面积均分线的推广

<正>如何画出三角形的面积均分线是大家熟悉的问题,多数文献和资料的讨论主要集中在两个方面:(1)过三角形的某一个顶点作三角形的面积均分线;(2)过三角形边上某一点作三角形的面积均分线.笔者在研究这个问题过程中发现可以推广到更一般的情况.现整理如下,愿与读者共享.     

三角形的面积等分问题的探索

1　过三角形的顶点作直线等分三角形的面积由于“等 (同 )底等高 (同 )”三角形的面积相等 ,所以过三角形的顶点和对边中点所作的直线等分三角形的面积 .如图 1所示 ,直线AF、BE、CD都分别平分△ABC的面积 .2　过三角形一边上任意一点作直线等分三角形的面积如图 1,假设过直线AC上的任意一点作直线等分△ABC的面积 ,如果所经过的点在线段AE上 ,那么所作的直线一定与线段BF相交 ;同理 ,如果经过的点在线段EC上 ,那么所作的直线一定与线段BD相交 .下面以过线段AE上的任意一点G为例作出其等分△ABC的面积的直线GH .作法　 ( 1)连结…     

作一条直线平分多边形面积

《中小学数学》(初中版)2014年第4期《过任意点都能作一条直线平分三角形面积吗》,文中给出了“过三角形一边上任意点作直线平分三角形面积”的尺规作图方法.文章还提出两个未解决的问题:①过平面内任意点是否一定有一条直线平分三角形的面积?②平分三角形面积的直线是否都可以用尺规作出来.本人在平时的教学过程中对这方面问题也积累了一些经验.对于过平面内任意点是否一定有一条直线平分三角形的面积?答案是肯定的.其实,不仅对三角形而且对于任意一个平面图形都存在无数条直     

三角形的面积等分问题的探索

1 过三角形的顶点作直线等分三角形的面积 由于"等(同)底等高(同)"三角形的面积相等,所以过三角形的顶点和对边中点所作的直线等分三角形的面积.如图1所示,直线AF、BE、CD都分别平分△ABC的面积.     

任意凸多边形面积平分线化归作法

在文[1]中阐述了用"三角形等积定理"(等底等高的两个三角形面积相等)作任意三角形面积平分线(使面积平分为二的直线)的方法和过任意四边形一顶点作其面积平分线的方法.阅此文后,经过进一步探索,得出了从任意位置作任意凸多边形的面积平分线的很简单而通用的作法.下面从过顶点和边上任意一点两方面介绍作法:1过任意凸多边形的顶点作面积平分线①任意三角形时,如图1,取BC边中点D,连接AD,显然S△ABD=S△ACD(三角形等积定理),即AD为面积平分线.     

三角形角分线定理及其应用

我们把三角形一个角的顶点与对边上一点的连线叫做三角形的角分线 .角分线有如下性质 :定理　三角形角分线分对边的比等于两邻边与其相应分角正弦积的比 .下面给出该定理的证明 .已知 :如图 1 ,D点在△ ABC的 BC边上 ,AD为∠ A的角分线 .求证 :BDDC=ABsin∠ BADACsin∠ CAD.图 1证明 :过 B、C向角分线AD所在直线作垂线 ,E、F为垂足 ,则 BE =BAsin∠ BAD,CF =ACsin∠ CAD.因为∠ BED =∠ CFD= Rt∠ ,∠ BDE =∠ CDF,所以△ BED∽△ CFD.所以 BDDC=BECF=sin∠ BADACsin∠ CAD.很明显 ,当角分线分成等角时 ,si…     

关于三角形面积三等分的作图问题

给定一个三角形及其边上的一点,通过该点作两条线段将此三角形的面积三等分比较容易解决.如果给定的点在三角形内部,通过该点作三条线段将三角形面积三等分,则比较复杂,本文将利用面积割补技巧对该问题进行讨论。辅助问题:过凸五边形ABCD的顶点A(如图1)作一线段将其面积平分。分析:由于四边形ABCD的形状不规则,直接平分有一定的困难.不妨把它分解成两个三角形试探一下。先看△ABD     

求作四边形的重心(高一)

求作四边形的重心,一般作法是沿四边形的一条对角线将四边形分成两个三角形,作出它们的重心连线.同理,沿另一条对角线分割,可以作出另一条重心连线,这两条重心连线的交点就是四边形的重心.这种作法要画12条辅助线,图形比较繁杂.我们知道,三角形的重心是两条面积二等分线的交点.依照这个原理,我们可以将四边形的面积两次二等分,两条二等分线的交点即为四边形的重心.作法如下:     

与反比例函数图象有关的三角形面积问题

<正>反比例函数图象与三角形面积联系在一起,演绎不同风格下的三角形面积问题.下面举例说明.性质1过反比例函数图象上一点,向x轴作垂线,则以图象上这个点、垂足、原点围成的三角形面积等于反比例函数系数k的绝对值的一半.如图1,设P(a,b)是反比例函数y=     

三角函数中“鸡爪模型”的变式分析

<正>高考中解三角形问题涉及知识点主要有：正弦定理,余弦定理,三角恒等变换公式,面积公式,三角形“四心”、中线、高线、角分线性质等.本文以泉州市2022届高中毕业班质量检测(一)第17题为例,谈谈“鸡爪模型”的解题策略及变式分析,希望对读者有所帮助.     

