对初中数学教材中两个关于平方差公式应用问题的思考

<正>1问题的提出1.1运用平方差公式求解两数乘积的问题平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b2-b²是多项式乘法运算中一个非常重要的公式,直接运用平方差公式可以简化两数乘积的运算问题,提高学生的运算速度与运算结果的准确率.北京师范大学出版社出版的《义务教育教科书·数学(七年级下册)》对运用平方差公式求解两数乘积的问题只是以例题的形式呈现给学生,学生只知道对于两数的乘积,可表示为某两     

与乘法公式交朋友

一、注意弄清公式的结构特征弄清和掌握好公式的结构特征是正确运用公式的前提.对于平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,用文字语言叙述为:"两数和与它们的差的积,等于这两个数的平方差."具体地讲,公式的左边是两个二项式的积,在这两个二项式中,有一项是完全相同的数a,另一项是互为相反数的b与-b;右边是数a的平方减去数b的平方.可用口诀记为:二数和、二数差,乘积就是平方差.     

浅谈平方差公式的学习

学好平方差公式(a+b)(a-b)=a~2-b~2必须从以下几点着手。一、掌握构成特征。(a+b)(a-b)=a~2-b~2用语言叙述为：“两数的和与这两数的差的积,等于这两个数的平方差。”这就是平方差公式的构成特征。判断两式和咱们能否应用平方差公式而直接安顿出结果,就是看这两个式子能否表示为“两数的和与这两数的差的积”的形式。为方便起见,不妨把这两个数分别称为第一个数与第二个数,基中第一个数在两     

利用拼图验证平方差公式

平方差公式是指两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差.用公式可表示为(a b)(a-b)=a2-b2.在新课改理念下,利用图形来验证平方差公式的创新题在中考中频频出现.现举例说明如下.     

利用口诀学习和应用平方差公式

<正>平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,用语言叙述为:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方的差.在教学中,笔者引导学生利用口诀的方法来学习和应用平方差公式,效果较好.一、根据公式结构编写口诀平方差公式是通过乘法法则直接计算得来的.观察其结构特征,公式左边为两个多项     

灵活运用平方差公式

公式(a b)(a-b)=a2-b2称为平方差公式.学了这个公式后,在解题中,我们应根据题目的不同特点,灵活运用. 一、正向运用正向运用平方差公式,能把两个数的和与这两个数的差的积化成平方差的形式.     

从智慧数中获智慧

今年《读书时报》21期刊登的“创新杯”全国中学生数学知识竞赛八年级试题中,有这样一道题:如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差,那么称这个正整数为智慧数.根据你的判断下列四个数不是智慧数(指能表示成两个自然数的平方差的自然数)的是(摇).A.2001摇B.2002C.2003D.2004粗看这道题,似乎只能尝试拼凑求解,但回顾学习平方差公式后用简便方法计算104×96,就不难发现下面的定理:任何两个正整数的积都可以表示成两个数的平方差.因为:a×b=(a+b2-a-b2)(a+b2+a-b2)(a、b是正整数,a≥b)有了以上定理,那么:任何一个正整数m只有两种可能:①m…     

平方差公式的精彩应用

平方差公式是(a+b)(a-b)=a2-b2,即两数之和与两数之差的积等于这两数的平方差.在解题过程中,若能灵活运用平方差公式,可使问题化难为易,化繁为简,复杂问题简单化,下面举例解析如下,供大家参考. 例1 (2012湖北宜昌6分)先将下列代数式化简,再求值:(a+b)(a-b)+b(b-2),其中a=√2,b=1. [分析]利用平方差公式和单项式乘以多项式法则将原式化简后再代入求值.     

巧用平方差公式解题

平方差公式(a+b)(a-b)=a~2-b~2用语言可叙述为:两数之和与两数之差的积等于这两数的平方差.在解题过程中,若能灵活运用平方差公式,可使问题化繁为简,化难为易,复杂问题迎刃而解,现举例解析如下,供同学们参考:     

平方差公式的顺用、逆用与活用

平方差公式：(a 6)(a—b)=a^2-b^2，用语言叙述为：两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差．下面举例谈谈它的几种主要用法．     

平方差公式的变形使用

平方差公式: (a+b)(a-b) = a2-b2.语言叙述: 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方的差.在理解平方差公式的基础上,要注意公式的变形应用.解题方法一、找准公式中的a和b例1　计算12a+23b23b-12a .分析　此式为两项之和与两项之差相乘的形式.但这两项在两个括号中的排列并不像公式中一样“规范”.由第二个括号中知,“两项之差”的前一项为13b,后一项为12a, 因此第一个括号中,利用加法交换律交换 2 项的顺序,使它们像公式中顺序一样“规范”,然后“套”公式.解　原式=23b +12a23b -12a=23b2-12a2=49b2 -14a2.例2　计算(-3x-2y)(3…     

