三角换元在巧解代数题目中应用

在处理许多三角问题时,我们常将三角问题代数化,以求化繁为简,化难为易;相反,在处理某些代数问题时,我们也可作适当的三角变换,将代数问题转化为三角问题,同样可收到令人满意的效果.现在举例说明如何使代数问题三角化.     

三角问题代数化

对于某些三角问题,若用三角方法处理会显得运算量特别大。如果根据问题的已知和结论的外形结构及内函特征,灵活运用代数方法,就能化繁为简,化难为易.就能获得良好的解题效果.下面通过实例说明三角问题代数化的应用效能.     

用万能公式证明三角不等式例说

不等式的证明是高中数学的重点和难点内容,而证明三角不等式对学生来说则是难上加难.究其原因,主要是三角不等式中涉及许多三角函数的基本知识,证明过程往往要综合应用代数、几何知识.利用三角函数万能公式(sinx=2t/(1 t~2),cosx=(1-t~2)/(1 t~2),tgx=2t/(1-t~2),其中t=tgx/2),可将某些三角不等式化为有理函数的不等式问题,从而可移用代数中处理这类不等式的方法加以解决.由于摆脱了繁杂的三角关系的纠缠,故使问题难度大大降低.兹举数例说明如下.     

代数问题三角化

在处理许多三角问题时,我们常将三角问题代数化,以求化繁为简,化难为易;相反,在处理某些代数问题时,我们也可作适当的三角变换,将代数问题转化为三角问题,同样可收到令人满意的效果。现在举例说明如何使代数问题三角化。     

三角代换法

三角代换是换元法的一种,某些代数问题在一定条件下完全可以转化为三角问题,从而简化运算过程,使解法耳目一新.它的基本思路是,依据代数式的结构特征,运用一些基本三角公式,把代数问题转化为三角问题进而灵活运用三角知识求解.这种方法可以称之为三角代换法,这种代换常有以下几种形式:     

浅谈三角代换在代数证明中的应用

<正>在三角函数中有很多简洁的式子,如sin2θ+cos2θ=1.而在某些代数问题里,如果能够抓住题目里的关系或者特征,选择恰当的三角代换,明确三角代换中角的取值范围,利用三角关系中的相应的等式,可以使问题轻松简洁地得到解答.本文通过一些例子来说明三角代换在证明等式或不等式以及求函数值域中的一些简单的应用,展示三角代换在证明某些代数式的优势,希望能够给读者带来些启示.     

三角法、向量法在高中数学竞赛中的应用

1知识点归纳 三角函数内容主要研究其图像、性质、恒等变形以及它在三角形内的应用等．由于三角函数与其他函数相比有其自身明显的特点（如单调性、有界性、周期性等），再加上三角函数内部有众多的变形公式，因此三角函数在处理某些具有特殊结构的代数问题方面有着广泛的应用．三角法就是把代数或几何问题转化为以角为变量的三角形式，从而把代数或几何问题转化为三角问题来处理的一种数学方法．     

三角换元,换出一片天

"换元"的思想在整个数学中都是很重要的,本文只对三角换元法做必要的探讨.三角换元法多用于条件不等式的证明或一些函数值的计算,也可用于解决一些几何问题,即把某些代数问题或几何问题转化为三角问题,这就是代数问题或几何问题的三角解法,下面举例说明.     

浅谈三角代换在代数证明中的应用

在三角函数中有很多简洁的式子,如sin^2θ＋cos^2θ=1.而在某些代数问题里,如果能够抓住题目里的关系或者特征,选择恰当的三角代换,明确三角代换中角的取值范围,利用三角关系中的相应的等式,可以使问题轻松简洁地得到解答．本文通过一些例子来说明三角代换在证明等式或不等式以及求函数值域中的一些简单的应用,     

怎样利用三角代换解某些代数题

利用三角代换在解决代数中的某些求值、化简、证明、求值域(或最值)、解方程(组)、解不等式(组)等问题时,可以给问题的解决带来较大的方便.三角代换的目的是要将原代数问题化归为三角问题,再利用三角公式进行适当的变形,进而使问题得到较为简捷的解     

