例说三角变换技巧

由于三角公式比较多,变换灵活多样,解答此类题时,考虑选择恰当的变换就能使复杂问题简单化,收到事半功倍之效果。下面介绍几种常用的三角变换技巧.变换三角函数名称一般地,在一个三角函数式中,若含有多种三角函数,则常把“切割”统一变为“弦”,减少函数种类,易于变形.例1.求tan20°+4sin20°的值.解:原式=sin20°+4sin20°·cos20°cos20°=sin20°+2sin40°cos20°=(sin20°+sin40°)+sin40°cos20°=2sin30°·cos10°+sin40°cos20°=sin80°+sin40°cos20°=2sin60°·cos20°cos20°=2sin60°=3√.点评:本题的解题关键有二:一是把tan2…     

一个常见三角问题的全方位复习

一、问题 求sin10°sin50°sin70°的值。 这是一道常见的三角问题,它由高中课本《代数》(必修)上册中的一道习题“求cos20°cos40°cos80°的值”变更而来。 二、解法分析 1.将其中任意两项结合在一起,然后连续运用积化和差公式变形、计算,得其值为1/8. 2.连续运用二倍角的正弦公式得 原式=cos20°cos40°cos80° =8sin20°cos20°cos40°cos80°/8sin20° =sin160°/8sin20°=1/8 3.依次运用积化和差公式、二倍角的余弦公式和三倍角的正弦公式(教材上例题的结论)得     

一个例题的多角度分析

实行开放式教学 ,发扬教学民主 ,让学生直接参与教学过程 ,能充分调动学生的学习积极性和主动性 .教师要积极鼓励学生独立思考 ,敢于“标新立异”,发表独立见解 ,努力探索解题的新途径 .例 1　求 sin2 10° cos2 40° sin10°cos40°的值 .一般解法是 :原式 =1- cos2 0°2 1 cos80°2 12 ·(sin5 0°- sin30°)= 1 12 (cos80°- cos2 0°) 12 (sin5 0°- 12 )= 1 12 (- 2 sin5 0°sin30°) 12 sin5 0°- 12= 1- 12 sin5 0° 12 sin5 0°- 14=34.有的学生通过观察角 ,发现 40°=30° 10°,可以用此减少非特殊角 ,于是提出如下…     

一个三角公式及其应用

在平面三角中,有不少如cos20°cos40°cos80°,sin20°sin40°sin80°,tg10°tg50°tg70°,…之类的求值问题。它们具有同一形式:f(a)·f(60°-a)·f(60°+a)。这里f(x)表示某个三角函数。对这类求值问题我们将利用三倍角公式的变形来寻求统一的处理。     

三角运算关键在变

三角恒等变形,公式繁多,技巧性强,不易熟练掌握.但如果在“变”字上下功夫,常可抓住关键,找到解题途径.一、变角对已知角进行和、差、倍、半角等各种形式的合理变换,有利于某些三角函数化简求值.例1(1997年高考题)sin7°+cos15°sin8°cos7°+sin15°sin8°的值为.解:由7°=15°-8°,利用差角正弦和余弦公式,化简得原式=sin15°cos15°=1-cos30°sin30°=2-3.练习(1992年高考题)已知π2<β<α<3π4,cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35,求sin2α的值.二、变项对于某些三角函数化简,求值问题,若添项或拆项等,则往往能一举成功.例2(1994年高考题)…     

求sin18°和cos36°值三法

<正>特殊角三角函数值的求解方法通常不惟一,例如,求sin15°的值既可以用半角公式,又可以用差角公式,还可以用数形结合等方法.本着这种一题多解的思想,本文将用三种方法分别来求sin18°和cos36°的值.     

三倍角正余弦公式及其应用

三倍角公式有两种形式：sin3θ=3sinθ-4sin^3θ,cos3θ=4cos3θ—3cosθ;sin3θ=4sinθ&#183;sin（60&#176;-θ）sin（60&#176;＋θ）,cos3θ=4cosθcos（60&#176;-θ）cos（60&#176;＋θ）．     

一类三角求值问题的一般化

新编高中数学第一册,有一类例题和习题,比如154页的例题:“求 cos10°cos30°cos50°cos70°的值”,它具有角度等差,函数同名连乘的特点。教材通过积化和差来解答此类问题,籍以巩固有关的三角公式。但这种解法一般比较麻烦,本文试图导出几个公式,使解答问题简化。为了解决问题的方便,我们先从三倍角     

x^2＋xy＋y^2的一种变形及其巧妙应用

代数式x2+xy+y2是一个非常特别的式子,它的一种特殊的变形与余弦定理的结构式非常吻合,即x2+xy+y2=x2+y2-2xycos 120.°这种特殊的变形可以用来处理一些相关的问题,往往能使某些问题化生为熟、化繁为简、化难为易,达到非常好的效果.例1(1995年全国高考题)求sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°的值.分析标准答案和其他一些解法都利用了和差化积、积化和差等公式,而现在这两组公式不作为学生的记忆公式,要求已经淡化.能否利用其他方法来解答陈题就是一个挑战.由于sin220°+cos250°+sin 20c°os 50°=sin220°+sin240°-2sin 20°sin 40°·c…     

巧用正余弦三倍角公式解竞赛题

正余弦三俯角公式为sin3θ=3sinθ-4sin3θ cos3θ=4cos3θ-3cosθ.用三倍角公式可以沟通三角与代数之间的联系，通过转换，可使一些复杂问题简化．     

