巧用算术根定义解题

我们知道,一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根,零的算术平方根是零．运用这一定义解题,有时显得十分简捷明快．现举例说明之．平方根．分析由算术根定义及绝对值定义知＋８＝０,解得ｘ＝－２,ｙ＝４．故ｘｙ＝（－２）４＝１６,其平方根为±４．例２若ｘ、ｙ为实数,且ｙ＝值．分析由算术根的定义得１－８ｘ≥且８ｘ－１≥０,于是ｘ＝,则ｙ＝０＋０＋＝,进而可求得原式＝１．例３比较与的大小．分析粗看起来,比较这两个式子的大小,需分类讨论ａ的取值范围,还要将异次根式化为同次根式,运算较复杂．注意到算术根的定义…     

初三数学期末试题

一、填空题（每小题３分，共４２分）： １．方程（ｘ－２）（ｘ＋１）＝０的根是＿。 ２．点Ｐ（３，－２）关于ｙ轴对称的点的坐标是。 ３．若一元二次方程 ｘ２－（ｍ－１）ｘ＋ｍ－５＝０的两个根互为相反数，那么 ｍ＝＿。 ４．在函数ｙ＝中，自变量ｘ的取值范围是。 ４．在函数ｙ＝中，自变量ｘ的取值范围是。 ５．关于ｘ的方程ｘ２－４ｘ＋ｋ＝０有实数根，那么实数ｋ的取值范围是。 ６．一次函数的图像过（－１，３）和（０，２）两点，则此函数的解析式为＿。 ７．在函数ｙ＝中，当ｘ－时，函数值ｙ＝。 ８．实数ａ，ｂ满足ａ＋ｂ…     

妙题巧解(三)

１．已知实数ｘ、ｙ满足等式 ｙ的值， ２．若一个四位数等于它的各位数字的和 的４次方，则这个四位数是＿． ３．若＝１、１２是方程ｘ２＋２－５＝０的两个 根，则的值是＿． ４．如图１，在△ＡＢＣ 中， ＤＥ／／ＢＣ，分别交ＡＢ、ＡＣ于 Ｄ、Ｅ．若 则 参考答案 １．由算术平方根的定义可 知 ２．欲求这个四位数，只需求出它的各位数 字的和即可．设这个四位数为，则 是整数， ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝６或７或８或９． 经检验知，ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝７符合题意，其 余都不符合题意． ３＝ｘ１、ｘ２是方程ｘ２＋ｘ－５＝０的两个 根，ｘ８＋…     

初二(下)代数期末试题

一、填空题（每小题２分，共２８分） １．６４的平方根是＿。 ２．若３＝１．７３２，３０＝５．４７７，则０. ００３＝＿。 ３．使ａ－２＋３２－ａ有意义的ａ的值为。 ４．若ａ２＝（ａ）２时，ａ为数。 ５．若最简二次根式３ｂ－１（ａ＋１）与４ｂ－ａ是同类二次根式，则ａ＝＿，ｂ＝＿。 ６．化简（１－２）２＝＿；当ａ＜－２时（ａ－２）２＋（ａ＋１）＝＿。 ７．２－ｘ＝８则ｘ＝＿；则ｘ＝＿Ｘ３＝０．１２５．则ｘ＝。 ８．比较大小：４５＿５３，３－２＿　。 ９．２－５的有理化因式是＿，倒数是＿。 １０．若３ａ＋１＋｜ｂ…     

《数的开方》测试题(二)

一、判断题（每小题２分，共１０分）１．带根号的数都是无理数．（）２．无理数都是无限小数（）３．如果ａ与ｂ的算术平方根相等，那么一定有ａ＝ｂ（）４．（－６）２的平方根是±６．（）５．－６４的算术平方根是８（）二、填空题（每小题３分，共３０分）１．与数轴上每个点成一一对应的数是＿．２的算术平方根是３．的平方根．４．求值：５．在…各数中，属于无理数的有．６如果的平方根是±３，那么ａ＝７．查表得，则可求得０．０１３５的平方根是８．已知，则ａ：ｂ＝．９．若取，则．１０．实数ｘ、ｙ满足，则ｘ＋ｙ的值是。三、…     

