利用齐次化与非齐次化思想证明不等式竞赛题

设含有变量x1,x2,…,xn的不等式,如果对任意正数λ,用λx1,λx2,…,λxn去替代x1,x2,…,xn所得的不等式不改变,则称这个不等式是齐次不等式,否则,称这个不等式是非齐次不等式．     

如何解表面缺乏条件的竞赛题

有些竞赛题所给条件很少，表面看起来似乎解题条件不够，审题时应深入挖掘题目内涵，将必需的条件补充设出，以便求解．请同学们仔细体会下面三例．     

一道条件不等式的证法综述

引导学生开展“一题多解，一题多证”的训练和探究，必将有助于激发学生学习数学的兴趣和热情，启迪他们的创新思维，培养数学综合能力，进而提高他们的数学素质． 本文以一道脍炙人口的条件不等式赛题为例，从九个方面研究其证明的策略和技巧． 题（前苏联奥尔德荣尼基市第三届数学竞赛题）设 ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，且 ａ＋ｂ＋ｃ＝１，求证；ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥１／３１ 代入法 证１ 注意恒等式 ３（ａ２十ｂ２十ｃ２）＝（ａ＋ｂ＋ｃ）２＋（ａ－ｂ）２十（ｂ ｃ）’＋（ｃ ａ）’将已知ａ＋ｂ＋ｃ二ｌ代人得 ３（ａ’＋ｂ‘＋ｃ’）二１：…     

构造函数证不等式

根据题设条件，把所要证明的不等式转化为对一函数性质的讨论，从而使问题得以解决，称为构造函数证不等式．运用此法，要深刻理解不等式与函数之间的关系，针对不等式的特点，正确地构造函数．     

设参法巧解条件不等式

一类条件不等式的证明或求最值，往往可以通过引入参数，并结合配方、均值不等式等一系列的手段给予问题巧妙的解决．这种方法操作方便且具有一般性．现举数例供参考．     

巧构妙证不等式

不等式的证明方法灵活多变，技巧性强，对于有些不等式的证明，如用常规方法去处理难以奏效．甚至无从着手，此时可根据题设条件和不等式的结构特征，通过观察、对照、分析、联想，恰当的构造出函数、数列、平面曲线或空间图形等数学模型去证明不等式，则以构思新颖、方法便捷，给人以豁然开朗之感．以下举例说明．     

巧妙处理物理题中的“条件”

只要留心就不难发现物理题中的“条件”五花八门，有干扰条件、隐含条件、间接条件等等．针对不同的题设条件必须采取不同的方法和手段，才能准确迅速地破题、解题。     

构造法在解数学竞赛题中的运用(一)

解题通常是指,在问题给定的系统里由题设推出结论.但对某些问题,直接推理有时不能顺利进行,因而,不得不寻求某种中介工具沟通条件与结论的联系.解题的中介工具往往隐含在题设条件之中,需要我们去发现、去解释、去构造.这种通过构造题目本身所没有的解题中介来解题的方法,就是构     

例说构造法证明一类与自然数n有关的不等式

构造法就是根据某种需要．把题设条件或求解结论设想在某个模型上．通过对新设想模型的研究．推出求证结论的解题思维方法．本文拟从教学实践出发．用范例说明构造法在证明一类与自然数n有关的不等式中的巧妙应用。     

一类条件不等式的证明体系

成功的解题 ,常常体现在 :善于发现规律 ,巧于利用规律 .这是一类常见的条件不等式证明问题 :题设条件是ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ=1.本文试图揭示其证题规律 ,并巧用其规律 .定理　设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ =1,则ａ2 ｂ2 ｃ2 ≥ 13≥ａｂ ｂｃ ｃａ ;①1ａ 1ｂ 1ｃ ≥ 9;②1ａ2 1ｂ2 1ｃ2 ≥ 1ａｂ 1ｂｃ 1ｃａ ≥ 2 7;③ａｂｃ ｂｃａ ｃａｂ ≥ 1;④ａｂｃ ｂｃａ ｃａｂ ≥ 9;⑤ａｂｃ≤ 12 7,或 1ａｂｃ≥ 2 7;⑥ａｂｃ 1ａｂｃ≥ 2 712 7;⑦ａ ｂ ｃ≤ 3;⑧ａｂ ｂｃ ｃａ≤ 1. ⑨　　 (当且仅当ａ=…     

防止解题过程中条件的“漏”和“增”

在丰富多彩的代数问题中,我们大多是从题设条件出发,进行正确的推理与计算,从而获得结论．但在这一过程中,许多同学往往会无形的把条件“漏掉”或“增加”,而导致错误．这里谈谈解题中条件的“增加”和“遗漏”问题,希望引起同学们注意．     

一个条件不等式与两道竞赛题

建立一个含指数参数的条件不等式，并利用它对两个代数不等式作指数推广。     

一个条件不等式的推广

本刊2002年第6期有奖解题擂台(58)中,杨先义老师提出了如下猜想:     

巧避“基本不等式”陷阱

基本不等式是高中人教A版必修五第三章第四节的内容,也是高中重要不等式之一;基本不等式是证明不等式、求函数值域的重要工具,不等式求最值也是近几年高考的热点,形式为:槡ab≤a+b2(a>0,b>0),它的形式看似简单,但是使用基本不等式时有三个限定条件,即"一正(条件中各数均为正数)、二定(条件中数的和或积为定值)、三相等(取等号的条件是数相等)",这三个条件缺一不可。大多数同学忽视这三个限定条件,没有理解到基本不等式的本质而盲目使用基本不等式,掉入"基本不等式"的陷阱,导致解题过程出现错误,下面从基本不等式的三个限定条件中举例分析解题误区以及正确解法。     

重视对条件的分析

数学题离不开题设条件，数学解题当然要重视对条件的分析．     

例谈利用隐含条件解题

<正>在解题时,要注意挖掘隐含条件,使题设条件明朗化,这将有利于问题的解决.现举例说明在解题中如何挖掘和利用隐含条件.     

“消元——配方法”巧证一类非齐次不等式

对于在条件ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｋ下的一类三元非齐次条件不等式,其证明方法甚多,但都颇具难度,不易掌握．本文提出“消元—配方法”,即通过消元：ｘ＋ｙ＝ｋ－ｚ;ｘｙ≤１４（ｘ＋ｙ）２＝１４（ｋ－ｚ）２,将原不等式化归为只含一个元素ｚ的一元三次不等式,然后利用配方法、比较法统一地予以巧证．该方法规律性强,便于掌握,对证明这类非齐次条件不等式十分有效．现举例说明．１　证仅含ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ,ｘｙｚ及常数项的不等式例１　已知ａ,ｂ,ｃ皆非负实数,且ａ＋ｂ＋ｃ＝１,试证：ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ－９４ａｂｃ≤１４．（《数学…