替换定理的一种新证法

借助于坐标矩阵,证明了若无关组{α1,α2,…αγ}可由向量组{β1,β2,…βs}线性表示,那么r≤s,并利用矩阵的初等变换证明了替换定理,同时给出了具体的替换方法.     

一个线性空间命题及其应用

如果线性空间V中的向量组α1,α2,…，αr线性无关，且可以被β1,β2,…，βs线性表出，即（α1,α2,…,αr)=(β1,β1,…,βs)Asxr，则秩A=r。这个命题有巧妙的应用。     

一道三角函数题赏析

已知α、β∈(0,2π),a=(2,sinα),b=(3,sinβ),c=(3,2),d=(cosα,cosβ),a∥b,c·d=3,求2α β的值.这道试题见诸于很多省、市高考模拟卷中,在网上流行盛广.1.基本解法本题主要考查平面向量的运算法则、三角函数公式及恒等变形能力,考查运用向量及三角函数知识综合解题的能力.     

线性方程组理论的一个应用

设V是数域F上的向量空间,{α1,α2,…,αr}与{β1,β2,…,βs）是V的任意两组向量．本文利用线性方程组的理论,给出了计算子空间L（α1,α2,…,αr}∩（β1,β2,…,βs）的基的一般方法．     

一道三角函数求值题的多种解法

三角函数的求值是历年来高考命题的热点,每年都有新题型出现,因此,显得尤为重要.下面是一道常规的三角函数求值问题,从不同的角度去思考,可以得到不同的解法.例设α和β都是锐角,且满足3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求sin(α+2β)的值.分析1:要求sin(α+2β)的值,须先求出sinα、cosα、sin2β、cos2β的值.解法1:由二倍角余弦公式sin2α=1-c2os2α,sin2β=1-c2os2β,可得3·1-c2os2α+1-cos2β=1,即3cos2α+2cos2β=3,所以cos2α=1-32cos2β.①又由已知条件得sin2α=32sin2β.②①2+②2得1=1-43cos2β+94(cos22β+sin22β),即34cos…     

求极大线性无关组的一点体会

设α_1,α_2,…,α_s为一组n维向量,α_i=(a_(i1),a_(i2),…,a_(in))。将矩阵(a_(ij))_(axn)化成阶梯形,如果将运算过程写在矩阵的右边,则由非零向量的个数可决定向量组的秩r,从零向量的个数可得s-r个等式,利用这s-r个等式,则容易解决下面的问题:(1)求向量组的极大线性无关组,其余向量用此极大线性无关组表出。(2)从已知线性无关组出发,扩充为向量组的极大线性无关组。今分述如下:     

向量空间中不同基下坐标间关系的图示法

我们在高等代数的教学过程中,常常发现学生对不同基之间的过渡矩阵及向量关于不同基的坐标变换公式产生模糊认识．例如：当V是F上n维向量空间,向量组{α1,α2,…,αn},{β1,β2,…,βn},是V的两个基且向量,ξ=(i=1)∑^nxiai=∑(i=1)^nyiβi时;学生中常有人会将基     

欧氏空间中的Gram矩阵及其应用

定义:设V是n维欧氏空间,α1,…,αn是V中的向量组,β1,…,βn也是V中的向量组,我们规定:     

从一题多解中看求函数值域的方法技巧

求函数的值域是中学数学中较为重要的题型之一,解决它没有固定的模式,也难以形成思维定势,因此应善于思考,多归纳积累,特别需要掌握常见题型的求函数值域方法,丰富自己的解题经验,下面从一题多解的角度来看求函数值域的方法.解法1:利用三角换元,令x=tanα,α∈(-π2,π2)则y=11-+ttaann22αα=ccooss22αα-+ssiinn22αα=cos2α∵α∈(-π2,π2)∴-π<2α<π∴y∈(-1,1]解法2:利用分离常数进行转化∵y=1-x21+x2=2-1+1-x2x2=1+2x2-1又∵1+x2≥1,∴0<21+x2≤2∴-1相似文献   

