一个极其重要的基本图形

新版统编教材《几何》第二册第233页有这样一道题:已知,△ABC中,P是边AB上的一点,连结CP。 (1)当∠ACP满足什么条件时,△ACP∽△ABC。     

对一个例题的解的补充

初中《几何》第二册P35的例3,是一道很有启发性的典型例题,它引导学生怎样去探索问题,在教学中值得师生共同探讨研究。已知△ABC,P是AB上一点,连结CP,满足什么条件时,△ACP与△ABC相似,课本上给出了三个条件:当∠1=∠B,或∠2=∠ACB,或AC~2=AB·AP时,△ACP∽△ABC。事实上,若满足AP/CP=AC/BC时,仍有△ACP∽△ABC,证明如下:     

由一道习题得出一个重要结论

如图1,已知△ABC,P是边AB上的一点,连结CP,当△ACP满足什么条件时,△ACP∽△ABC?图1分析:∵∠A=∠A∴当∠ACP=∠ABC时,△ACP∽△ABC·于是AACB=AACP=CPBC·注意比例式AACP=CPCB中的四条线段,其中AP与AC是△ACP的∠1与∠2的对边,PC与CB是△PBC的∠3与∠4的对边,而∠1=∠3,∠2 ∠     

错在哪里

题 已知:如图∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b,当BD与a、b之间满足怎样的关系时,△ABC∽△CDB? (《几何》第二册第231页例4) 解 ∵∠ABC=∠CDB=90°, ∴ 当AC/BC=BC/BD时,△ABC∽△CDB。 即 a/b=b/BD,BD=b~2/a。 答:当BD=b~2/a时,△ABC∽△CDB。     

一个容易被人忽视的问题

初中几何第二册（人民教育出版社出版,1989年12月第二版）第35页中的例3,其内容如下: 已知△ABC,P是AB上的一点,连结CP,满足什么条件时,△ACP与△ABC相似（分析略） 解     

探索条件一图多变

怎样学习平行四边形及特殊平行四边形?根据新课程改革的理念要求,笔者认为:教者要精选习题,认真钻研教材,学者要精做习题,融会贯通.下面就以一道典型的几何题为例,加深对平行四边形和特殊平行四边形的理解与识别.题目:已知:如图,以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD,△BCE,△ACF.请回答下列问题(不要证明)1.四边形ADEF是什么四边形.2.当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形.3.当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF菱形.4.当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是正方形5.当△ABC满足什么条件时,以A、D、E…     

“变”字当关,乐在其中——一道中考题的拓展思考

(2006·辽宁锦州)点P是△ABC中AB边上的一点,过P作直线(不与直线AB重合) 截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线最多有____条. 解析:画任意△ABC(三边互不相等,无直角),如图. 若以∠A为公共角,可画△APE～△ABC,△APF∽△ACB; 若以∠B为公共角,可画△BPG～△BAC,△BPH～△BCA; 所以满足题目条件的直线最多有4条. 拓展变式: 特殊化思考:如果△ABC是特殊三角形呢?     

2003年3月号“211杯”初中三角形与相似形知识竞赛答案

一、１．７＜AC＜１７２．８１°３．（６√－２）∶２４．等边５．１∶６二、６．C７．B８．A９．C１０．A三、提示：由S△ABP＋S△ACP＝S△ABC易证得PD＋PE＝CF．当P在BC延长线上时，由S△ABP－S△ACP＝S△ABC易证得PD－PE＝CF．四、提示：易证得△PAB∽△P'BC∽△QCD∽△Q'DE∽△REF∽△R'FA和S△PAB＋S△QCD＋S△REF＝S△P'BC＋S△Q'DE＋S△R'FA，再结合相似三角形的性质和等比定理可证得结论．2003年3月号“211杯”初中三角形与相似形知识竞赛答案…     

一个图形的性质及应用

本文提出一个常见几何图形的几个特殊性质,并通过若干典型例子说明其应用。 如图,P为△ABC中BC边上一点,PE∥BA,PF∥CA。设当i=1,2,3时,C_i(S_i,R_i,r_i)分别表示△ABC,△FBP,△EPC B的周长（面积,外接圆的半径,内切圆的半径）。S＇表示□AFPE的面积。 显然△ABC∽△FBP,△ABC∽△EPC,分别记其相似比为λ_1,λ_2。则有:     

平行四边形探索题例析

探索型试题在中考试题中非常普遍,它有利于考查同学们分析问题、解决问题的能力,也有利于培养同学们的探索精神,这也是新课标所提出的教学目标之一.在此以平行四边形探索题为例进行分析说明,供大家参考.图1例1如图1,在△ABC中,D为BC边上的一动点(D点不与B,C两点重合),DE∥AC交AB于E点,DF∥AB交AC于F点.(1)试探索AD满足什么条件时,四边形AEDF为菱形,并加以证明.(2)在(1)的条件下,△ABC满足什么条件时,四边形AEDF为正方形?分析(1)由已知条件DE∥AC,DF∥AB易知四边形AEDF是平行四边形,接下来需要思考,什么样的平行四边形是…     

相似三角形创新题赏析

<正>近几年随着课程改革的进一步推进,在有关相似三角形的考题中出现了不少新题型,命题者往往给出一些新情境,设置一些新问题,以考查学生的应变能力和创新能力.下面让我们一同来体会这类创新试题带来的新感受.一、开放题,活用方法例1 如图1,已知△ABC,P为AB上一点,连结CP,添加一个条件,使△ACP∽△ABC.     

