一个不等式的再推广

本刊2002年第10期第13页的例6把不等式若a,b＞0,a+b=1,则(a+1/a)·(b+1/b)≥25/4.     

一个不等式结论的再推广

题1:设a>1,b>1,求证:a2/b-1+b2/a-1≥8.(第26届独联体数学奥林匹克竞赛题) 题2:已知实数a>1,b>1,c>1.求证:a3/b2-1+b3/c2-1+c3/a2-1≥9(√3)/2.当且仅当a=b=c时,等号成立(<数学通报>2000年第11期数学问题解答1284).     

一个不等式的推广

本文给出一个代数不等式的几种推广，从而获得几个更一般的代数不等式。     

一个不等式的推广

文[1]建立了一个新的代数不等式: 若a,b,c为不大于1的正数,n为正整数,则 1/n√1 a 1/n√1 b 1/n√1 c≤3/n√1 3√abc.     

一个不等式的指数推广及应用

文 [1]给出了一个不等式 :2 (n+1- 1) <∑nk=11k<2 n - 1　 (n>1) . ( )本文首先用初等数学知识 ,借助于算术—几何均值不等式对 ( )式进行指数推广 ,从而把( )式统一到本文定理之中 ,最后指出该定理的应用 .定理　 11- p[(n+1) 1 -p - 1]<∑nk=11kp<11- p· n1 -p - 11- p+1(p∈ Q且 p>0 ,p≠ 1,n>1) .定理证明依据如下引理 :引理 1　 1kp<11- p[k1 -p- (k- 1) 1 -p](p∈ Q且 P>0 ,p≠ 1,k>1) .证明　 (1)当 0 m kt· (k- 1) m -t,∴k- m- tm >m …     

一个不等式结论的应用

我们知道,不等式(x-a)(x-β)＜0的解集为a＜x＜β,(其中a＜β),反之,若a＜x＜β则有(x-a)(x-β)＜0成立.这一结论用在某些不等式的证明及求解上会有意想不到的简捷.     

两个不等式的统一推广

1两个不等式 不等式1"设a＞0,b＞0,a3+b3=2,则a+b≤2"(1986年宿洲市初中数学竞赛题);     

一个不等式再推广

文[1]将一个不等式推广为 设*0(1,2,,,2),iainnmN>=澄L, 且1niisa==,则 11111mnnmiiiiiaasan-==--邋. 本文再将其推广为 推广 设0ia>(1,2,,,2)inn=矻,m, ,kN*且mk>,1niisa==,则 111()(1)mnnmkiikkiiiaasan-==--邋. 当且仅当12naaa===L时等式成立. 证明 由文[2]行列式不等式: 若,xy>0,*,mkN,且mk>,则 ,kmmkmkmkyxyxmk--- 整理得1()mmkmkkxmxkyymk--?-,及幂平均不等式:若*0(1,2,,),iainmN>=蜭,则 11()nnmiimiiaann==邋,得 1111()(1)(()/(1))immnnikkkniiijijaasanaan====----邋 111[(()/(1))](1)()mknnmkijikijmakaannmk--==-----邋111()1…     

一组等价不等式的应用

我们经常遇到解下面形式的不等式:(1)a≤f(x)≤b;(2)f(x)≤a或f(x)≥b,通常是分两步求解,最后取交集或并集,这种解法速度较慢,有时计算量较大.刘成文老师曾在文[1]中给出这类不等式的一种定比分点公式的证法,构思巧妙,方法新颖.考虑到便于学生接受和推广,这里再介绍一种解法.     

一个不等式的推广与引申

文[1]中给出了下面的不等式:设a≥b≥c>0,则ba cb ac≥13(a b c)(a1 1b 1c).(1)本文先将不等式推广为:命题1设a≥b≥c>0,x≥y>0,则ba cb ac≥yx y(a b c)(1a 1b 1c) 3(xx- y2y).(2)证明a2b b2c c2a-(ab2 bc2 ca2)=(b-c)a2 (c2-b2)a (b2c-bc2)=(b-c)[a2-(b c)a bc]=(b-c)(a-b)(a     

一个不等式的推广和应用

中学数学里熟知的不等式 (ｘ ｙ) 2 ≤ 2 (ｘ2 ｙ2 ) ,可通过增加元数和增加次数进行推广 ,易得到幂平均不等式 :(ｘ1 ｘ2 … ｘｎ) ｍ ≤ｎｍ -1 (ｘｍ1 ｘｍ2 … ｘｍｎ) ,其中ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ 为正数 .在幂平均不等式中 ,令ｘ1 =ｍ ａ1 ,ｘ2 =ｍａ2 ,… ,ｘｎ=ｍａｎ,则又得到无理不等式 :( ｍａ1 ｍ ａ2 … ｍ ａｎ) ｍ≤ｎｍ -1 (ａ1 ａ2 … ａｎ) ,即有ｍａ1 ｍ ａ2 … ｍａｎ≤ ｍ ｎｍ -1 (ａ1 ａ2 … ａｎ) ,(ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ 为正数 ,当ａ1 =ａ2 =… =ａｎ 时 ,等号成立 ) .此不等式在证明有关无…     

一个代数不等式的推广及逆向

(2) 式中左边不等式得证。下证(2)式中右边不等式根据待证不等式关于x,y的对称性,不妨设0≤y≤x≤a,则a-y≥a-x≥0。     

一个不等式的推广和应用

题目:设a、b、c∈R ,且a b c=1,则(a2/a b b2/b c c2/c a≥1/2.) 命题若ai∈R (i=1,2,…,n),且a1 a2 … an=M,则     

一个带参数的分式不等式的推广及其应用

文[1]建立了一个新颖的带参数的分式不等式: 设a,b,c,x,y,x∈R ,若t＞1,则有 xa2/tx y z yb2/ty x z zc2/tz x y≤1/t-1((a2 b2 c2)-(a b c)2/t 2)…(1)     

一个猜想不等式的推广

文[1]有一个优美的不等式猜想: