整点三角形的最小面积

定理在整点△A方C中.若已知顶点月行,,yl),方行2·yZ).则其面积最小位为告(/夕一:·,?一,,)·这里·(了2一:·,·:一yl)表示二2一r:.yZ一y:的最小正公约数.(乙·y,,一r:·、:皆为整数).(下转封三)(上接第19页) 证明设第三顶点为C(x,刃,(x,y为整数), xZ一xl~a(xZ一x,,yZ一yl), 为一yl一b(xZ一x,,yZ一yl),则 (a,b)=1.又直线AB的方程为 (夕2一夕:)(x一xl)一(xZ一x,)(夕一夕.) ~0.一(1)AB边上的高为 h‘一资}(夕:一夕1)(x一xl)(x2一x,)落y一y,) 1一二丁又X,一Xl, 乙少2一夕,){a(x(y:一少1)(x一x,)一(xZ一xl)(y一y,)(xZ一x:)2+(夕2一夕;)…     

第五届全国部分省、市初中数学通讯赛试题及解答

一、填空题1.分母有理化:5.必}}望,AC=且D=DE=EA二BD3十2训丁一v丁一、/万乙BDC=28。,止ADB=421 侧丁一了丁则乙B刀C 2.设a,乙是整数,有一个根是了7一4侧丁,方程x“一*ax b=0则a 石二_. 3.分解因式:xZ P口(P g)(P一口)=_ 4.已知191.4=a,一(P“ 92)x1 93。5=b,则1 976.把(x“一x 1)6展开后得a;:x’2二1,上a;,x’‘十…于a:x“ a,x 口。,则a,:一夕冈十as片一a匕 a4十a一 a。= 7.在正方形ABCD中,E在BC上,BE=2,CE二1,尸在BD上,则P刃和尸C的长度之和最小可达到___. A__._一D五F=2,则矩形ABCD的面积是((A)吸C、4了丁.(D (B)3…     

巧构数列 妙解赛题(高二、高三)

1.构造等差中项 例1若(x 了xZ 1)(夕十侧夕2 1)=l,求证x y一0.(第31届西班牙数学奥赛) 证明令x y二Za,视a为x,y的等差中项,则可设x一a一d,y一a d.因为(x 丫护 l)(y 丫少 l)一1,最大值为2涯,最小值为2. 3.构造等比数列【}q}<1)的各项和 例3已知x,y都在区间(一2,2)内,且xy _.49.,,二L。-一l,则u“一十二--下的最小值是() 4一x乙’9一y乙’,一’一一‘12一5 D12一7 C7一n Bco一5 A所以x构辱再万~ ly十丫yZ十1~了少 1一y,(03年全国联赛)x2即x十y一了少 1一了xZ 1.解由x,y任(一2,2),得琴,答任(0,1) 任沙两端平方整理得1一xy一了(x“十1)(少 1…     

数学单元自测题(一)

一、填空题1.等式(a+b)2一aZ+犷成立的条件是2.若“2+ma+9是一个完全平方式,3.化简(1+从)’一(l一m)2=则m-4·设nZ+n=8,mn一15,则mZ+mn+nZ的值是_.5.计算20022一4004 X 2003+20032=6.计算2003 X 2001一2002,=7.已知尸一少一6,且x+y一3,则3x一Zy的值为_ 1。.,,_。二,.,、。,,一。8·设“一b一言,“艺十夕一1,贝肛“十b)‘的值是—· 9.设a+b+。=7,a“+b,+cZ=11,则ab十bc+ea= 10.若2s+2’“+2”为完全平方数,则n~_· 二、选择题 1.下列计算错误的是() A .aZ一9b2=(a十3b)(a一3b)B.(x十2)2=xZ+4x+4 C.(x一l)(x+1)=xZ+1 D.(x一1),=xZ一Zx…     

多变的分式求值题(初二、初三)

分式求值是常见题型,它们变化多,不易掌握.这里给出几种常用的方法,供同学们参考. 1.平方法所以P一2,故p一2_q一3例1一,1白劳p一一}a _,_.,、山,,1一1,那公代畏义入一十4.整体代入例4已知xZ一sx一2000一0,a}的值为(*(x一2)3一(x一1)2十1,二,二本—四生巴。 、不—乙(A)誓.(B卜誓.(c卜二.(D)二.解(”年初数竞).、。,二、曰__11_.*。,‘故研田‘六“叫,寸“’万’I,t’们P足止狱’ (00年河北初数竟)由xZ一sx一2000=0,得 xZ一sx=2000. (x一2)3一(x一1)2十l x一2所以(告一}。一丫一;,粤+一。}2一3,一(x一2)2一(x一l)2一1 x一2可得(告+}5,所…     