《因式分解》自测题

一、填空题（每空２分，共２０分）１．ｘ３－２ｘ２ｙ＋ｘｙ２＝ｘ．２．ｂｃ－ａｃ＋ａＢ－ａ２＝（ｃ＋ａ）（）．３．若１２ｘ２－８ｘ－７＝（２ｘ＋１）（６ｘ＋ｍ），则ｍ＝．４．已知ａ＝３．ｂ＝２。则ａ３－２ａ２ｂ＋ａｂ２－ａ＝５．２７－８ａ３＝（３－２ａ）（）．６．１６ｘ＋　　１／４＝（４ｘ＋．）７．ｘ２－ｙ２－２ｙ－１＝（）．８．分解因式：ｘ３＋ｘ２－２ｘ－２＝（ｘ＋１）（）．二、选择题（每题３分，共２４分）１．若二次三项式ｘ２＋ａｘ—１可分解为（ｘ—２）（ｘ＋ｂ），则ａ＋ｂ的值为（）（Ａ）－１；…     

初一第一学期期末考试数学试题

一、填空题（每空１分,共２０分）１－１１２的倒数是;｜０．５｜的相反数是;若｜ｘ｜＝７,则ｘ＝。２单项式－３ｘ２ｙ３ｚ５的系数是;次数是。３多项式３ｘ２ｙ－ｘ３－ｙ３＋５ｘｙ２是次项式,按ｘ的降幂排列为。４已知ｍ－ｎ＝２５,则２５－ｍ＋ｎ＝。５当ａ时,代数式ａ－４５与３１０ａ－１的值互为相反数。６合并同类项－ａ－ａ－ａ＋ａ２＋ａ２＋ａ２＝。７若２５ｘｙｍ与－５ｘ２ｍ－５ｙｎ＋２是同类项,则ｍ＝,ｎ＝。８若ｘ＝－３是方程１４（ｘ－ｋ）＝－１的解,则ｋ＝。９在公式ａｎ＝ａ１＋（ｎ－…     

《因式分解》测试题

(满分100分　时间60分钟)一、填空题（每空３分,共３６分）１．－９ｙ２＋１６ｘ４＝（）（）．２．计算：６３２－３７２＝．３．若ｘ２＋ｋｘ－４＝（ｘ＋１）（ｘ＋ｍ）,则ｋ＝,ｍ＝．４．如果ａ＋ｂ＝２,ａｂ＝１,那么ａ２＋ｂ２＝．５．２７ｘ３＋１（３ｘ＋１）（）．６．已知ｙ２＋ｍｙ＋４＝（ｙ－２）２,那么ｍ＝,７．如果ｘ２＋ｋ＝（ｘ－４）（ｘ＋４）,那么ｋ＝．８．如果４ｘ２＋１２ｘ＋９＝０,那么ｘ的值为＿．９．已知ａ２＋ｂ２－２ａ＋６ｂ＋１０＝０,那么ａ＝＿,ｂ＝．二、单项选择题（每小题３分,共１８分…     

一道不等式题的多种证法

一道不等式题的多种证法甘肃省静宁一中王启龙题目：已知ａ,ｂ∈Ｒ,且ａ＋ｂ＋１＝０．求证（ａ－２）２＋（ｂ－３）２≥１８．证明一：综合法∵若ｘ,ｙ∈Ｒ,则有ｘ２＋ｙ２≥（ｘ＋ｙ）２２．当且仅当ｘ＝ｙ时取“＝”．又∵ａ＋ｂ＋１＝０,∴（ａ－２）２＋（ｂ－...     

初一数学期末试题

一、填空题（每小题３分，共３０分）： １．－２的倒数是＿。２．的相反数是＿＿ ３．－１的绝对值是　。４．的系数为，次数为＿。 ５．－５ｘ＋６ｘ２－４ｘ３＋３按字母ｘ降幂排列为＿，它是．次＿项式，常数项是＿。 ６．若２，５１３２＝６．３１５，则（－０．２５１３）２＝。 ７．若－３ａｘｂ３－ａ２ｂｙ是同类项，则２ｘ－ｙ＝＿。 ８．如果ｘ＝－３是方程 ２ｘ＋ｋ＝－５的解，则ｋ＝＿。 ９．若 ｘ＝ｘ，则ｘ＿。 １０．若ｘ与ｙ互为相反数，ａ，ｂ互为倒数，且ｍ＝２测（ｘ＋ｙ）＝二、选择题（每小题４分，共２０分）： １…     

