关于特殊二元函数极限的讨论

由一元函数f(x)在点x0的极限存在，很容易地得出特殊二元函数F(x，y)=f(x)在点(x0，y0)的二重极限也存在。但若limx→x0f(x)=A,f(x)在x0有意义，且f(x0)≠A，则二重极限linx→x0,y→y0f(x)不存在。     

导数的另类应用

函数y=f（x）在x=x0处导数的几何意义就是曲线y=f（x）在点P（xo,f（xo））处切线的斜率．运用变化的观点,曲线在某点P（x0,f（x0））的切线就是曲线的割线PQ当Q无限趋近于P点的极限．由此我们发现,函数y=f（x）图像上任意两点P（x1,y1）,     

对洛必达法则的一点注记

在g(x)→∞(x→xo或x→∞)的条件下，讨论分式极限lim x→xo f(x)/g(x)(或lim x→= f(x)/g(x))，对此给出与洛必达法则完全相同的结论。     

对多元函数极限的二个问题探讨

多元函数的极限与—元函数的极限相比有着很大的差别，—元函数极限存在的充要条件是f（x—0）＝f（x—0），而多元函数完全没有这个性质．我们知道limf（P）存在的先要条件是P点不论以什么方式趋于点，极限都存在且相同．这样我们就很容易知道，多元函数极限与二次极限之间有着很大差别，并且求多元函数的极限是一件很复杂的事情。下面我举例对上述两个问题加以讨论。一、二元函数极限与二次极限之间的区别设）为二元函数的极限．为二元函位的二次极限。它们之间存在的区别通过例子来叙述。例1设函数f（x，y）的表达式如图1所示。很明显0…     

打破常规简捷求解

函数f(x)在x = x0 处取得极限的点称之为“极限点”,函数 f(x) 在点 x = x0 处连续的点称之为“连续点”,函数f(x)在x = x0处有导数的点称之为“可导点”,可导函数y = f(x)使f′(x0) = 0 的点 x0 叫做函数f(x)的“驻点”,函数f(x)在x = x0 处取得极值(极大值或极小值) 的点称之为“极值点”,函数f(x)在x = x0 处取得最值(最大值或最小值)的点称之为“最值点”.函数中这五类点很容易混淆,理清它们之间的关系对函数的“极限”和“导数”学习很有帮助.一、函数的“极限点”与“连续点”的关系当自变量x无限地趋近常数x0(但 x不等于x0)时,若…     

导数f'(x0)的三种极限式及应用

根据导数的定义知,可导函数了(x)在x二x。处的导数为概[f(x) f(xo)]【f(x)一f(xo)] X一XO f(x)一f(x。)厂(x。)= f(x。十△x)一f(x。)纸△x hm二1众n【f(x)十f(x。)〕lixn”与二,与二2f(x。)厂(x。). (2)原式二X一XO令△x=x一xo,则当△x冲0时,x一x。~ 0,即x”x。,所以①式可表示为厂(x。)=坛n”、f(x)一f(x0) X一XO②lim‘叫心f(x。 4t)一f(xo) f(x。)一f(x。一st) 2t又当,任R且二护0时,若△x~0,m△x申0,从而①又可表示为则一2腼工互兰鱼士卫旦二丛,兰迎 名叫司络忿厂(x。)=由此可见可导函数了(x)在间相互等价. f(x。 m△x)…     

数学分析中否定命题证明的逻辑基础

在数学分析的教学过程中,要想证明“数b是函数f(x)在点a的极限”、“函数f(x)在点口连续”和“函数f(x)在‘a,b’上一致连续”等命题是比较容易的,然而要证明这些命题的否定形式,即“数b不是函数f(x)在点a的极限”、“函数f(x)在点a不连续”和“函数f(x)在‘a,b’上不一致连续”等否定命题时,学生就倍感棘手,教师讲解时往往也不太容易表达清楚,为此,笔者想借助数理逻辑作为工具,对该类问题证明的逻辑基础予以剖析,供大家参考。     

谈二元函数极限的计算

设二元函数f(x,y),P_o(x_o,y_o)为定义域D中一个聚点,A是一个确定的实数。若对Aε>0,Eδ>0,当p(x,y)∈v~0(p_o,δ)D时,有|f(x,y)-A|<ε,则称A是f(x,y)在P_o点的(二重)极限。记作lim f(x,y)=A或lim f(x,y)=A.(x,y)→(x_o,y_o) x→x_o y→y_o 例如,讨论xy~2/x~2+y~4在(0,0)点的极限。 设f(x,y)= xy~2/x~2+y~4,令y=0,则f(x,0)=0,(x≠0)即当P(x,y)沿x轴趋于(0,0)点时,f(x,y)→0,     

分段函数在分界点处的极限、连续性与可导性的例子

在一元微积分的教学中,学习函数的极限与连续时,常遇到讨论当x→x_0时,分段函数f(x)在分界点x_0处的极限是否存在;在点x_0处分段函数是否连续;以及分段函数在点x_0处是否可导。学生对这一类利用定义进行讨论的题型感到无从下手,不知如何讨论,现就几个例题作详细的讨论。 一、分段函数f(x)在x→x_0时的极限 对于分段函数常用以下定理来讨论极限是否存在: 如果函数f(x)当x→x_0时的极限存在且等于A,当且仅     