求代数式值的几种常用方法

.1...J一、代入法代入计算是求代数式位的呆常用的方解:原式一l(a l))2一4a乡(a一b)2 4abL(a一b)a 乙 一一飞....J法,一般都是化简后,再代入求值=将求(a 乙)(a一乙)=aZ a一b(a b)2a一乃一一bZ卜例1已知创53,,4a乡\z、“一”十不侧_气“十占一刀 了5a=二2乙二一粤代入 ‘即求得原式的值飞7P qi一夕 一i一户为1. 有时利用分母有理化,往往可以简化运算过程. 例2已知:解:由_卫几很夕士旦- P十q”P qP=1’“F工十万一万-1“1,.工_生以二七q二=这里土玉迄_,. 亿3一了2’,’‘ xZ十xxZ一4x一5的值。(层一 韵’一(备一韵’十4一5.及十卫二士了…     

圆锥曲线方程相减的特殊结果应用

为了说明题目的含义,首先看例: 例已知直线l:y~1一x与椭圆a扩十勿2一1相交于A、B两点,若过原点与线段AB二‘一‘一一‘。、、、,_了丁阴甲息俐且城科华刀-下- 乙,求粤的值, U 照常规,此题一般是用韦达定理求解。但见下面的解法: 解:设A(x,,夕1),B行2刁2)则有同理:!C尸一晋厅yZ一2厅}B“一鲁厅x6一2厅一3厅·由题意:!AF}十{CF}~2!BFI冷:yl十yZ一12.①②a对 石少圣=1ax鑫 妙呈~l馨②一①得’ {丝一兰证明:(2)由题意{‘营‘忿 {匹一亚 t 12 13 a(x:一x,)(xl xZ) b(夕:一夕1)(夕; 少2)=0,②一①。(少:一少:)(y, 夕2) 12(x:一xl)(x; xZ) …     

数学分层优化设计(二)——北师大版七年级(下)第一章 同底数幂的除法、平方差公式、完全平方公式、整式乘法

A〔夯实基础测评〕一、填空题l.(一1一3x)·()一1一9x2.2.(a一b)2 -一(a b) 2.3.扩 IOx __一(x _)’.4.a“ 护一(a十b)2一、(a一b)“干5.(0.1, —)2一二2十Zx 6.(xZ·x”)于二2,l-.7一次“令(一功)2~.8.若 (x一2)。有意义,则二、的取值为_._,1、_。9.(令)一乙--一‘3‘—.10.已知矛一‘三1,则士*:.-二、选择题ll.下列计算题ha能用平方差公式的是A.(x一Zy)(x十y)B.(n m)(一m一n)C.(2x十3)(3二一2)D.(一a一Zb)(一a十2b)12一aZ一护十Zab等于A.(a一b冲B.一(a一b) ZQ一伍 b)213,利用公式计算(a 阮)2,应等于A.aZ Zabc bcZB.矿 犷cZC.矿 …     

数学问题解答(选译自(苏)初等数学习题集)

1.指出,对于任意自然数n,有将以上不等式相加,得典一琦一琴 …*-2‘3‘1厂<旦卫 ll1 .11二1/‘1砰十乎十班十“’十平火1一万=n一1111 一一证明,因为<共 1.乙 1一丁’所以22 l,1-二歹一峨几、又一万O一乙.j万一万’琴灯一工4‘’3一414’岁·矗·扣…乒<宁一2.化简、‘X ·,‘XZ 一)…(xZn一‘ 。2“一‘),.一八Q若x年a,则(x、a)(xZ a“)1,1吸、牙甲一.下二一一二 气fi一1少1111n一In·…了Zn一‘2’‘一‘、 \X a/犷 /Zn一‘2飞一’、(x一a)(x a)(x乙 a‘)…\x、a/_(xZ一a“)(x“ a“)(x名 a弓)…/2九一‘2几一‘\、·x a/X一aX一a,…     

