一道习题的引申及应用

在新教材第一册 (上 )第 1 1 4页 ,有这样一道习题 .写出下面数列 {an}的前 5项 :a1=12an =4an-1+1 (n≥ 2 )下面就此题作探讨 .一、引申递推公式的概念既然在新教材中出现 ,那么已知递推公式求通项公式 ,学生将乐于接受 .因此对上述习题作下面引申 :【例 1】　已知数列 {an}的项满足a1=12an =4an-1+1 (n≥ 2 ),求通项an.【例 2】　 (旧教材P12 63 4题变式 )已知数列{an}的项满足 a1=ban + 1=can +d　其中c≠ 0 ,c≠ 1 ,求这个数列的通项an.其实 ,在an+ 1=can+d(c≠ 0 )中 ,若c =1 ,则该数列是公差为d的等差数列 ;若d=0 ,因为c≠ 0 ,则该数…     

高考热点——递推数列问题分类解析

近年来的高考数学试题中 ,常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题 ,这些问题综合性强、思维力度大、能力要求高 ,是同学们感到棘手的一类疑难问题 .本文从思路、方法到一般结论与模型 ,进行深入浅出的分类解析 .1　线性递推问题此类问题的一般模型是已知 (或可求得 )线性递推关系 :an+ 1 =can+ d,a1 =b(其中 b,c,d均为常数 ,且 c≠ 0 ,1)求通项 an.常用下述方法求解 .1.1　递推法即以 an+ 1 =can+ d作为递推公式直接进行递推 ,并归纳得到通项 an.an=can-1 + d=c(can+ 2 + d) + d=c2 an-2+ (1+ c) d=c2 (can-3 + d) + (1+ c) d=c3 an-3…     

一堂数列习题复习课

"已知数列{an}满足a1=a,an=ban-1 c(b≠1),求数列{an}的通项公式."这是教材中的一个习题,全国各地高考题中的一些数列题都与此相关.笔者从学生的认知角度及高考命题走向出发,对该类习题的教学进行了探讨.     

用待定系数法巧解数列的通项公式

在高中数学教学中,求解数列的通项公式是一个棘手的问题,许多学生因为其推理难度大,总掌握不好,为了解决这一问题,经过归纳,我总结出用待定系数法求几类常见题型数列的通项公式的方法,希望能给正在教学或者学习中的你带去帮助.我们先证明几个定理.定理1在数列{an}中,已知首项为a0,且满足an+1=pan+qn+r(其中p,q,r为已知常数,且p≠1,n∈N*),则存在唯一实数a,b,c,使得an=apn-1+bn+c.     

数列通项an的两个常见变形式的相通性及再创新式

我们知道数列通项 an 具有如下两个常见的基本变形式 :差式变形式 :an=(an- an-1 ) (an+ 1 - an-2 ) +…+(a2 - a1 ) +a1 . 1商式变形式 :an=anan-1· an-1 an-2·…· a3 a2· a2a1·a1 . 21式可以应用于求递推关系式为 :an+ 1 =an+g(n)型数列的通项公式 ;2式可以应用于求递推关系式为 :an+ 1 =f(n)× an型数列的通项公式 .而对求递推关系式为 :an+ 1 =kan+g(n) (k≠ 1 ) ( )型的通项公式就失效 .近期有杂志刊文介绍对 an+ 1 =kan+g(n) (k≠1 )型的通项公式求法 .不外乎两种方法 :其一是将an+ 1 =kan+g(n) (k≠ 1 )转化为 :an- h(n) =k{ an…     