欧式空间的一个推广

欧式空间指出:若V是数域F上的一个n维线性空间,α1,α2,…,αn是V的一个基,那么对于V中的任意n个向量β1,β2,…,βn,恰有V的一个线性变换σ,使σ(αi)=βi(i=1,2,…,n);在欧式空间中把它给推广,即在一定的条件下,找到存在一个正交变换σ,使得σ(αi)=βi(i=1,2,…,m)成立的充分必要条件,并给出相关题目的证明。     

课本三角公式的向量新证法

下面以三角中的几个基本公式 (定理 )的证明为例 ,谈谈向量基础知识在解题中的灵活应用 ,望能增添同学们学习向量知识的兴趣 .【例 1】　证明cos(α+β) =cosαcosβ-sinαsinβ .课本上采用解析法证明这一公式 ,学习向量后 ,运用平面向量的数量积 (内积 )证明公式显得十分简单 ,这种灵活运用新知识解决问题的思想方法毫无疑义是符合新教材编写精神的 .证 :在单位圆O中 ,设∠P1 Ox =α ,　∠P2 Ox =-β ,则P1 ,P2 坐标为P1 (cosα ,sinα) ,P2 (cosβ ,sin( -β) ) .即OP1 =(cosα ,sinα) ,　OP2 =(cosβ ,-sinβ) .∵∠P1 OP2 =α …     

对一道三角函数题的思考

一、问题的提出 看这样一个数学问题:若sinαcosβ=1/2,求cosαsinβ的取值范围. 一个典型的错误解法是: 解:因为sin(α+β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)∈[-1,1],sinαcosβ=1/2,所以-3/2≤cosαsinβ≤1/2. 它的错误原因在于找到的约束条件不全面,仅考虑了-1≤sin(α+β)≤1.许多参考书上给出的正确的解法是: 解:因为sin(α+β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)∈[-1,1],sinαcosβ=1/2,所以-3/2≤cosαsinβ≤1/2, 因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=(1-cosαsinβ) ∈[-1,1].     

例说解三角题的方法与技巧

三角函数是高中数学的重要内容,它的题型繁杂,解法多变,为了帮助同学们深刻地理解这部分内容,本文拟例说明简解三角题的方法与技巧,以供同学们学习三角函数时总结、归纳、概括解题方法.一、灵活变角【例1】求csoisn77°°- scions1155°°ssiinn188°°的值.简析:此题常规解法是先积化和差,整理后再和差化积,若灵活变角,即可得到简解.原式=scions((1155°°--88°°)) -csions1155°°ssiinn88°°=csions1155°°ccooss88°°=tan15°=tan(45°-30°)=2-3.【例2】已知2π<β<α<34π,cos(α-β)=1132,sin(α β)=-53,求sin2α的值.简析:将2…     

│a·b│≤│a│·│b│在解题中的应用

向量作为一种工具在解题中的应用极广,巧用公式a·b≤a·b解题,方法新颖、运算简捷.本文举例说明该公式的应用.1在求值中的应用例1若α,β∈(0,π),求满足等式cosα+cosβ-cos(α+β)=23的α,β的值.解原等式可化为(1-cosβ)cosα+sinβsinα=32-cosβ.构造向量a=(1-cosβ,sinβ),b=(cosα,sinα),则a·b=(1-cosβ)2+sin2β·cos2α+sin2α=2-2cosβ,a·b=(1-cosβ)cosα+sinβsinα=32-cosβ.因为(a·b)2≤a2b2,所以(23-cosβ)2≤2-2cosβ,即(cosβ-12)2≤0,所以cosβ=21,β=3π.又α,β地位相同,故α=3π,即α=β=3π.2在求最值和值域中的…     

