:将①、②两式的两端平方、相加,得2-2cos(α-β)=1336,由此得到cos(α-β)=5792.③将①、②两式的两端平方、相减,得cos2α+cos2β-2cos(α+β)=356,即2cos(α+β)·cos(α-β)-2cos(α+β)=356,∴cos(α+β)[2cos(α-β)-2]=356,将③式代入,得cos(α+β)(2·7592-2)=356,由此得到cos(α+β)=-153.④由于从已知条件中无法判断α+β所在的象限,故s…     

活用一元二次方程根的定义解题

我们知道:若x1是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则ax12+bx1+c=0,反之若ax12+bx1+c=0(a≠0),则x1是方程ax2+bx+c=0的一个根,活用方程根的定义的正、反两方面知识,进行解题是一种重要的方法,现举例说明·一、正用方程根的定义例1(“祖冲之杯”数学邀请赛题)已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m,两根平方和是n,求3an2+c3bm的值·解:设方程的二根是α、β,则aα2+bα+c=0,aβ2+bβ+c=0·两式相加,得a(α2+β2)+b(α+β)+2c=0,即an+bm+2c=0,所以2c=-(an+bm),所以3an2+c3bm=-31·例2(河北省初中数学竞赛题)求作一元二次方程,使它的根是方程x…     

正弦和余弦的加法定理的口诀记忆法

繁多的三角函数公式中最基本的是正弦和余弦的加法定理:sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβcos(α±β)=cosα·cosβ±sinα·sinβ为了便于记忆,上述公式可以概括成下面的口诀:“正弦交叉不变号,余弦变号不交叉”.     

谈“相对分子质量”的求解题型

一、根据“定义”求解例1求KAl(SO4)2·12H2O的相对分子质量。分析与解:KAl(SO4)2·12H2O是结晶水合物,化学式中的“·”表示“含有”之意。在求解其相对分子质量时,用“+”而不能用“×”,即相对分子质量=39+27+(32+16×4)×2+12×(1×2+16)=474。二、根据采用的“标准量”求解例2已知一个SO2分子的质量为n,一个SO3分子的质量为m(设两种分子中的S、O原子具有相同的中子数)。若以硫原子质量的312为标准,则SO2的相对分子质量为()。两种分子中的S、O原子的质量也应相等。设一个S原子和一个O原子的质量分别为a和b,则有:a+2b=na+3b=m…     

对运算顺序的规定的一点建议

统编教材六年制第五册第34页对四则混合运算的运算顺序是这样规定的:“在一个算式里,有加减法,又有乘除法,要先算乘除法,后算加减法,通常叫做先乘除后加减”。我认为这种规定太死板,因为教材中有些四则混合运算题,加减法与乘除法可以同时计算,如练习十四第2题中的“35+50-12×5”和第6题中的“5000+719-583×4”,复习第4题中的“400-68-83×4”,总复习第13题中的“973-896+736÷4”等题,如果按教材中规定的四则混合运算的运算顺序去做,要三步才能完成;如果加减法     

2006年高考模拟试卷

数学(理科)第I卷(选择题，共60分)一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的) 1.“。二日”是“tan。=tan日”的·】·················……() A.充分非必要条件B，充要条件C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件2.与直线X十4y+1=o垂直的抛物线y二XZ+1的切线方程是······……() A .4x一y+3=0 B.4x一y一3=0 C4x一y一4“OD‘4x一y+4“O 3.直线y一(sille)二+3的倾斜角范围是····，·····························一() A…     

如何学好幂的运算

幂的运算是整式乘除的基础,因此学幂的运算非常重要。由于部分同学对幂的运算法则以及法则之间的关系缺乏理解,常常会出现看起来容易,做起来就错的情况,为此学习时应注意以下几点:一、正确理解幂的各个法则的条件和结论1、同底数幂相乘的首要条件是“同底”,即相乘的几个幂的底数不论是有理数还是整式的形式,都必须相同才行。例 1　计算(-a)3·a·(-a)4.分析:应先把底数分别是a, -a的幂统一成同底的幂。值得注意的是,对于(1)　23·32, (2) (2p+3p)2·(3p+2p)2 这样的底数不同,又难以化为同底的幂,则不能应用法则计算。解:原式=(-a)3·a·a4 …     

训练逆向思维一例

在培养和发展学生思维的数学教学中,注意训练学生的逆向思维,培养他们善于从两方面思考问题的能力,有利于学生灵活运用数学知识去解决实际问题。本文就根式运算的两个公式: (α~2)~(1/2)=|a|; ((α+β)±2√a·β)~(1/2)=a~(1/2)±β~(1/2) (a>β>O) 谈谈笔者训练学生发展逆向思维的尝试。从“正向”(左→右)思考,这两个公式揭示了在根式计算过程中,“脱出”根号的方法(配方法)和规律(正数开方得正的方根);但从“逆向”(右→左)思考,这两个公式     

1991年北京市中学生数学竞赛高中一年级复试试题及解答

一、城空且1.若a二1990eo,全二2 孔一4“In丁 ._,。3兀。二,一,—+7 tg昌井,则10901+召幻了a+10 ’“4’一““’“‘’一’二甘 2.满足x‘+夕‘《1991的正整数对(x,夕)共有____对. 3.若〔x〕表示不超过x的最大核数,则能使厂军)为质数的所有自然数,的倒数之,,“~从5夕‘子’当~““‘”’卜‘···1一,·‘·-·一-一和为。 4。一个自然数若与它的“仪汗数冲柑等,这个自然数就称为一个“魔幻数”。如数“3”、“1991,,都是“魔幻数”。在M二{xlx〔z,1东x〔2000}的元素中,去掉所有的“魔幻数”后,形成一个木含“魔幻数”的子集N,则N中的元…     

直线与二次曲面相交弦的求法

设直线方程是: I“二?“+只................……,......................…… 几y=DZ+口<1>二次曲面方程是: 月戈2+By’十C矛+ZD%夕+ZEy二+ZF:戈+ZQ%+ZRy+ZHz +s=0·························································,···········……<2)将方程<1>代入(2)中有 (AaZ+B乡艺+C+2 Dab+2 Eb+2 Fa)之2 +(2姓ae+2 Bbd+2 Dbe+2 Dad+2 Ed +2 Fe+2 Qa+2 Rb)之+AeZ+Bd“ +ZDed+ZQe+ZRd+s=0令 刀aZ+BbZ+C+2 D ab+2 Eb+2 Fa=卿2月ae+2 Bbd+2 Dbe+2 Da…     

您了解电流表的用途吗

电流表是重要的电学仪器,您了解它的作用吗?1·能测量电路中电流的大小是大家最为熟悉的用途·2·能判断电源的正、负极·把电流表与一只高值电阻串联后,使电路的一个线头接在电源的一个极上,用另一个线头迅速试触电源的另一个极,如电流表的指针顺时针偏转,表明跟电流表“+”接线柱相连的那个极是电源的正极;若电流表的指针逆时针偏转,表明跟电流表“+”接线柱相连的那个极是电源的负极·3·能测量电源的电压·把电流表与一只较大阻值的定值电阻R串联后接在待测电源上,读出电流表的示数I,可算出电源的电压U=IR·(R的阻值已知)4·能检查电…