用相似比探究线段间的关系

<正>1关于斯坦纳—雷米欧斯定理的证明该定理1840年由德国数学家雷米欧斯正式提出,经几代数学家、数学爱好者百余年的探究,目前其证明方法已有近百种之多.文[1]和文[2]分别推荐了一种反证法和直接证法,应该是最接近初中生知识背景的办法了.但两个办法都用了已经淡出初中教材的结论,从而增加了初中生理解的难度.笔者经过研究,也发现了一个相对"节省"的办法:     

斯坦纳——雷米欧斯定理的推广

1 定理的来源等腰三角形两底角的平分线相等,这是每个初中学生都能证明的命题.而它的逆命题:两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形,却是一道脍炙人口的几何难题.这个命题是雷米欧斯(Lehmus)于1840年给瑞士著名数学家斯图姆(Sturm)的一封信中提出的,并请求给出一个纯几何的证明,而斯图姆又将问题提供给一些数学家.当时德国的几何学权威斯坦纳(Steiner)首先给出了它的证明,此后该命题就以斯坦纳——雷米欧斯定理而闻名于世.一百多年来,这个定理引起了众多数学爱好者的兴趣,得出了一个个精妙的证明和各种推广.本文对此定理进行了新的推广,得到几个结论优美、证法独特的新命题,它们的证明依赖于下面的引理.     

斯坦纳——雷米欧斯定理的推广

1 定理的来源 等腰三角形两底角的平分线相等,这是每个初中学生都能证明的命题．而它的逆命题：两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形,却是一道脍炙人口的几何难题．这个命题是雷米欧斯（Lehmus）于1840年给瑞士著名数学家斯图姆（Sturm）的一封信中提出的,[第一段]     

脍炙人口的“斯坦纳—雷米欧司”定理

“两内角的平分线相等的三角形是等腰三角形”,这就是由雷米欧司提出而由斯坦纳首先证明的闻名全球的“斯坦纳—雷米欧司”定理.1840年,德国数学家雷米欧司在给当时的瑞士大数学家斯坦纳的一封信中说到:“几何题在没有证明之前,很难说它是难还是容易.等腰三角形的两底角平分线相等,初中生都会证.但反过来,三角形的两内角平分线相等,这个三角形一定是等腰三角形吗?我至今还没想出来.”斯坦纳答应研究这个问题,但是,直到1844年,斯坦纳才发表这个定理的证明方法.于是,这个问题便以“斯坦纳—雷米欧司”定理而闻名于世.斯坦纳的证明发表后,引起数学界的极大反响.论证这个定理的文章发表在1844年至1864年几乎每一年的各种杂志上.后来,一家数学刊物公开征解,竟然收集并整理出了60多种证法,编成了一本书.直到1980年,美国《数学教师》月刊还给出了这个定理的研究现状,而且他们又收到2000多封来信,增补了20多种证法,其中包括一个最简单的直接证法.经过几代人一百多年的研究“,斯坦纳—雷米欧司”定理成为数学百花园中最惹人喜爱的名花之一.“斯坦纳—雷米欧司”定理为何魅力无穷?一方面,它是初中教材上的最基本、最常用、最简单的定理之一——“等...     

脍炙人口的“斯坦纳—雷米欧司”定理

“两内角的平分线相等的三角形是等腰三角形”，这就是由雷米欧司提出而由斯坦纳首先证明的闻名全球的“斯坦纳—雷米欧司”定理，1840年，德国数学家雷米欧司在给当时的瑞士大数学家斯坦纳的一封信中说到：“几何题在没有证明之前，很难说它是难还是容易。等腰三角形的两底角平分线相等，初中生都会证。但反过来，三角形的两内角平分线相等，这个三角形一定是等腰三角形吗？我至今还没想出来。”     

再谈斯坦纳——雷米欧斯定理的纯几何证法

《中学数学杂志》(初中)2011年第8期登载的"对称地处理对称性问题——斯坦纳——雷米欧斯定理的最佳证法"一文(下称文[1]),用间接方法——反证法,并结合两条引理,证明了平面几何中的一个令人痴迷甚久、脍炙人口的著名定理——     

I.J.Matrix 定理的再推广

文[1]推广了I.J.Matrix定理,在文[1]的基础上,用Lagrange定理对文[1]中的定理1又作了进一步推广,并给出了文[1]中定理2的一个简捷证明。     

I.J.Matrix定理的进一步推广

文[1]将I.J.Matrix定理作了推广,本文运用Lagrange插值公式对文[1]中的定理1又作了推广,并给出了文[1]中定理2的简化证明。     

一道MO试题的再证

在文[1]、[2]中分别给出了下面一道 MO试题的解析法证明和平几法的证明.文[2]中的证法用了梅涅劳斯定理,本文再给出一种不用梅涅劳斯定理的证法.题目,在△ABC中.AA_1为中线,AA_2     

三角函数求和公式的推广

本文利用尤拉公式建立了某些类型三角函数求和公式,从而使解决这些类型三角问题的过程大为简化.文中所得到的定理1、定理2,推广了文[1] 、[2]、[3]的主要结论.我们还利用尤拉公式简化了文[2]中定理的证明.     

