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一元二次方程x~2+px+q=0(p,q不为零,p~2-4q≥0)的实数根可用下述图解方法求得。以点A(0,1)和点B(-p,q)为直径的两端作圆,则该圆与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程x~2+px+q=0的实数根。证明 AB的中点坐标为(-(1/2)p,(1/2)(1+q)),AB线段的长为 |AB|=(p~2+(1-q)~2)~(1/2), 故以AB为直径的圆的方程为(x+(1/2)p)~2+[y-(1/2)(1+q)]~2 相似文献
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考察实系数一元二次方程 x~2+px+q=0 (Ⅰ)和圆x~2+y~2+px-(1+q)y+q=0.(Ⅱ)很明显,如果方程(Ⅰ)有实根,那么这些根必定是圆(Ⅱ)与x轴的公共点的横坐标;反之,如果圆(Ⅱ)与x轴有公共点,那么这些点的横坐标必定是方程(Ⅰ)的实根。由于方程(Ⅰ)和圆(Ⅱ)之间存在着这样的关系,我们就可以利用圆(Ⅱ)的几何性质,来研究方程(Ⅰ). 应用配方法,(Ⅱ)式可以改写成 相似文献
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我们首先看解析几何中的一个经典问题.例1直线l:x=my+1与椭圆C:x~2/4+y~2=1相交于P、Q两点,设A(-2,0),求三角形APQ面积的最大值.解:如图1,设直线l:x=my+1与x轴交点为R(1,0),直线l与椭圆C的 相似文献
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虞懿 《中学数学研究(江西师大)》2016,(4):48-50
2014年陕西数学联赛预赛题:如图1,已知圆O:x~2+~2=1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,M是圆O上任意一点(除去圆O与两坐标轴的交点).直线AM与BC交于点P,直线CM与x轴交于点N,设直线PM、PN的斜率分别为m、n,求证:m-2n为定值. 相似文献
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正"圆"是苏教版必修二中重要的一块内容,是几何与代数的交汇点,也是高考的热点之一.以下主要研究其常见的几类问题.一、求圆的标准方程例1已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切.则圆C的方程为.(2010天津文数)解析:本题主要考查圆的方程的求法,属于容易题.令y=0得x=-1,所以直线x-y+1=0,与x轴的交点为(-1,0).因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即r=-1+0+3姨2=姨2,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2. 相似文献
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设一元二次方程x~2+px+q=0的两个根为x_1和x_2,则由根与系数的关系,x_1+x_2=-p,x_1x_2=q;反过来,以x_1,x_2为根的一元二次方程是x~2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0。下面谈谈这一原理在解方程或方程组中的应用。例1 解方程2(x~2+1)/(x+1)+6(x+1)/(x~2+1)=7。 相似文献
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对于有些解析几何题,正面思考或按常规方法求解较难时,若能利用圆锥曲线系,巧设未知数,往往能起到事半功倍的效果,下举例说明.一、得用共交点的圆锥曲线系解题一般地过圆锥曲线C1:f(x,y)=0与圆锥曲线C2:g(x,y)=0的交点的圆锥曲线系方程都可以表示成:f(x,y)+λg(x,y)=0(λ≠-1)(不包括圆锥曲线C2),如过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为:x2+y2+D1x+E1y+F+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).例1已知圆C1:x2+y2+3x+4y+3=0,圆C2:x2+y2+4x+5y-1=0,求过已知两圆的交点,且过原点的圆的方程.解由已知不妨设过已知两圆的交点圆的方程为:x2+y2+3x+4y+3+λ(x2+y2+4x+5y-1)=0(λ≠-1).又圆过原点,将(0,0)代入圆方程可解得λ=3,从而所求的方程为:4x2+4y2+15x+19y=0. 相似文献
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一、问题的提出我们先来看两个数形结合中产生逻辑循环的例子. 第一个例子见今年我市高考模拟试卷: 例1 若抛物线y=x~2 px q上有一点M(x_0,y_0)位于x轴下方,求证:抛物线与x轴必有两个不同的交点A(x_1,0)、B(x_2,0),且x_0在x_1、x_2之间. 考查结果,大部分同学不知道该如何证明这个显然的命题(平时解题就在用这个结论了).不少同学画了一张抛物线的示意图,企图一图了之. 相似文献