“极限”的小结

一、基本概念 1.数列的极限,是当项数n无限增大时,数列的项a_n无限趋近于常数A,记作(?) a_n=A,即当n→∞时,a_n→A_o而函数的极限有两种情况:(?)f(x)=A,(?)(x)=A_o要注意x→∞包括x→ ∞和x→-∞,x→x_o包括x→x_o~ 和x→x_o(?) 2.函数f(x)在点x=x_o处连续必须具备以下三个条件,缺一不可:①f(x)在点x_o的某一邻域内有定义;②(?)(x)存在;③f(x)在点x_o处的极限等于f(x)在点x_o的函数值,     

二元函数极值点判定的充分条件新证

利用多元函数的偏导数与方向导数的概念给出二元函数f(x,y)的方向导数及其几何意义,然后进一步给出了二元函数沿任意方向L的二阶方向导数2f/l2.再利用其表示的几何意义给出证明二元函数f(x,y)的极值点判定定理的一种新方法.     

关于二元函数极限的定义

近几年我们使用四川大学编写的《高等数学》教材(以下简称川大教材),在使用中我们发现该书二元函数极限定义与书中某些求极限题目不配合,因而给学生学习造成混乱,学生作题错误较多。关于二元函数极限的定义就我们看到的教材有三种定义,下面分别以定义1、2、3形式摘抄如下,进行分析比较并提出我们的看法。一、二元函数极限的定义定义1:“设函数 z=f(x,y)在点P_0(x_0,y_0)的附近有定义(在P_0点函数可以没有定义,因为我们研究极限并不考虑在该点的函数值)……。如果对于任意给定的正数ε,都存在     

二元函数极值点的再判别

本文在△=0的情形下进一步地讨论了二元函数f(x，y)极值点的判别方法。     

二元函数方向导数的几何意义

为探索二元甬数z=f(x,y)方向导数的几何特征,使用代数分析和矢量分析的方法研究函数z=f(x,y)的方向导数.对于由方程z=f(x,y)给出的曲面S上的曲线C:z=f(x,y)且y=y0+tanα·(x-x0),设L是过曲面S上(x0,y0,f(x0,y0))点曲线C的切线,θ是有向直线L与矢量→/AB的夹角.那么二元函数z=f(x,y)在(x0,Y0,f(x0,y0))点沿方向AB的方向导数就是tanθ.     

比较复变函数与二元函数的分析性质

设z=x＋iy,w=u＋iv,则w=f（z）=u（x,y）＋iv（x,y）,所以一个复变函数w=f（z）相当于定义两个二元函数u=u（x,y）和v=v（x,y）,讨论一个复变函数的极限与连续性就相当于讨论两个二元函数的极限与连续性.所以复变函数与二元函数在某些概念、结论上有一定的相似之处,因此有必要比较复变函数与二元函数的某些分析性质.     

关于导函数极限的研究

1导函数f′(x)在x=x0处的极限与函数y=f(x)在x=x0处的可导性定理1若函数f(x)在(a,b)内连续,在(a,b)中除点x0外处处可导,且li mx→x0f′(x)存在,那么函数y=f(x)在x=x0处可导,且f′(x0)=lxi→mx0f′(x).证明:任取异于x0的x∈(a,b),在[x0,x]或[x,x0]上应用lagrange中值定理,有f(xx     

拉格朗日乘数法的初等化应用

利用拉格朗日数乘法求极值的方法是这样的:对给定二元函数z=f(x,y)和附加条件φ(x,y)=0,为寻找z=f(x,y)在附加条件下的极值点,先构造拉格朗日函数L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y),其中λ为参数.     

浅谈高等数学命题中的充要条件

在高等数学中,有许多命题(或定理)与充要条件有关.例如;在一元微分学中,函数连续是导数存在的必要条件;函数f(x)在点x_0可微的充分必要条件是函数f(x)在点x_0可导.在二元微分学中,函数z=f(x·y)的偏导数(?)z/(?)x·(?)z/(?)y在点p(x·y)连续,则函数在该点的全微分存在(充分条件).……等等.     

教学中求二重极限应注重的若干方法

一、二重极限 　　定义:设函数发f(x,y)在区域D内有意义,P0(x0,y0)是D的内点,如果对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得对于D内且适合不等式0＜|P0P|=(x-x0)2 (y-y0)2＜δ的一切点p(x,y),都有|f(x,y)-A|＜δ成立,则称常数A为函数f(x,y)当x→x0,y→y0的二重极限,记作limy→y0x→x0 f(x,y)=A或f(x,y)→A(x→x0,y→y0)……     

关于复合函数的极限

求复合函数的极限,常用其连续性定理。 定理一 若u=g(x)在x_0连续,且u_0=g(x_0);y=f(u)在u_0连续,则复合函数y=f〔g(x)〕在x_0连续。即 lim f〔g(x)〕=f〔g(x_0〕=f〔 lim g(x_0)〕,于是,在f(u)和g(x)都连续的条件下,可利用交换极限号lim和函数号f,求复合函数f〔g(x)〕的极限,如