双曲线中点弦性质的应用

性质　设Ｐ１、Ｐ２是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１上两点,Ｐ（ｘｐ,ｙｐ）是弦Ｐ１Ｐ２的中点,直线Ｐ１Ｐ２的斜率为ｋ,则有　ｙｐｘｐ·ｋ＝ｂ２ａ２．证明较简单,此处从略．应用此性质来解决有关双曲线中点弦的问题,有简捷明快、出奇制胜之感．本文拟谈谈该性质的应用．１　求中点弦例１　直线ｘ＋ｙ－２＝０被双曲线ｘ２３－ｙ２＝１所截得的弦的中点是．解　设弦的中点为（ｘ０,ｙ０）,则由性质可得ｙ０ｘ０·（－１）＝１３,　∴　ｘ０＋３ｙ０＝０．（１）又点（ｘ０,ｙ０）在直线ｘ＋ｙ－２＝０上,∴　ｘ０＋ｙ０－２＝…     

根式和下界不等式的一种新证法——从一个问题解答谈起

１　问题提出《数学通报》１９９５年第８期问题９６９题：已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,且ａ＋ｂ＋ｃ＝１,求证：３－３＜１－３ａ２＋１－３ｂ２＋１－３ｃ２≤６．已见多文对这类问题上界不等式的解法进行探讨〔１〕～〔４〕,但对其下界却少有研究．我们自然要问：其下界的求解方法可否优化？为便于说明,不妨摘抄原文如下：图１对于函数ｙ＝１－３ｘ２,它的图像是椭圆３ｘ２＋ｙ２＝１（ｘ＞０,ｙ≥０）在第一象限的部分,是凸的．过Ａ（０,１）、Ｂ３３,０的直线方程为ｙ＝１－３ｘ．对于０＜ｘ≤３３,有１－３ｘ２＞１－３ｘ．∴ｕ＝…     

如何求一次函数的最值

一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的基本性质 是： １）它的图象是一条直线、 （２）当ｋ＞０时，ｙ随ｘ的增大而增大；当 ｋ＜０时，ｙ随ｘ的增大而减小 从一次函数的基本性质来看，当自变量 ｘ取全体实数时，它没有最值．但如果自变量 ｘ的取值不是全体实数，那么它可能有最值 因此，解决有关一次函数的最值问题时。关键 是求出自变量ｘ的取值范围，然后用一次函数的性质去处理． 例１ 已知关于 ｘ的方程ｘ２＝２ｘ＋ｋ＝０有实数根ｘ１、ｘ２，且ｙ＝ｘ１３＋ｘ２３，试问：ｙ是否有最大值或最小值？若有，试求出其值；若没有，请说明理由…     

分离变量求参数范围

高中数学中求参变量的取值范围问题越来越常见,但由于这些问题有一定的深度,致使有些学生感到束手无策．但利用分离参数的方法来解决求参数范围问题,往往能够出奇制胜,收到比较好的效果１　求方程中的参变量的取值范围问题１１　如果能将含有字母参数ａ的方程ｆ（ｘ,ａ）＝０分离成ａ＝ｇ（ｘ）,则利用方程ａ＝ｇ（ｘ）有解,ａ在ｇ（ｘ）的值域内,可求ａ的值．例１　已知方程ｘ２＋２ａｘ＋１＝０分别有两个正根,有两个负根,求ａ的取值范围．解　由原方程得２ａｘ＝－（ｘ２＋１）,显然ｘ≠０,所以把变量ａ、ｘ分离,得ａ＝－…     

有关平面直角坐标系、函数概念、一次函数中考题选登

１．如果ａ＞０，ｂ＜０那么点Ｐ（ａ，ｂ）在第象限．（吉林省） ２．点Ｐ（－２，－４）关于ｙ轴的对称点的坐标是＿．（安徽省合肥市） ３．已知Ａ（２，ｙ）与点（ｘ，－３）关于ｘ轴对称，则点Ｐ（ｘ，ｙ）为＿．（湖南省娄底市） ４．已知点Ｐ的坐标是（－３，２）Ｐ’点是Ｐ点关于原点Ｏ的对称点，则Ｐ’点的坐标是（安徽省） ５．函数的自变量ｘ的取值范围是＿（山西省） ６．函数的自变量ｘ的取值范围是＿．（湖南省娄底市） ７．函数ｙ＝中自变量ｘ的取值范围是＿．（河北省石家庄市） ８．直线 ｙ＝１２－３ｘ与ｘ轴交点的横坐标…     