一个条件恒等式的应用

若a+b+c二0,则减 a3+占3+。3=3a阮(,) (‘)式的证明很简单.下面举例说明(二)式的神奇作用,或许对你有所启发. 了一、分解因式 例1分解因式:(xZ一3x+2)3+(尸-sx+6)3一8(xZ一4x+4)3. 解因(xZ一3x+2)+(xZ一sx+6)一2(xZ一4x+4)=0. 直接运用(二)式得: 原式=一6(xz一3x+2)(xz一sx+6)(xz一4x十4) =一6(x一1)(x一2)(x一2)(x一3)(x一2)2 =一6(x一1)(工一3)(x一2)4. 二、求值 例2已知3(a一6)+乃(6一。)+。一。=0(a笋b),求(a一占)2的值.解由已知得3(a一占)+招(占一。)+(。一a)=0,①(a一b)十(b一。)+《c一a)声0.②刀之n二二二6琳十儿二5mn 或2,3;一一…     

2004年9月号“数学潜能系列知识竞赛(2)”答案

1。AZ。D3。C4。CS。D6一17 7.0 8.(x一3少 2Z)2 9.3 10一(2叶b)(。 3b)11.‘:(xs十犷)一(x乍十砂产)二4(x沙卜尸(二叮)=(二一少)(二七少4)=(、,)2(x灯)(xZ十,2),又‘:x>O,y>O, ‘十少>O·又(二一)2妻0,xZ十少2>0,…(xs y5)一(二兮十”产))0·即护子孙x兮十%,片,当x=y时取等号.12.由已知得x一2二兰,从而”￡K二色,同理叮=王二兰 Z一多_,名X二—,二二劣一少万一无y.‘二式相乘即得13.略2004年9月号“数学潜能系列知识竞赛(2)”答案…     

补形,引出巧解(初二、初三)

1.补成直角三角形 图形中含有45“、60。等特殊角的图形常补形成直角三角形,再用直角三角形性质解之. 例1如图1,正方形五〔DE和ABFG的边长分别为2a,。,连结cE和cG,则图中阴G影部分的面积是_.月(04年第15届“希望杯”初二1试) 解连结旦子,显然 /(,EC~90“,旦子一涯a,伍一2在a,故S阴影~S△姗一S△那F一合又涯。xZ涯一合砂 3,一万“一和△八EF,如图3.连结(万、CF.因为匕FAC~600,AF一月C,所以△AFC是正三角形,匕AFC一60。,故(下~(姚泊D一BC一EF.因为匕月AC一200,AB一AC,所以匕ABC~800.又乙八FE二乙ABC~800,所以乙(下E=200,…     

江苏省苏州中学初二(上)数学期终考试试题

时间:90分,满分:100分一、填空题(每小题3分,共27分)当x时,分式xZ一1xZ一Zx一3的值为。;当二满足时,分式一xZ1一x的值一定为负数.2.如图,两个三角形全等.其中某些边的长度及某些角的度 数已知,则x一 介、工丫立一导么E (第2题)丫万的平方根是(第5题)4.已知x- 31一一了,y一 “1一生,用x的代数式表示y~如图,△ABC中,乙A一交于点F,DE过点F且一3 cm,则乙BF(少~50a,乙ABC和匕ACB的平分线DE// BC,已知B刀一4cm,CE刀君~1 .1辛与叫二万十万一口,xy- 沈y在△ABC中,艺A一b,则(x+y)2一550,匕C一艺B一250,则乙C一8.等腰三角形的周长为12,…     

几个代数不等式的推广

文【l]给出:若x,yeR,且x y二1,则(1)二十,,一, ,、寻; __2l八、泣二I乙)一一一一一一又十、一,_」L__乙 芯丁y ,2xZ十y=~丈石 x y‘扩xZ十y23’中学数学研究加06年第6期(3)x 少 丸一为 丸,4飞百·如果改变上面的条件,便得到以下推广. 定理1若x,y〔R,且x十y=a(a任R),则 (1)ax ,,一x, 。、晋a,; ,,2 (2)翁·瑞一翁 广石)晋;鸭不蒸芍证明(1)由已知得(3)口丈乙盯十少十不翌一= x‘十ay一卫业二二十子兰一ax十y‘x‘ ayaZ·(么二),一身X,十冬X愁一象丹 二x3 ‘_舫 熟(。一x.) ·x; a、_粉￡ axj一x3.因此X; 。‘_粉!·a, axj一对一(xj一号)…     