构造新数列,求一类递推数列{a_n}通项

在数列 {an}中 ,已知 a1,且 an+ 1=qan + bn( n∈N+ ) ,求通项 .这类问题我们经常遇到 ,下面我们就其中一些常见简单的类型分别研究 .类型一 :当 an+ 1=qan+ bn中 ,q为非零非 1的常数 ,bn = d ( d为非零常数 ) ,这时可以通过待定系数法构造一个公比为 q的等比数列 {an + c}求解 .例 1　数列 {an}中 ,a1=3,an+ 1=2 an+ 5,求数列{an}的通项公式 .解 :∵ an+ 1=2 an + 5,设 an+ 1+ c=2 ( an + c) ,即 an+ 1=2 an + c,∴ c=5.∴ an+ 1+ 5=2 ( an + 5) ,∴ {an+ 5}是首项为 a1+ 5=8,公比为 2的等比数列 ,∴ an + 5=8× 2 n- 1,∴ an =2 n+ 2 - 5…     

数列通项公式和求和综合常见题型归纳

正一、配凑等差数列法求通项公式和错位相减求和1.配凑等差数列法求通项公式的常见模型递推公式形如:an+1=A·an+B·An,A≠1,B≠0.具体作法:第一步:递推公式两边同时除以An,则原递推公式可化为:an+1An=an An-1+B.第二步:变形得到an+1An-an An-1=B,即:数列an An-1≠≠是一个以a1A0=a1为首项,以B为公差的等差数列.第三步:由数列an An-1≠≠的通项公式即可求出数列{an}的通     

常见的几种数列递推关系求通项策略

数列的递推关系是给出数列的一种重要方法 ,2 0 0 0～ 2 0 0 3年的高考试题都有涉及及数列递推关系的题目 ,而由数列的递推关系确定数列的通项往往是解决数列问题的关键 ,同时也是对学生进行数学思想方法教学的重要载体 ,比如参数法、叠加法、迭代法、换元法、构造法等 .下面笔者对常见的几种数列递推关系的求通项策略进行解析 .类型 1:an+ 1 =p an +q解析 :当 p =1时数列为等差数列 ,当 q =0 ,p≠ 0时数列为等比数列 .当 p≠ 1,p≠ 0 ,q≠ 0时 ,引入参数λ,令an+ 1 -λ =p( an -λ) ,整理得 an+ 1 =pan+( 1-p )λ,由 ( 1-p)λ=p,所以λ=q1-…     

一个来自课本习题的数学模型的应用举例

在高中代数下册中,有这样一道习题:"已知数列{an}的项满足{an+1=can+d,其中ca1=b,≠0,c≠1,证明这个数列的通项公式是an=bcn+(d-b)cn-1-d/c-1(Ⅰ)"(证略)对于该数列同时有以下四个简单结论:     

用待定系数法求一类数列的通项公式——一道高中数列习题的推广

高中代数(甲种本)第二册77页上有这样一道习题: 已知数列{a_n}的项满足 a_1=b a_(n+1)=ca_n+d(c≠1),证明这个数列的通项公式是 a_n=(bc~n+(d-b)c~(n-1)-d)/(c-1) 我们把这题推广成: 已知数列{a_n}的项满足 a_1=a a_(n+1)-ba_n=c_0+c_1n+c_2n~2+…+c_mn~m,其中b≠0,求这个数列的通项公式. 这类问题,可以用待定系数法解决.以     

一类递推数列通项的多种求法及引申

求数列的通项公式是高考的重点,对形如an=ban-1＋c（b,c∈R,n∈N^＊,bc≠0且b≠1）的一类数列,易知数列{an}既不是等差数列,也不是等比数列,但一定存在一个常数m,使数列{an＋m）为等比数列。现对形如an=ban-1＋c（b,c∈R,n∈N^＊,bc≠0且b≠1）及其引申形式通项的求法作如下的探讨,希望对大家有所启发。     

对一个递推数列结论的更正

文[1]通过对一道课本习题的变式教学,探究递推数列an=pan-1 f(n)的通项,文中指出:形如an=can-1 d*bn(c≠0,c≠1,d≠0,b≠0)的递推关系式,均可由an λbn= c(an-1 λbn-1)构造等比数列处理.这一结论有不妥之处,请看下例:     