三角形中一个不等式的应用

命题:△ABC的外接圆半径R与内切圆半径间成立不等式:R≥2r。证:(见原文图)过△ABC的顶点作对边的平行线,三直线围成△A′B′C′,则△ABC∽△A′B′C′,K=AB/A′B′=1/2。作外接圆的三条切线,分别平行于△A′B′C′的三边,围成△A″B″C″,(使△ABC的外接圆在为△A″B″C″的内切圆),△ABC∽△A″B″C″、     

“母子三角形”帮你解题

人教版《几何》第二册第226页的例2:已知;Rt△ABC中,CD是斜边上的高,求证:△ABC∽△CBD∽△ACD(如图1). 在这个图形中,大三角形套小三角形,     

一道三角形内接矩形问题的变式探究

<正>一、例题呈现及一般结论例1如图1,在等腰△ABC中,底边BC=60cm,高AD=40cm,四边形PQRS是正方形.(1)△ASR与△ABC相似吗?为什么?(2)求正方形PQRS的边长.解∵四边形PQRS是正方形,所以SR//BC,∴∠ASR=∠ABC,∠ARS=∠ACB. ∴△ASR∽△ABC.可得AE/AD=SR/BC.设正方形的边长为x cm,则AE=(40-     

关注基本图形 重视基本方法——对一道中考试题的分析与思考

<正>笔者有幸参与南京市2015中考数学网上阅卷,对其中第20题有些感触.现结合阅卷过程中的具体情况,谈几点想法,与同行交流.一、试题综述题目如图1,△ABC中,CD是AB边上的高,且AD/CD=CD/BD.(1)求证:△ACD∽△CBD;(2)求∠ACB的大小.     

Neuberg-Dedoe不等式推广的向量证明

设欧氏平面上△iiiABC三边长为iiiabc,面积为(1,2)iiD=.Neuberg曾提出如下一个猜想: 222222111()Habca - 22222111()bcab - 2222211112()16cabc -DD, (1) 等号成立当且仅当△111ABC∽△222ABC. D.Pedoe率先证明了不等式(1)成立[1],不等式(1)即为著名的Neuberg-Pedoe不等式.文献[2]中给出Neuberg-Pedoe不等式(1)的加强推广,得到下面更强的不等式: 22121221216[()3HababDD - 2212211221()()]acacbcbc- -, (2) 等号成立当且仅当△111ABC∽△222ABC. 下面应用向量代数方法给出不等式(2)一个极其简单的证明. 在平面直角坐标系下…     

2001年我爱数学初中生夏令营数学竞赛

第一试一、( 50分 )在锐角△ABC中 ,AD⊥BC ,D为垂足 ,DE⊥AC ,E为垂足 ,DF⊥AB ,F为垂足 .O为△ABC的外心 .求证 :( 1 )△AEF∽△ABC ;( 2 )AO⊥EF .二、( 50分 )给定代数式 -x3 +1 0 0x2 +x中的字母x只允许在正整数范围内取值 .当这个代数式的值达到最大值时 ,x的值等于多少 ?并证明你的结论     

由一道例题发掘的图形性质及其应用

平面几何教材第二册5.5节例1为: “如图(A)AD是△ABC的高,AE是该三角形的外接圆直径.求证:△ADC∽△ABE.”     

旋转相似巧构图 导角导边妙突破——由2020武汉中考数学第23题引发的反思

相似三角形的综合运用始终是初中数学中考的热点和难点.近期初三期末复习中,出现2020年武汉中考数学试卷中的第23题,通过阅卷分析,其中第(3)小题学生得分率接近为零.学生觉得不容易上手,难以找到解题思路.教师讲授时也感觉难以讲透彻,教学效果不明显.原题如下:1原题呈现(2020武汉试题23题)问题背景:如图(1),已知△ABC∽△ADE,求证:△ABD∽△ACE.     

第42届IMO第五题的推广

第 42届IMO第五题是 :在△ABC中 ,AP平分∠BAC ,交BC于P ,BQ平分∠ABC ,交CA于Q .已知∠BAC =60° ,且AB +BP =AQ +QB .问△ABC各角的度数的可能值是多少 ?先求解 ,再给出更一般的结论 .图 1解 :如图 1,在AB的延长线上取点D ,使得BD =BP ;在AQ的延长线上取点E ,使得QE =QB .连结PD、PE ,则AD =AB +BP =AQ +QB =AE ,且　△ADP∽△AEP .故∠AEP =∠ADP =12 ∠ABC =∠QBC ,即　∠QEP =∠QBP .下面的证明中要用到如下的引理 .引理　等腰△ABC中 ,AB =AC ,平面内一点P满足∠ABP =∠ACP ,则点P在BC的…