一元二次方程

矗基础篇矗课时一一元二次方程及其解法了万.+2,x2一v/范一一2.竺64诊断练习一、填空题1.方程扩一4x=o的根是2.若分式xZ一x一6 x一3的值为。,则x二=0.二0,二0 3.已知2是关于x根,则668a+1=_ 二、选择题的方程音XZ一2。一0的一个四、(x+韧一静从一奋n疑难解析例1解方程(xZ一x一l)(xZ一x一3)十1解:(扩一x)z一4(扩一x)+4(xZ一x一2)2~0,xZ一x一2xl-一1,xZ二2.1.下列方程中是一元二次方程的是( -一_、。1又八)zx十1=U.气”,厂~诬 (C)扩+y=0.(D)(l一x)2~4. 2.关于x的方程(mZ一l)扩+3x一1“o是一元二次方程,则一定有(飞 (A)m笋1.(B)m笋一1. (C…     

巧用字母妙解题

.化简求值所以a十1 27a 1 > 27a l 272a l例1化简解比压在 万原式-丫丁豆十了冗百 护而十护丽一x酒一y石一:，则x y即272000 1_27200， 1云丽砚丙户乏而不丙·x Zy xyZ xz yz _工 y一(x y)(xy z) 1 xy z l杯 拓一杯一杯.例2已知(x 刃，(y z)，(z十x)一4:6:8，求x:y:z的值.解设x y一4t，y z~6t，z 二一8t，以上三式相加，得x y z一gt. 3.分解因式例5分解因式: x‘十2006x2十2005x 2006.解设2006=a，则2005一a一1，原式一了 二“ (a一1)x a ~(x‘一x) a(x“ x l)一(xZ x 1)(x“一x a) =(xZ十x l)(xZ一x 2006). 4.解方程(组)例6解方程:所以即…     

04年河北省初中数学竞赛预赛试题(初二、初三)

1_计笠—止1一一一-二一一亘一—二放,从上拄下依次为第1层、第2层、第3层、.,’. 一(。一b)(。一。)’(b一c)(b一a)’则第2004层正方体的个数是()万丁丽不二丽的结果是()(A)2009010·(B)2005000. (C)2007005.(D)2004. 2a/一、2b二--一一’一,一1 (A)万二拭汾二下.(B)二二节炭一.7.当x~2,;一8时, 又a一b)(a一c)一’一’(a一b)(b一c)’‘’=山一‘’少一u”,’ …、2。_、_/。.。1。./,.。.1。 (娜万二二二不王二二万;.(D)。.心护十x‘y十丁xy乙叔/厂十xy之十于护y (a一c)(b一c)‘、一一”V“’4一J”了‘一了’4‘了 2.已知四边形四条边…     

整体思想用于“希望杯”赛题(初一、初二)

例1若护一x一1一O,则一护十Zx 2002 一.(第13届02年“希望杯”初二) 分析一般解法是先求出x的值后,再代人 计算,比较繁琐.如果由护一x一1一。得护一x 一1,再将所求代数式变形后整体代入就比较简 捷T. 解因为护一x一1一O, 所以护一x二1. 即一x3 Zx十2002 -一x3十xZ一xZ x x十2002 一一x(xZ一x)一(xZ一x) x 2002 -一x一1十x十2002 =2001. 说明:若用多项式除法可知 一x3 Zx 2002 一(xZ一x一1)(一x一1)十2001=2001. 例2若代数式2砂一3a 4的值为6,则代 ”二2 数式于护一a一l- 一一、3一一-—’ (第15届04年“希望杯”初一) 分析观察二次项与…     

湖北卷 数学(理工类)

一、选择厄:本大小题共12小题,每小题5分,共印分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(l)与直线2二一y+4二o平行的抛物线y二二2的切线方程是(A)Zx一少+3=0(B)Zx一了一3=o(C)Zx一少+l二O(D)Zx一了一l=0(2)复数(一1+乃i)5 l+招i的值是(A)一16(B)16‘,,已知式狱)=,、X 1十X~(C卜早气 l十X一(c)一音(n)告一宁il一xZ1+xZ,则f(x)的解析式可能为(B)-乒气 1+X一(n)一下华下 i十X一(4)已知a,b,。为非零的平面向量,甲:a’b二a’。,乙:b二。,则(A)甲是乙的充分条件但不是必要条件(B)甲是乙的必要条件但不是充分条件(C)甲是…     

用两组等价关系求参数范围(高一、高二、高三)

有以下两组等价关系: 1.若mf(x)恒成立.a)n; (2)af(x)恒成立#a>f(x)。a二一n; (2)a相似文献