活用增根性质，讨论参数取值

解分式方程时，常通过适当变形化去分母，转化为整式方程来解．若整式方程的根使分式方程中的至少一个分母为零，则是增根应舍去．由此定义可知：增根有两个性质：(1)增根是去分母后所得整式方程的根；(2)增根是使原分式方程分母为零的未知数的值，灵活运用这两个性质，结合分式方程“解”的情形，适时运用分类讨论思想和因式分解及配方法，可快捷地确定分式方程中参数的取值，请看以下几例。     

分式方程的验根问题

分母里含有未知数的方程，叫做分式方程．解分式方程的一般方法，是在方程的两边同乘以各分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程，解所得的整式方程，最后验根．为什么在解分式方程时必须验根呢？我们知道，分式方程的根不能有使分母为零的值．但在把分式方程两边同乘以一个整式将分式方程化成整式方程后，一般来说，本知数的允许取值的范围扩大了．这样，整式方程的根中有可能使分式方程的最简公分母为零的值；而这个值将使分式方程失去意义．因此，它虽是变形后整式方程的根，但不是原分式方程的根．这样，当分式方程变形为整式方程…     

浅谈分式方程的增根

在求解分式方程时,易产生增根。如在将分式方程约去分母后得到的整式方程的根使约去的分母为零,那么它就是原分式方程的增根．反之则就是原分式方程的根。事实上,约去分母后,使方程未知数定义域扩大,从而产生了增根,因而教学中我们强调了解分式方程验根的必要性。     

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解分式方程产生增根的主要原因是方程两边同乘以各分母的最简公分母，从而在转化为整式方程的过程中，未知数的取值范围扩大了．因此，解分式方程过程中产生的增根，虽不是原方程的根．但一定是所得整式方程的根．我们可据此讨论含参数的分式方程根的问题．     

谈分式方程的增根和失根

解分式方程是通过“去分母”法把分式方程“整式化”的。在化去分母“转化”为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根。因此解分式方程中“去分母整式化”和“验根”是必不可少的步骤。     

与分式方程增根有关的问题

分式方程的增根是原方程去分母后所得整式方程的根,这个根使原分式方程的最简公分母为0,与分式方程增根有关的问题很多,归纳起来主要有以下三种题型.     

分式方程与增根

提到分式方程，大家自然会联想到增根，在化分式方程为整式方程求解的过程中，由于去分母而出现使分母为零的根，即增根，所以解分式方程时必需要检验．检验增根是解分式方程的一个重要步骤，值得我们充分注意．本文通过实例探讨分式方程与增根的有关问题，旨在抛砖引玉．     

例谈分式方程的增根与无解

分式方程的增根与方程无解,它们之间既有本质的区别,也有密切的联系．分式方程的增根是由于去分母将分式方程转化为整式方程的变形中,扩大了未知数的允许值范围而产生的．它可以通过检验决定其取舍;分式方程无解则是因为原方程本身就是矛盾方程,即不论用任何实数代替原方程中的未知数,方程都不成立．原方程有增根不一定无解,     

慎求分式方程的参数值——辨析增根与无解

分式方程的增根与无解是分式方程中的两个重要概念,两者既有区别,又有密切的联系.对于分式方程,当分式中分母的值为零时,分式方程无意义,所以分式方程不允许未知数取那些使分母的值为零的值.在分式方程转化为整式方程的变形中,这种限制被取消了,使原方程中未知数的取值范围扩大了,导致转化后的整式方程的根可能是原方程未     

巧用分式方程的增根解题

我们知道，在解分式方程时常会产生增根，分式方程的增根，既是变形后所得整式方程的根，又是使原分式方程各分式的最简公分母为零的未知数的值．下面举例说明分式方程的增根在解题中的应用．例1若关于x的方程有增根，则解原方程的增根应是方程X－4一0的根，即增根为X一4．将原方程去分母整理得X‘－7X＋4一2。一0．故增根X一4也应满足这个方程，即二车有增根X—－1．求k值．H“－1”””””解将原方程去分母，整理得一ZX＋6一天一O．（1）X—－1是原方程的增根，X—－1是方程（1）的根．（2）X（1）W6k＝0．k——8．。，。、，、。…     

如何利用增根解题

解分式方程一般是在方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母,去掉分母,转化为整式方程求解．无理方程则是通过乘方,转化为有理方程后再加以解答．去分母与乘方都有可能改变未知数的取值范围,从而产生增根．也就是说,增根主要源自于分式方程、无理方程向整式方程、有理方程的转化过程中     

应用分式方程增根解题

在解分式方程时,由于去分母将分式方程化成整式方程后,末知数的取值范围扩大了,因而容易出现增根．而分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根,同时还使其最简公分母的值为零．根据分式方程的这一特性可巧解一些数学问题．现举例说明如下：一、求参数的值。。,,、。。,、,,。。。、。x－3m例1去分母解关于。的方程W＝H产生增根,则m的值是（）（A）2;（B）l;（C）－l;（D）以上答案都不对．（1993年天津市中考题）解由于原方程去分母产生增根,所以X－2一队：·X＝2．又原方程去分母,得。＝。－3…．m＝2－3＝－l．故应…     