数列中常见递推关系归类剖析

新教材明确指出:数列可以由其递推关系式及前几项给定.根据递推关系求解通项,除用计算———猜想———证明的思路外,通常还可以对某些递推关系式进行变换,从而转化成等差、等比数列或易于求出通项的数列的问题来解决.下面分类说明这些常见的递推关系的类型及其解法.　一、an+1=an+d(其中d是常数)显然,由an+1-an=d知{an}是等差数列,则an=a1+(n-1)d.二、an+1=anq(其中 q是不为0的常数)显然,由an+1an=q知{an}是等比数列,于是an=a1qn-1.三、an+1=an+f(n),方法:叠加法例1 　在数列{an}中,a1=1,且an+1=an+,求an.解析 　由an+1=an+2n 得:a2-a1…     

递推数列 通项精析

江苏宜兴市丁蜀高级中学(214221)汤文兵金晓政对递推数列通项公式的考察在近几年高考题目中占着不小的比重.仅在2005年的高考中,有关递推公式的试题就不少于10题.因此,研究由递推公式求数列通项公式是很有必要的.下面谈谈递推数列通项公式的求解策略.一、观察、归纳、猜想【例1】设数列{an}的首项a1=a≠14,且an+1=12an,n为偶数,an+14,n为奇数,记bn=a2n-1-14,n=1,2,3….(1)求a2,a3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.解:(1)a2=a1+14=a+14,a3=12a2=12a+18.(2)∵a4=a3+14=12a+38,所以a5=12a4=14a+316,所以b1=a1-14=a-14,b2=a3-14=1…     

分式递归数列通项公式求法的探讨

分式递归数列an=aan+bcan+d(c≠ 0 )对应的不动根方程为x =ax +bcx +d。应用不动根原理求分式递归数列通项公式 ,当不动根方程有两个相等的根时 ,可归结为求一个等差数列的通项公式问题 ;当不动根方程有两个不相等的根时 ,可归结为求一个等比数列的通项公式问题。     

又谈不动点法求数列的通项公式

文[1]利用函数f（x）的“不动点”巧妙地求出了形如an=aan-1＋b/can-1＋d（c≠0,ad≠bc）,及an=aan-1^2＋b/2aan-1＋c（a,b,c均不为0）的数列通项公式,读后深受启发,经过研究,笔者发现利用函数f（x）的“不动点”还可解决对于初始值a0≠f（a0）,a1≠f（a1）（其中f（x）=x^2-q/2x-2p）递推关系形如an＋1=anan-1-q/an＋an-1-2p（p,q∈R）的通项公式．     

pan＋1=qan＋b型递推问题的解法

在数列中,递推问题是一个十分重要的问题.其中由a1=a,pan 1=qan十b,(n∈N ,a,p,q,b均为常数,且p≠0,q≠0,以下同)型递推公式求通项公式an是递推数列中一个典型问题,对它的解决方案的研究有一定的价值.1 由a1=a,pan 1=qan b求数列{an}的通项公式的解决方案 当p=q时,pan 1=qan b可化为 an 1=an b/p. 此时,数列{an}是等差数列,且其公差为b/p,因此可按等差数列进行求解,即     

一道高考压轴题的别解、变式及推广

题目 在数列{an}中,a1=1,an＋1=can＋c （n＋1） （2n＋1）（n∈N＊）,其中实数c≠0,求数列{an}的通项公式．     

一阶递推数列通项公式的推导及应用

设数列{an}满足一阶递推关系:an+1=pan+q.当P≠1且P≠0,q≠0时,数列{an)非等差、等比数列.其通项公式有两种求解思路. 思路1-转化为等比数列求其通项公式在an+1=pan+q中,两边同减去q/1-p得an+1-q/1-p=p(an-q/1-p).     

数列通项的基本求法

数列问题：其首项为a1,且an=Aan＋1＋B（A≠0,A≠1,（A-1）a1＋B≠0,n≥2,n∈N^＊）,求该数列的某一项,或通项公式,或解答与该数列有关的问题．