选择公理建立向量空间公理化定义的几个原则

文献[1]中给出了三个彼此等价的向量空间公理化定义,它们分别选用了八条、七条和六条公理构成向量空间定义的公理系统,依次列出如下:(Ｖ表示向量空间,Ｐ表示数域).定义1中的公理系统选用了如下八条公理:Ⅰ1　α+β=β+α;Ⅰ2　(α+β)+ｒ=α+(β+ｒ);Ⅰ3　Ｖ中存在一个元素,记为Ｏ,它对于任意α∈Ｖ,都有α+Ｏ=α,这个元素Ｏ称为Ｖ的零元素;Ⅰ4　对于Ｖ中每个元素α,Ｖ中都存在一个元素β,使α+β=0,β称为α的负元素;Ⅱ1　1α=α;Ⅱ2　ｋ(ｌα)=(ｋｌ)α;Ⅱ3　(ｋ+ｌ)α=ｋα+ｌβ;Ⅱ4　ｋ(α+β)=ｋα+ｋβ.这里α、β、γ∈Ｖ,ｋ,Ｌ∈Ｐ.…     

赋范线性空间的范数序结构

在赋范线性空间中依据范数确定一类半序关系 ,引入赋范线性空间的范数序概念 ,即α≤β ,是指‖α -β‖ =|‖α‖ -‖β‖ | ,且‖α‖≤‖β‖ .研究赋范线性空间的序结构特征 ,即范数序是由零向量 (最小元 )出发 ,互不相交的全序链构成的 ;非零向量生成的子空间是由其中的两条链组成的 ;处于不同链上的向量要么线性无关 ,要么互为负向量 .     

三角问题的向量解法

对于某些三角问题 ,若能合理地构造向量 ,利用向量来解 ,往往可使问题得到快捷方便地解决 ,下面举例说明 .一、求角度【例 1】　若α、β∈ ( 0 ,2 ) ,求满足cosα+cosβ-cos(α + β) =32 的α ,β的值 .解 :原等式化为( 1 -cosβ)cosα+sinβsinα =32 -cosβ ①构造向量a =( 1 -cosβ ,sinβ) ,b =(cosα ,sinα) ,则a·b =( 1 -cosβ)cosα+sinβsinα=32 -cosβ ,｜a｜·｜b｜= ( 1 -cosβ) 2 +sin2 β· cos2 α+sin2 α= 2 -2cosβ因 (a·b) 2 ≤｜a｜2 ·｜b｜2 ,于是有 ( 32 -cosβ) 2 ≤ 2 -2cosβ整理得 (cosβ-12 ) 2 ≤ 0 ,∴c…     

向量组线性相关性的判断法

在线性代数的学习中,对向量组的线性相关性进行研究,需要学生准确掌握线性相关和线性无关的基本概念,灵活运用有关的定理、结论。对于初学者来说,这部分内容不容易掌握。本文按向量组的不同情形,归纳了向量组线性相关性的一些判断方法。向量组只含一个向量的情形当向量组只含一个向量时,有如下结论:一个向量α线性相关,就是α=0;一个向量α线性无关,就是α≠0。这种情形比较简单。向量组含两个向量的情形当向量组含两个向量时,有如下结论:两个向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例;同时,两个向量线性无关的充分必要条件是它们…     

一道三角题的几何解法

1.一道试题题目已知α、β都是锐角,且3sin2α+2sin2β=1①3sin2α-2sin2β=0②求证:α+2β=(π/2) 这是1978年全国统一高考中的一道试题,已被收录在许多复习资料中,本文以几何出发,给出两种新的解法. 2.几何解法I——利用正弦定理与射影先看条件②式     

柯西不等式的向量形式(高二、高三)

柯西不等式 设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn均是实数,则有 (a1b1 a2b2 … anbn)2 ≤(a12 a22 … an2)(b12 b22 … bn2)等号当且仅当ai=λbi(λ为常数,i=1,2,…,n)时成立. 向量形式 设n维向量α(a1,a2,…,an),β(b1,b2,…,bn),则有 α·β≤|α|·|β|,当且仅当α∥β时取等号. 推论1 设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn均是实数,则有(a12 a22 … an2)~(1/2) (b12 b22 … bn2)~(1/2)