导数主干线 高考新亮点

现分类剖析新课程卷的数学命题,如何将新增内容——导数,与旧教材融于一体、使知识点汇于一处,探索导数的考查要求、考查题型、求解策略等. 1.考查导数的几何意义。求解曲线的切线问题[例1] 求f(x)=x3+3x2+bx-10的切线中,斜率最小的切线方程.     

导数问题的高考题型及解法解读

在近几年的高考中,对导数问题的考查力度正在逐年增加,不仅题型在变化,而且设置问题的难度、深度与广度也在不断加大,将导数与其它数学知识的结合已成为高考题的一道靓丽的风景线. 一、对导数定义和求导法则的考查 例1.设函数f(x)=2/x+1nx,则() Ax=1/2为f(x)的极大值点B.x=1/2为f(x)的极小值点 C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点 解:∵f(x)=2/x+1nx(x＞0),∴f'(x)=-2/x2+1/x,由f'(x)=0解得x=2. 当x∈(0,2)时,f'(x)＜0,f(x)为减函数;x∈(0,+∞)时,f(x)＞0,f(x)为增函数,∴x=2为f(x)的极小值点,所以选D. 点评:本题考查了利用导数确定极值点问题,但首先要利用求导公式对函数顺利求导,才能快速作答.     

活跃在2019高考中的“导数题”

<正>导数思想丰富、内涵深刻、应用广泛,一直是近几年高考经久不衰的考查热点.无论是客观题还是解答题,试题的背景、结构、交汇更加丰富、更加活泼、更加新颖, 对学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象和数学运算等核心素养进行了有效考查[1]. 下面介绍2019高考中丰富多彩的"导数题",供参考.1 考查函数图象的切线例1 (新课标Ⅰ卷文理第13题) 曲线y=3(x~2+x)e~x在点(0,0)处的切线方程为___.     

不等式“1-1/x≤lnx≤x-1”的妙用

在全国高考卷和各地高考模拟卷的压轴题中经常出现以函数或数列为背景考查不等式的证明题,难度较大,能全面地考查学生的数学思维能力.因此这类题是历年命题的热点,很多学生对此望而生畏.这类不等式常用的证明方法是运用导数或数学归纳法证明1.笔者发现不等式“1-1/x≤lnx≤x-1”等x四个重要结论在这类题中应用很广.本篇重点叙述运用四个重要结论证明的放缩技巧,供广大师生参考.     

高考中导数的应用问题分类解析

高中课本引入导数后 ,导数的应用在新课程高考卷中成为主要考查的知识点之一 .2 0 0 4年将在全国大范围内实施新课程卷高考 ,对第一年实施的省、市 ,无疑迫切需要了解新课程卷的特点及其知识考查特点 .笔者认为对过去的几年在部分省、市实施的新课程卷进行研究 ,对我们高考复习的把握不无裨益 .今就过去几年部分省、市在高考中对导数的应用的考查作一归纳 ,旨在探讨导数的应用考查特点 ,供高考复习参考 .1　求曲线的切线若函数 y=f(x)在x=x0 处可导 ,则曲线 y =f(x)在点 (x0 ,f(x0 ) )处有切线 :y - f(x0 ) =f′(x0 ) (x -x0 ) .利用这个结…     

对一类分式函数对称中心的探究

<正>武汉市2016届高中毕业生四月调研测试文科数学第16题和理科数学第11题,是两道关于分式函数对称中心的试题,重点考查函数对称中心的定义及其求法,考查化归转化的数学思想以及猜想论证的能力和数学素养.题1(文科第16题)函数f(x)=x/(x+1)+(x+1)/(x+2)的对称中心为____     

导数及其应用复习策略

正导数及其应用是高中与大学数学知识的衔接点.导数具有丰富的数学内涵和表现形式,是研究函数的最好工具之一,它与函数的图像、性质以及方程、不等式之间的紧密联系,成为高考中考查学生综合能力的重要素材,往往担任压轴的大任.1考点回顾根据考试说明,导数及其应用的考查主要体现在以下几个方面:(1)导数的概念及其几何意义.考点为函数在某一点处的导数是其图像上经过该点的切线的斜率.在试题中往往以求切线方程的形式出现.     

2007年浙江省高考数学卷中函数问题的特点与评析

函数是高中数学的重要内容和主干知识,也是学习高等数学的基础,在每年的高考中都占有较大的比重.2007年浙江省高考数学卷的函数题很有特色,理科第8、10、22题及文科第11、15、22题着重考查了函数的定义域与值域;分段函数、二次函数的性质;函数的单调性;函数的导数、导数的几何意义等,并以函数为载体考查了函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等重要的数学思想方法,对考生的理性思维能力和创新意识的要求较高,从而使高考命题由知识立意向能力立意的转化迈出了可喜的一步.1 重视对函数概念的考查数学概念是构建数学知识的基础,正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提;也是学好数学定理、公式和掌握数学方法及提高解题能力的基础.2007年浙江省高考数学卷理科第10题,要求考生深入理解函数的定义(定义域、值域和对应法则),领会分段函数、复合函数的概念,考查函数的本质特性.例1 设 f(x)={x~2,|x|≥1 x,|x|<1,g(x)是二次函数,若 f[g(x)]的值域是[0, ∞),则 g(x)的值域是     

2012年山东高考数学试题(理科)第22题解析

题目已知函数f(x)=lnx+kex(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2.本题是2012年山东高考数学理科试题函数问题压轴题,在知识上主要考查函数的定义域、单调性,导数、导数的几何意义,不等式的证明;     