根据多项式的特点分解因式

因式分解是初中数学的一个重要内容．然而,许多同学在进行因式分解时,有一种盲目感,不知选用哪一种分解方法．笔者根据多项式的特点谈几种分解因式的技巧,供同学们复习时参考．1．二项式的分解方法（1）常用方法：运用平方差、立方和、立方差公式进行分解．例1分解困式：9。Zb。解原式=（3a）2－b2＝（3。＋b）（3。b）．侈IJ2分解因式：27n。’－8n3．解原式一（3m）’－（Zn）s＝（3m－2,。）〔（3m）’＋3mx,Zn＋（2n尸］＝（3m－2n）（gm’＋6mn＋4nz）．注利用公式法分解时,必须牢记平方差。立方和、立方差公式的特点．切记：…     

公式用得巧变形是法宝

多项式的乘法公式有两个,它们是平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2.在进行多项式的乘法运算时,要具有运用乘法公式的意识.为此,需注意如下几种为运用乘     

乘法公式的逆用

乘法公式是形式比较特殊的多项式乘法,用式子表示为：1．平万差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b22．完全平方公式（a±b)2＝a2＋2ab＋b23立方和与立方差公式（a±b）（a2±2ab＋b2）＝a3±b3在解题过程中,我们不仅要掌握它们的正向应用,而且要注意它们的逆向应用．下面以竞赛试题为例,分题型说明．一、计算例1（m’＋n2）‘－［（－n）‘－（－m）21’等于（）（A）－4m’n‘;（B）4m‘n’;（C）O;（D）Zm’＋Zn‘（1991年“五羊杯”初中数学邀请赛试题）解逆向应用平方差公式．原式一（m’＋nY－（n’－m＊＝｛（m’＋n‘）＋（n’…     

例谈运用公式法分解因式

公式法是因式分解的重要方法。常用的公式有: 1.平方差公式:a~2-b~2=(a+b)(a-b)。 应用条件:多项式是二项式,并且是两数(或式)的平方差的形式。 2.完全平方公式:a~2±2ab+b~2=(a±b)~2。 应用条件:多项式是二次三项式,首尾两项是两数(或式)的平方,且中间项是这两数(或式)的乘积的2倍。     

应用乘法公式错例分析

乘法公式作为初中代数的重要基础知识之一，我们不仅要准确掌握，熟练记忆，还要会运用这些公式．初学乘法公式，有些同学由于对公式的理解不深，在运用公式时，稍不注意，就容易出错，现将几种典型错误举例归纳如下：例1计算：（1）（a＋2b）2；（2）（a－2b）2错解（1）（a＋2b）2＝a2＋4b2；（2）（a－2b）2＝a2－4b2．错误分析上述解法错误是由于对完全平方公式没有掌握好，（a±b）2展开后共有三项：a2±2ab＋b2，这里共有两项，缺少了乘积项．错误分析（m＋2n）（m2＋2mn＋4m2）的2mn项的符号为正片（“＋”），（m＋2n）（m2－4mn＋4…     

乘法公式的逆向应用

乘法公式是一组特殊形式的多项式的乘法规律,它们分别是平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2; 完全平方公式(a±6)=a2±2ab+b2. 在数学学习中,逆向应用这些公式,可把某些与和差有关的问题转化为乘积的形式。如此变形,能给解题带来极大的方便。     

二次根式乘法与平方差公式

在进行二次根式乘法运算时,如能灵活运用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,可以化繁为简,化难为易,现以人教版义教《代数》第二册的部分习题为例,说明平方差公式在二次根式乘法中的几种运用形式。     

八用乘法公式

乘法公式是初中数学中的重要公式，其应用极广．下面从八个方面举例说明如何灵活地运用公式解题．一、套用例１计算：（３x－４）（－３x－４）．分析：本题的两个因式中“－４”相同，“３x”符号相反，因此可将－４、３x分别视为平方差公式中的a、b，适当调整项的位置后即可套用平方差公式．解：原式＝（－４＋３x）（－４－３x）＝（－４）２－（３x）２＝１６－９x２．二、选用例２计算：（x＋y）２（x－y）２．分析：本题既可以先用完全平方公式，也可先用平方差公式，但先用平方差公式可简化运算，提高正确率．解：原式＝〔（x＋y）（…     

“自互乘”与“同反积”——乘法公式新解

<正>通常我们所说的乘法公式是指完全平方公式和平方差公式.对于完全平方公式,朗朗上口的记忆口诀是:"首平方,尾平方,积的 2 倍在中央".而对平方差公式,教材上"两数和与这两数差的积,等于它们的平方差"的描述更是简单明了.但在实际教学中,学生错套公式、混淆运算对应元素的现象比比皆是,从而造成运算错误.这里,笔者就此类问题的深层次原因与大家进行一次初步探讨.一、与整式概念的矛盾初中数学中常常遇到多项式的乘法.对于单项式乘以多项式,其