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我们知道,与椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1相切于(X_0y_0)点的切线方程是x_0x/a~2+y_0y/b~2=1 ①我们把直线y=kx+(m≠O) ②变形为 -ka~2x/m/a~2+b~2/m~y/b~2=1 ③如果直线②与椭圆也相切于(x_0,y_0)点,则①和③表示同一条直线,所以有 x_0=-ka~2/m,y_0=b~2/m (Ⅰ) 用同样的方法,可类似地求出圆x~2+y~2=r~2双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1和抛物线y~2=2px与 相似文献
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汪英明 《苏州教育学院学报》1998,(2)
在解析几何中,涉及到求过两圆交点的圆方程,求过一直线和一圆的交点的圆方程时,设圆系方程来解是一个非常快捷的一个方法,但没有给出圆系方程一定表示一个圆的证明,本文拟补出这个证明.(I)如果直线1:Ax By C=0与圆C:x~2 y~2 Dx Ey F=0相交,那么过两交点的圆可表示为x~2 y~2 Dx Ey F十λ(Ax By C)=0 (1)(λ∈R)(1)圆过交点的证明略去(2)下面证明方程(1)一定是一个圆方程.证明:(1)经过整理可改写为x~2 y~2 (D λA)x (E λB)y F λC=0,证明方程(1)表示 相似文献
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蓝宝金 《中学生数理化(高中版)》2008,(12)
一、函数与方程思想函数与方程思想在圆与方程中应用最广泛,求圆的方程,求直线与圆的交点,求圆与圆的交点都要运用到函数与方程的数学思想.例1已知圆C:x~2+y~2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点?若存在,写出直线的 相似文献
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一、选择题1.若 f(x)是奇函数,且 x>0时,f(x)=x~2+sin x,则 x<0时,f(x)的表达式是( ).A.x~2+sin x B.-x~2+sin xC.x~2-sin x D.-x~2-sin x2.若 f(x)=(m-1)x~2+2mx+3是偶函数,则f(x)在(-5,-2)上是( ).A.增函数 B.减函数C.增减不定 D.无法确定其增减性3.已知 a>b>c,a+b+c=0.当0相似文献
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孟震宇 《中学数学研究(江西师大)》2006,(1):29-31
高考中的解析几何解答题是中学数学的一个难点,我们接到题目后往往会无从入手或半途而废.一般同学觉得有点会做,就是算到后来太繁,没有“圆满”完成.其实这正是解析几何魅力所在,由于选择的角度不当,代数运算功底不够等导致解题失败或虽解出,却费时费力.本文试举几例加以探讨.例1 抛物线 y~2=px(p>0)(1)与圆 x~2 y~2-4x 1=0(2)在 x 轴上方有两个交点 相似文献
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范富成 《中学数学教学参考》1994,(7)
我们知道,高等数学中对三次函数极值是这样来求的: 设f(x)=x~3 px~2 qx r,则f′(x)=3x~2 2px q. 令f′(x)=0. ①当p~2>3q时,解得由成 当x由小到大经过x_1时,f′(x)由正变负,经过x_2时,f′(x)由负变正. ∴y极大=f(x_1),y极小=f(x_2). ②当P~2=3q时,解得x_1=x_2=-p/3,此时f′(x)≥0恒成立,x由小到大经过-p/3时,f′(x)不变号,故-p/3不是极值点。 相似文献
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况山 《成都教育学院学报》2002,16(3):73-74
在实数范围内,方程x~2 p|x| q=0(p≠0)与x|x| px q=0共同特点是含有|X|,它们的实根的求解与方程x~2 px q=0是否有所不同,其根的存在是否由判别式△=p~2-4q唯一确定呢?下面就这两个方程加以讨论,得其根的情况: 相似文献
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高声扬 《湖州师范学院学报》1979,(1)
一、教学中的一个问题己知方程x~2+px+q=0的两个根x_1、x_2,求以此两根的平方为两根的方程.解:∵x_1、x_2是方程x~2+px+q=0的根,由韦达定理,得 相似文献