基本不等式在解题中的应用解析

正"基本不等式"是江苏高考所要求的一个重要内容.它的内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点,所以它的应用为培养学生应用数学知识,灵活解决实际问题,学数学用数学提供了好素材.下面笔者将从以下几个方面来谈一下基本不等式的应用.一、基本不等式在函数中的应用在普通高中课程标准实验教科书《数学》必修1第55页有这样一个问题:对于任意的x1,x2∈R,若函数f(2)=2x,试比较f(x1)+f(x2)2与fx1+x2222的大小.这道题目是放在学生学习完指数函数后的一道探究拓展题的位置,在当时的学生看来,这道题目非常难理解,也很难证,     

六种数学思想,诱发一题多解

数学思想方法是从数学知识中提炼出来的精华,是将知识转化为能力的桥梁,同时也是高考考查的重点.下面通过一道高考题说明数学思想在不等式恒成立中的应用,旨在开启思维、拓宽思路、提高能力.例 (2006年高考数学江西卷)若不等式 x~2+ax+1≥0对一切 x∈(0,1/2]成立,则 a 的最小值为( ).A.0 B.-2 C.-5/2 D.-3     

一道零点个数问题的解法探究

题目函数f(x)=axe x+ln x+x(a∈R).(1)若a≥0,试讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.本题是广东省珠海市2018届高三3月质量检测理科的压轴题,表述简洁,蕴含着丰富的数学思想,是一道入口宽,通法多的好题,全面考察了学生的导数与应用知识,还有函数与方程、化归与转化和数形结合等重要思想.这道题恰恰也是2017年全国I卷21题的改编题目,改后解法更丰富,且能更好考查学生对导数应用知识的掌握,所以笔者认为此题契合了全国卷命题风格,是一道以能力为立意的好题.本文谈谈我对这道题的一些思考,希望对读者有所启发.     

一类过定点的函数族的试题命制与分析

<正>1试题内容已知函数f(x)=x²-x,g(x)=e2-x,g(x)=e^x-ax-1.(Ⅰ)讨论函数g(x)的单调性;(Ⅱ)当x>0时,f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.2考查目标本小题主要考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等.3命制过程     

含参数的等式或不等式的恒成立、存在性问题

含参数的等式或不等式的恒成立、存在性问题,是中常数学中的一个重要知识点,是学生对数学知识综合性、能力综合性的考查.一、含参数的不等式恒成立问题①对任意x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],有f(x1)≥g(x2)成立,等价于f(x)min≥g(x)min.②对任意x1∈[a,b],x2∈[c,d],有f(x1)≥g(x2)成立,等价于f(x)min≥g(x)max.     

高三复习课微单元设计与教学思考——以“利用导数研究函数的零点问题”为例

利用导数研究函数的零点问题是高考中的高频考点，也是难点.重点考查学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养，同时考查学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力.基于此，文章进行了该问题的复习课微单元设计教学思考.     

深刻理解知识 完善认知结构——一道导数题的错解分析及其教学启示

<正>一、题目与错解题目已知函数f(x)=(x²-ax+a)e2-ax+a)e^x-xx-x²,a∈R.若函数f(x)在x=0处取得极小值,求a的取值范围.这是高三数学复习导数的应用时,学生作业中的一道题目.由于经验型思维错误及思维不严谨,学生中出现了以下两种错解.错解1因为f'(x)=(x2,a∈R.若函数f(x)在x=0处取得极小值,求a的取值范围.这是高三数学复习导数的应用时,学生作业中的一道题目.由于经验型思维错误及思维不严谨,学生中出现了以下两种错解.错解1因为f'(x)=(x²-ax+2x)e2-ax+2x)e^x-2x,而f(x)在x=0处取得极小值,于是     

一道高考数学题的解法探究

<正>题目设n∈N*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列{xn}的通项公式;(2)记Tn=x21x23…x22n-1,证明Tn≥1/4n.这是今年安徽高考数学理科第18题,本题综合考查了导数,数列,数列不等式的证明,入口较宽,解法多样.笔者对第(2)小题进行了探究,得到如下几种证法,供读者参考.     

导数题:融合自然 新颖脱俗

1　江苏卷第 ( 2 1 )题命题人的原意是考查导数、不等式证明等知识 ,考查综合运用所学数学知识解决问题的能力 .在第 (Ⅰ )小题中 ,参考答案所提供的解法是将 y=(x -a) n 按x的降幂逐项展开 ,然后又逐项求导 ,并借助于组合恒等式kCkn=nCk- 1n- 1.此种解法技巧性强 ,令人赞叹 .然而在二项展开式中 ,应用赋值法可得到众多的恒等式 .而这些恒等式并不要求学生掌握 .事实上 ,本题只需应用导数的定义、极限的运算法则 ,很容易获得证明 .如果应用复合函数的求导法则 ,求解本题更简洁明了 .命题人为什么将如此简单问题进行复杂化处理呢 ?笔者以为…     

一类导数题型解法初探——一道高考题的多种证法及推广

<正>以下是2011年辽宁的一道高考题.已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.(1)(2)略;(3)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A、B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:f'(x0)<0.本题考察了形如f(x)=plnx+mx2+nx+c(p,m,n,c∈R)的导数题型.对导数问题,高考重点考查两方面内容:(1)函数的单调     

2003年高考“求导题”的分析与反思

一 试题概述 2003年高考数学新课程卷理科第 19 题,文科第 18 题是利用“导数”知识来解决的问题. 理科试题:设 a>0,求函数 f(x)= 姨 x -ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间. 此题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 文科试题:已知抛物线 C1: y=x2+2x 和 C2: y=-x2+a,如果直线 l同时是 C1 和 C2 的切线,称 l是 C1 和 C2 的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.( ) 取什么值时, 和 C2 Ⅰ a C1有且仅有一条公切线?写出此公切线的方…