数学知识的相互沟通和综合运用

在探求某些问题的解题途径时,如果能运用所学的代数、几何、三角知识,把数与形结合起来进行探索,往往能化繁为简,化难为易,收到良好的效果,且能使学生对所学知识融汇贯通,综合运用,提高解题能力,下面仅就初中数学中,代数、几何、三角三门科相互联系,相互渗透的某些方面,举一些例子,谈一点粗浅的看法. 一、代数与几何的相互沟通 1.用代数方法解几何题. 法国数学家笛卡尔在“思维的法则”中,曾提出运用方程的观点来解决世间的一切问题.他设计的模式是:     

应用正切代换法解竞赛题

在解某些代数竞赛题中,我们只要注意从条件及结论的结构特征入手,充分挖掘隐含条件,进行正切函数代换,将代数问题化为三角问题求解,而容易解出.一、形如“1+a~2”结构的,可作 a=tga 代     

不用三角代换行吗?

文[1]通过8个例题说明三角代换在解决某些代数问题中的应用,笔者读后,深受启发．同时,笔者又给出另外解法．为了便于比较,文[1]中例题的顺序也不改变．     

和、差角正切公式的若干应用

综合解题能力的培养,是数学教学的一项重要任务。所谓综合解题能力,主要是指运用几何知识去解三角、代数的问题;运用代数知识去解三角、几何的问题;运用三角知识去解几何、代数的问题,……等等。这种几何、三角、代数知识的综合运用,构成了综合解题能力的基本内容。就利用三角知识解几何题而言,正弦定理和余弦定理起着举足轻重的作用;这两个定理可以说是解决某些几何题(尤其是关于三角形的问题)的利器!鉴于国内许多刊物都曾对正弦定理和余弦定理的应用发表过文章,此处不打算再行涉及。本文的目的,是谈     

三角代换法解代数问题

有些代数问题 ,当我们用代数方法解决时 ,会觉得束手无策 .如果通过三角代换把它们转化为三角问题 ,不仅可使题中各量之间的关系变得直接明了 ,结构特征显现 ,而且代数中原来繁琐、复杂的运算变成了简单、灵活多变的三角运算 .本文将探讨两类适合用三角代换法解决的代数问题 .一、式子结构与三角公式的形式相同例 1　 (第 1 5届全俄中学生竞赛题 )数列ａｎ 满足ａ0 =13 ,ａｎ =1 +ａｎ- 1 2 (ｎ=1 ,2 ,… ) ,求证 ａｎ 是单调数列 .分析　由已知ａｎ =1 +ａｎ- 1 2 ,容易看出递推公式与余弦函数的半角公式结构完全一致 ,故考虑用三角代换 .…     

函数的图象和性质的教学探讨

运用几何图象解决某些代数、三角等问题,不仅显示出具体、形象、生动、简便的优点,而且对培养中学生熟练地综合运用几何、代数、三角各部分知识去解决具体问题的能力有一定好处。运用图象求某些方程的近似根或方程组的近似解或求某些函数的极值等问题,有时也显得十分有效。1978年、1979年高考复习大纲明     

类比联想寻思路 三角换元巧解题

<正>数学竞赛中许多代数问题,结构复杂,变元较多,学生往往陷入盘根错节的变量关系之中难以理清头绪,找不到解题切入点而无从下手.这时,我们如果借助题目显现的某些特征,从分析问题的整体结构出发,类比联想相关三角公式和恒等式模型,适时采用三角换元,不仅能简化题设信息,使隐性条件显性化,而且可以沟通变元之间关系,使繁杂的代数问题转化为简单的三角变换问题而快捷获解.一、类比联想sin²θ+cos2θ+cos²θ=1     

正切代换法解代数问题策略

在解决某些代数问题时,我们可以从考虑条件式与结论式的结构特征入手,充分挖掘隐含条件,将字母变量恰当地通过正切函数代换,化代数问题为三角问题求解,往往会起到化繁为简、化难为易之功效.本文将以一些典型实例归纳出用正切代换法解代数问题的若干思考途径,供大家参考.     

运用代数替换解三角题

有些代数问题,若利用三角代换转化为三角问题.常能收到化难为易,化繁为简的效果。反过来,有些三角问题,也可以通过代数替换转化为代数问题来解,往往也较之用纯三角知识来解会显得更加思路清楚、简捷、明了. 一、求三角函数值     

某些循环不等式的证明

本文借助应用一类三角不等式来证明某些代数循环不等式,它启示与说明了一种证题思考方法。