《数的开方》自测题(一)

（满分１００分时间４５分钟）一、判断题（共１０分，每小题２分）１．１的平方根是１．（）２．ａ２的算术平方根是ａ。（）３．０的算术平方根与立方根都是０．（）４．－ａ没有平方根．（）５．一个实数的绝对值一定大于０．（）二、填空题（共３０分，每小题３分）１．｜－１／３｜的平方根是２．的算术平方根是＿．３．如果－ａ，那么ａ的取值范围是．４．已知，则Ｘ＝．５．６立方根等于它本身的实数有。７．的相反数是８的绝对值是．９绝对值最小的实数是．１０数和数轴上的点一一对应．三、单项选择题（共３０分，每小题３分）１．…     

二次根式与非负数

一般地，式子（ａ≥０）叫做二次根式．据此，我们容易知道，二次根式定义中隐含着两个非负数：一个是被开方数ａ，另一个是二次根式的值．对于某些与二次根式有关的问题，如果考虑这两个非负数，常可获得简捷的解答．例１　若，则ｘ的取值范围是（１９９０年山西省初中数学竞赛试题）解　由得即ｘ≤０．又ｘ＋８≥０，ｘ≥－８．故ｘ的取值范围是－８≤ｘ≤０．例２　在实数范围内，代数式｜｜的值为（）（Ａ）１；（Ｂ）２；（Ｃ）３；（Ｄ）以上答案都不对．（１９９５年江苏省初中数学竞赛试题）解　由－（ｘ－４）２≥０，得（ｘ－４）…     

数学模拟练兵题

数学模拟练兵题王明乐一、选择题１．若３＜０，以下各式中为正数的是（）（Ａ）｜ａ｜＋ａ（Ｂ）｜ａ｜－３（Ｃ）ａ｜ａ｜（Ｄ）｜ａ｜／ａ２．ｘ和ｙ为有理数，且（｜ｘ｜－１）２＋（２ｙ＋１）２＝０，那么ｘ＋ｙ的值是（）（Ａ）０．５或ｖ１．５　　　　　　　（Ｂ...     

参考答案与提示

实数与统计初步优化训练①１．（１）２　（２）２（３）１　１／２（４）２　２．（１）Ａ（２）Ｂ（３）Ａ（４）Ａ ３．（１）２　（２）７　３／４课堂训练②１．（１）２（２）±（５－ ２）（３）π－３．１４（４）０．０５７７１　２．（１）Ｄ（２）Ｂ ３．（１）４－２（２）４／３课外训练②１．（１）±２（２）２（３）±（３－ｌ），３－１ （４）６８８００ ２．（１）Ｄ（２）Ｂ ３．（１）由题意知ｘ＝３，ｙ＝ １０， ２ｘ＋ ｙ的平方根是 ±４（２）由题意得ａ－ｂ＝２　ａ－２ｂ＋３＝３ａ＝＝４　ｂ＝２Ａ－Ｂ的平方根…     

因式分解的几种巧解方法

一、巧选主字母例１分解因式ｘ３－ａｘ２－２ａｘ＋ａ２－１．解：这是一个关于ｘ的三次式,不易分解．若选ａ为主字母,则是ａ的二次式,便于分解,原式＝ａ２－（ｘ２＋２ｘ）ａ＋（ｘ３－１）＝（ａ－ｘ＋１）（ａ－ｘ２－ｘ－１）＝（ｘ－ａ－１）（ｘ２＋ｘ－ａ＋１）．二、探求相除法例２分解因式３ｘ３＋２ｘ２＋４ｘ＋５．解：当ｘ＝－１时,原式＝０,因此原式必有因式ｘ＋１,用综合除法可得（３ｘ３＋２ｘ２＋４ｘ＋５）÷（ｘ＋１）＝３ｘ２－ｘ＋５,∴原式＝（ｘ＋１）（３ｘ２－ｘ＋５）．三、待定系数法例３分解因式…