关于“广义正定矩阵与稳定矩阵的关系”的注记

指出广义正定矩阵与稳定矩阵的关系;介绍文[2]的定理1的证明依赖于文[2]的引理1,而文[1]指出文[2]引理1的证明是错误的,证明文[1]的定理1是正确的。     

一个平面全等形定理在空间的推广

美国数学家约翰逊在其名著[1]中，介绍了一个奇妙的平面全等形定理，即     

渐近伪压缩映象不动点的迭代收敛问题

文[1]中给出了渐近伪压缩映象不动点迭代收敛定理及其证明,笔者认为其中的证明有误.本文修改了定理的条件,并给出证明.     

完全平方数对半和性质的推广

文 [1 ]中的定理 1推广了印度数学家Ｊ·Ｖ·ｃｈａｕｄ ｈａｒｉ和Ｍ·Ｎ·Ｄｅｓｈｐａｎｄｅ在 1 996年 2月发现的“漏网之鱼”这一规律 ,回答了戴宏图先生提出的问题[2 ] ,也推广了美国俄亥俄州数学家ＯｗｅｎＴｈｏｍａｓ在 1 996年 9月所获得的结论[3] ,定理 2和定理 3各自又得到了一类有趣的连续数组 .本文通过两个定理将文 [1 ]中ｋ2 的有关性质推广到ｋｎ.设ｋ是一个ｔ位自然数 ,即 1 0 ｔ- 1≤ｋ <1 0 ｔ,若ｎ∈Ｎ ,那么 1 0 ｎ(ｔ- 1) ≤ｋｎ<1 0 ｎｔ,ｋｎ=ｍ1·1 0 (ｎ- 1)ｔ ｍ2·1 0 (ｎ - 2 )ｔ ｍ3·1 0 (ｎ- 3)ｔ … ｍ…     

关于《数学分析》中的几个问题

文[2]研究了微分中值定理中间点ζ的整体性质,得到了很好的结果.本文采用隐函数理论,对该文结果给出一个简化证明.本文还对教材[1]中关于闭区间上连续函数的最值性定理与极的存在性定理的证明提出一点建议.     

一个可积性判别定理的改进

教材[1]给出了一个可积的充分必要条件(定理1),即关于和数收敛的柯西准则.应用此定理证明关于函数的可积性问题总觉得相当麻烦,我们对此定理作一些改进,得到了定理2.应用定理2证明关于函数的可积性问题比用定理1证明要简便些.     

中值定理的逆命题

Lagrange中值定理、Cauchy中值定理以及积分中值定理是微积分学的基本定理,其重要性是众所周知的。最近,文[1]、[2]分别讨论了Lagrange中值定理、积分中值定理的反问题。本文讨论Cauchy中值定理的逆形式,包含了文[1]所提出的问题,且方法比文[1]的简单。此外,在加强条件下,得到了文[2]的结果。我们还指出,文[1]的命题及其证明有不当之处,必须加以修改。     

关于可测空间中非负可测函数序列积分的不等式

Xie在文献[1]给出了一个关于Borel-Cantelli引理的重要的双边不等式,对Borel-Cantelli引理做了一个新的推广.胡舒合、王学军等在文献[2]中指出了在文献[1]中定理的证明及举例有错误,给出了定理的正确证明和例子的详细分析.本文在上述文献的基础之上,主要通过对文献[1]中双边不等式的研究,将Xie的结果推广到可测空间中的非负可测函数序列,得到相应的不等式.     

圆锥曲线直角弦上点轨迹的简捷求法与推广

文[1]与文[2]分别给出了圆锥曲线直角弦上点轨迹的统一方法，其中文[1]利用高等数学中的导数知识证明定理1，文[2]虽用初等数学方法证明了定理1，但证明过程过于繁琐，以中学生的运算能力难以完成．本文另辟蹊径，给出一种简捷证明方法，并对文[1]与文[2]中的结论进行推广，现介绍如下．     

一类与自然数有关的命题的一种证法思路

贵刊文 [1]、[2 ]实际上探讨了一类可用数学归纳法证明的与自然数有关的命题的非数学归纳法的证明方法 ,文 [1]给出了二个定理 ,方法虽好 ,但却增加了记忆负担 ;文 [2 ]给出了不借助于辅助定理 ,直接证明的方法 ,虽然操作起来更容易 ,但其关键步骤(即构造相关的不等式或等式 )不易想到 .受文 [1]、[2 ]的启发 ,笔者以这类问题的数学归纳法证明中探寻出一种非数学归纳法的证明方法思路更清晰 ,操作更容易 .例 1　求证1 11 2 … 11 2 … ｎ =2 - 2ｎ 1.　　分析　用数学归纳法证明该式时 ,在第二步 ,假设对ｎ- 1时等式成立 ,即等式 1 11 2…