浅谈如何应用分式方程解决实际问题

应用分式方程解决实际问题时,首先要知道分式方程是指分母中含有未知数的方程.其次是使原分式方程的分母为零的根是原分式方程的增根.产生增根的原因是什么呢?是因为去分母时,在分式方程的两边同时乘以了一个可能使分式方程的分母为零的整式.这样的去分母不能保证新方程与原方程同解.所以检验所得出的结果尤为重要.通常列方程解应用题的步骤是:审题、找等量关系、设未知数、列方程、解方程、检验、答题.     

分式方程的根与增根

在解分式方程时通常都是先把分式方程去分母,转化成整式方程,然后求整式方程的解,求解后还要进行验根。那么在教学中学生经常会有这样的疑问:解分式方程为什么必须要验根呢?增根是如何产生的?增根是分式方程所特有的吗?分式方程的根与增根能够使分式方程成立的未知数的值叫分式方程的根;增根是在分式方程化为整式方程的过程中,若整式方程的根使最简公分母为0(根使整式方程成立,     

含参数的分式方程根的讨论

解分式方程产生增根的主要原因是方程两边同乘以各分母的最简公分母,从而在转化为整式方程的过程中,未知数的取值范围扩大了.因此,解分式方程过程中产生的增根,虽不是原方程的根,但一定是所得整式方程的根.我们可据此讨论含参数的分式方程根的问题. 例1 若关于x的方程3/x ax/x 1=2 3/x 1有增根,求a的值. 简解:原方程去分母,得3(x 1) ax2=2x(x 1) 3x ①若原方程有增根,则这个增根应当使原方程中分式的分母为零,并     

利用增根求参数的值

解分式方程时,为了化分式方程为整式方程,需要用分式方程中各分式的最简公分母去乘分式方程的两边,如果所得的解恰好使最简公分母为0,那么这个解就是这个分式方程的增根．由此,分式方程的增根必满足两个条件：（1）增根一定是分式方程转化所得的整式方程的解;（2）增根使分式方程的分母为0．利用增根的这一特性可解决许多问题．     

利用分式方程的增根解题

我们知道,解分式方程需要验根,这是因为在解分式方程时,有可能产生使分式方程中的分母为零的未知数的值·反过来,已知分式方程的增根的特性,可解决一些与增根有关的问题·下面举例说明·例1当k为何值时,方程xx--31=x-k3会出现增根?分析:原方程出现增根,只能是x=3,通过x=3可求出k的值·解:原分式方程去分母,得x-1=k·①若原方程会产生增根,则有增根为x=3,代入①,得k=2·所以当k=2时,原方程会产生增根·评析:分式方程的增根是在去分母时产生的,增根虽然不适合原方程,但它既是去分母所得整式方程的根,又是使原方程各分母的最简公分母为零的未知…     

巧用分式方程的增根解题

同学们都知道在解分式方程时，可能产生憎恨，这是因为分式方程中各分式的未知数都有各自的取值范围（即分母不能为零），这些取值范围的公共部分就是分式方程的未知数的取值范围，只能在这个范围内求它的根．但当它化成整式方程后，因去掉了分母，所以未知数的取值范围扩大了，从而就产生了两种情况：（1）如果整式方程的根都在分式方程未知数的取值范围内，那么整式方程的根就是分式方程的根；（2）如果整式方程的很不在分式方程未知数的取值范围内，那么这种根就不是分式方程的根，这样就产生了增根．由此可见，分式方程的增根一定是所化…     

学习分式方程应注意的几个问题

分式方程是代数方程中的重要内容 .学习时必须注意以下几个问题 :一、明确解分式方程的基本思想与解可化为一元一次方程的分式方程一样 ,解可化为一元二次方程的分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程 ,转化的基本方法仍然是去分母 ,有时也可根据某些方程的特点 ,采用换元等方法 .二、弄清为什么会产生增根因为在将分式方程变形为整式方程时 ,扩大了未知数的取值范围 ,所以转化后的整式方程的根有可能不适合原分式方程 ,即产生了增根 .在什么情况下会出现增根呢 ?在将分式方程转化为整式方程时 ,方程的两边乘以同一个含有未知数的整…     

分类例析含参分式方程问题

<正>近年来，含参分式方程在各类试题中频繁出现，其大致有三种类型：一是可化为一元二次方程；二是可化为二元一次方程；三是与不等式或不变式组的结合，主要涉及求参数的值或取值范围.解决这类含参分式方程的前提是理解并掌握分式方程增根和无解的区别：分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根.下面我们对含参分式方程进行分类说明，供同学们学习时参考.