第六章解直角三角形

一、本章导析本章重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法 .三角函数值之间的关系及对应用题题意的理解是难点 ,解应用问题时把握好辅助线的运用是解题的关键 .二、例题解析例 1　计算sin6 0°+3tan30°· cos6 0°( tan37°· tan53°- 2 cot4 5°)· cot30°- sin18°· sin90°( sin2 12°+sin2 78°)· cos72°.解 :原式 =32 +3× 33× 12( 1- 2× 1) 3- sin18°× 11× sin18°=- 2 .说明 :题中出现特殊角时应尽快将其三角函数值代入 ,对于一般角度则应寻找相应的公式 ,必要时可利用角度的互余关系转化之 .例 2　如图 1- 6 - 1,A…     

一道三角题的多种解法及其推广

例求sin2 20°+cos2 50°+sin20°cos50°的值．解法1:原式点评:本解法先通过半角公式进行降幂,然后运用三角函数的和差化积与积化和差公式进行化简,同时把握对公式的灵活应用,体现了数学中     

抓住关键来思考

应用面积射影公式求二面角的大小 ,对于 (一 )平面角虽可作出 ,但比较困难 ,计算繁琐 ;(二 )平面角无法作出 ,或很难下手 .如 :1.直三棱柱ABC-A1 B1 C1 中 ,∠BAC=90° ,AB =BB1 =1,直线B1 C与平面ABC成30°角 ,求二面角B -B1 C -A的余弦值 .解 :易知∠BCB1 =30° ,作AD⊥BC于D ,则AD ⊥面BCB1 ,△AB1 C在面BCB1 上射影是△DCB1 .设二面角为θ ,cosθ =S△DCB1S△AB1C,其中AC =2 ,AB1 =2 ,S△AB1C =1,B1 C =2 ,CD =2 33,S△DCB1=12 B1 C·CD·sin30°=33,即二面角的余弦值为 33.1题图 2题图2 .正方体中 ,求二…     

构造模型解三角题

通过构造数学模型来解决三角问题,目的在于培养学生观察、分析、联想的思想方法以及创造性思维能力. 例1 (1991年全国高中联赛题)求cos210°+cos250°-sin40°sin 80°的值. 导析:看到此题,学生自然会联想到课本中的例题:求sin210°+cos240°+sin 10°cos 40°的值.他们会通过降次、和差化积来解决这个问题.这时,我们可引导学生观察,揭示其本质.注意到sin 40°=cos 50°,sin 80°=cos 10°,且问题关于cos 10°,     

几个三角函数式的值的巧合与必然

1995年全国高考数学试题理科(22)题:求 sin~2 20°+cos~2 50°+sin20°cos50°的值.答案为3/4,又当我们将式中的20°和50°分别换为10°和40°,奇妙地发现 sin~2 10°+cos~2 40°+sin10°cos40°的值仍为3/4,由此引起我们思考:20°,50°,与10°,40°之间有什么关系呢?容易发现等差关系50°-20°=40°-10°=30°.是否有一般性呢?再求 sin~2 19°+cos~2 49°+sin19°cos49°的值.解:原式=1/2(1-cos38°)+1/2(1+cos98°)+sin19°cos49°     

灵活配对 巧妙求解

许多含正、余弦的三角函数式求值都是成对(函数名称不同,但结构形式相同,出现的,而这些成对出现的题往往有一定的内在联系,相互依赖。利用三角函数的这一特性,找出所给三角函数式的配对式,通过所给三角函数式与其配对式的加、减、乘运算,常能顺利求得结果,如何寻找配对式呢? 例1:求+50sin10sin70cos20sin的值。 分析:设+=50sin10sin70cos20sinA;+=50cos10cos70sin20cosB +=+=+40cos140cos90sinBA① +=+=-40cos2160cos50sinAB② ①-②得:41A,21A2==即 例2 求++40cos160cos160cos80cos80cos40cos的值。 分析 设:设 A=cos40°cos80°+cos80…     

用“对称扩角”方法推导倍角公式

如下两公式: cos2θ=1-2sin~2θ =cos~2θ-sin~2θ =2cos~2θ-1, ① sin2θ=2sinθcosθ, ② 是高中数学中关于二倍角的正余弦公式,在解决某些初中数学问题时间或用到。若限制角θ:0<θ<90°,在初中数学范围内也能给出一个简明扼要的推证。本文拟介绍“对称扩角”的办法,即从某个含有角     

联想·推广·变式

三倍角公式:sin3θ=3sinθ-4sin3θ,cos3θ=4cos3θ-3cosθ. 题目 求sin213° cos243° sin13°cos43°的值. 联想:sin213° cos243° sin13°cos43°形如a2 b2 ab.若a-6≠O,则a2 b2 a6a3-b3/a-b.     

一道错题的辨析

有这样一道习题: 设a sin bθ cos=c acscθ b secθ=c, 求证: sin2θ=(2ab)/(c~2-a~2-b~2). 这是一个流行很广的错题。下面我们做些探讨。 有关资料,给出了如下答案（记为方法一）。 由已知a cscθ b secθ=c,得a cosθ b sinθ=c.sinθcosθ,又∵a sinθ b cosθ=c,∴(a sinθ b cosθ)(a cosθ b sinθ)=c~2sinθcosθ, 整理后可得sin2θ=2sinθcosθ=(2ab)/(c~2-a~2-b~2) 这种证法用到了三角变换、三角恒等式、二倍角公式,并且中间没有不严密之处,所以解答是正确的、完     

这个待定值该怎么求?

题:方程8x~2+6kx+2k+1=0的两个根是直角三角形两锐角的正弦,求k的值。解设直角三角形两锐角为α、β、根据一元二次方程根与系数的关系得: sinα+sinβ=-6k/8 ① sinα·sinβ=(2k+1)/8 ②∵α+β=90°∴sinβ=cosα∴①、②两式可变为:sinα+sinα=-3k/4 ③sinα·cosα=(2k+1)/8 ④③式平方,得 1+2sinαcosα=9k~2/16,