关于平分三角形面积的直线的讨论

<正>关于"过一点作平分三角形面积的直线"的问题,文[1]通过将一个三角形(其顶点为一边的中点、一个顶点和已知点)进行旋转、位似变换,构建相似三角形,利用比例线段沟通面积之间的关系,使该问题获得了一个较为简单的思路.但由于已知点的位置情况、解的情况比较复杂,对旋转、位似中心以及中点的选取给人以说不清、道不明的感觉.笔者经过深入研究,对平分三角形面积的直线有了进一     

等分三角形面积的直线

1问题的提出 众所周知,三角形的中线等分三角形的面积。问题是: (1)是否存在其它等分三角形面积的直线? (2)进一步地,给定三角形内的一点,过此点是否存在等分三角形面积的直线? (3)如果(2)中这样的直线存在,至多有多少条?     

图形的面积

在小学数学课上,我们已经学过一些简单图形的面积计算,在这里,我们将继续学习图形面积的计算方法.除了要熟记各种几何图形的面积公式外.同学们还应熟练掌握下面几条关于三角形面积的性质:(1)同底等高的两个三角形面积相等;(2)高相等的两个三角形面积之比等于底的比;(3)底相等的两个三角形面积之比等于高的比.运用面积作为工具来解决数学问题的方法叫做面积方法,我们可以运用面积方法来求点到直线的距离,求线段的比以及证明一些几何问     

关于三角形内、外角平分线的两个重要结论的应用

角平分线是初中几何的一个重要内容,关于角平分线的性质主要有:(1)把一个角分成两个相等的角。(2)角平分线上的点到角两边的距离相等。逆命题也成立,即到角的两边距离相等的点在角平分线上。(3)在等腰三角形中,顶角的角平分线是底边上的高,也是底边的中线。涉及角平分线的问题,解题时常需作适当的辅助线,构成等腰三角形或是平行关系,然后运用有关性质来解决。角分线相关问题出现最多的是在三角形中,大部分都是利用角分线的上述性质解决的。在这里,笔者简单谈一下关于三角形内、外角平分线的两个重要命题的应用。它们在解题过程中起着重要作…     

一个面积最值问题在空间的推广

单墫先生著作[1]中有一个面积最值问题(第七章第1题):P为∠MON内一点,过P作一条直线,使它与∠MON的两边所构成的三角形的面积最小.在原书的解法提示中实际上给出了如下基本结论:     

对一道竞赛题的再思考

课余小明解一道初中数学竞赛题:如图1,△ABC内有一点O,过O作各边的平行线,把△ABC分成三个三角形和三个平行四边形.若三个三角形的面积分别是1,1,2,求△ABC的面积.(2004,四川)他的解答过程如下:如图2,易知三个三角形与△ABC均相似.记△ABC的面积为S,则√S1√S √S2√S √√S S3     

关于圆外切闭折线的一个性质

对于三角形,下面的结论是熟知的[1]: 命题1 平分三角形的周长和面积的直线必经过三角形的内心. 这一性质可以推广到任意的圆外切多边形中[1]: 命题2 平分圆外切多边形的周长和面积的直线必经过三角形的内心. 本文拟将这一性质作进一步推广,证明关于圆外切闭折线的一个性质. 约定 符号121nAAAADL表示闭折线12AA 1nAAL的有向面积[2],ABCD表示△ABC的有向面积. 定理 设闭折线121nAAAAL有内切圆⊙(,),,IrMN分别是边12AA、1kkAA (1,kn相似文献   

例谈三角形“等积线”的应用

<正>在近几年的中考试题中,"二等分"图形的面积问题频频出现.解答这类题目的关键是要熟练掌握常见图形的"等积线"的应用.一、三角形的等积线(二分线)探究如图1,直线a∥b,S_(△BCE)=S_(△BCF)(同底等高),易得S_(△BOE)=S_(△COF).如图2,中线AD所在的直线就是△ABC的等积线,     

中考复习之面积计算与应用

面积问题一直是初中学生感到很难解决的问题,但面积问题的解决其实也是有一定的规律和方法;另外面积法又是一种很好的解决线段问题的好方法,在各种重要考试、竞赛中屡有体现.现就对面积问题作一个粗浅小结.1常见的面积计算对策1.1利用常规方法解决面积问题常用知识:各规则图形面积计算公式,相似形面积之比等于相似比的平方.在复习中要认真将各面积公式进行比较复习,这是一般方法,我们要充分打实基础.1.2利用等底或等高三角形计算面积常用知识点:等底等高的三角形(平行四边形)面积相等;等高三角形(平行四边形)面积之比等于底边之比;等底三角…     

一道安徽省中学数学竞赛题的又一证法

1978年安徽省中学数学竞赛试题第二试第3题为：“过三角形的重心任作一直线，把这三角形分成两部分，证明这两部分面积之差不大于整个三角形面积的.如[1].在“三角形面积问题举例”一节中，介绍了这道试题的向量证法.如[2]，在证不等关系一节中，在斜坐标系中介绍了这个试题的解析几何证明.本文结合三角形面积公式再给出这道试题的一种简单证明.证如图所示，过△ABC重心G的直线l分别交AB及AC于M及N.现在我们先证明为此，连AG并延长交BC于D，又过B及C分别作AD之平行线与直线l各交于E及F点.则DG是梯形BCFE的中位线.故有BE＋CF＝2…