也谈一道数学竞赛题

本刊1993年12期《从一道全国高中联赛题谈起》[1]一文，谈到了1992年的一道赛题：设A_1A_2A_3A_4为◎O的内接四边形，H_1、H_2、H_3、H_4依次为△A_2A_3A_4、△A_3A_4A_1、△A_4A_1A_2、△A_1A_2A_3的垂心，求证：H_1、H_2H_3、H_4在同一圆周上，并定出该圆的位置。文［1］中此题证明的思路是：首先证得四边形H_1H_2H_3H_4≌四边形A_1A_2A_3A_4，这一结论揭示了两个四边形的关系．我们想到如果把垂心改为重心，是否有类似关系？三个四边形有什么内在联系？笔者通过深入研究，终于发现有下面重要结论。若A_1A_2A_3A_4内接于◎…     

一道奥林匹克数学竞赛题

在匈牙利举行的第六届国际数学教育会议上,我与一位澳洲友人谈及他们刚主办了的第廿九届国际奥林匹克数学竞赛,他说其中一道题目貌虽简单,却连大学里好些数论专家也没能马上解答,反是参赛学子解得该题者大不乏人,可云后生可畏!我既非“后生”,又非数论专家,自是属于没能马上解答的一群了。不过,在往复探索的过程中,除了亲尝那份从未知到理解的乐趣以外,我还觉得这段过程有点教育意义,拿来谈谈,或可引起同行们的兴味。     

一道数学竞赛题的启示

一、问题如图(1),△ABC 的∠A=45°,∠B=30° D在AB上,直线DE将△ABC分成面积相等的两块(注:这图可能不确切;E也许是在CB上,而不是在AC上)。则比AD/AB是( )。 (A)1/2~(1/2); (B)2/(2+2~(1/2)); (C)1/3~(1/2); (D)1/6~(1/3); (E)1/(12)~(1/4)。(第38届美国中学数学竞赛试题第30题)。     

一道数学竞赛题的解法

2006年全国初中数学竞赛预赛暨2005年山东省初中数学竞赛刚刚结束，其中第13题是这样的：     

小议一道初中数学竞赛题

一个偶然的机会,我看到了这样一道初中数学竞赛题: 如图1,以Ai表示∠Ai(i=1,2…,12),则 (A1-A2+A3)+(A4-A5+A6)+(A7-A8+A9)+(A10-A11+A12)=_____(度).     

一道数学竞赛题的推广

1987年上海市中学生数学竞赛中有这样一道试题:[1] 正七边形A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7,内接于单位圆⊙O中,P在OA_1的延长线上,且|OP|=2,则|PA_1|·|PA_2|…|PA_7|等于多少? 下面我们把这道富于思考性的试题推广成: 定理设正n边形A_1A_2A_3…A_n内接于圆x~2+y~2=R~2,P(rcosθ,rsinθ)为平面上任意一点,则|PA_2|·|PA_2|·…·|PA_n|=(r~(2n)-2r~nR~ncosnθ+R~(2n))~(1/2)。     

从一道数学竞赛题谈起

第十届国际奥林匹克数学竞赛有这样一道试题: 证明:任意一个四面体总有一个顶点,由这个顶点出发的三条棱可以构成一个三角形的三边。我们利用反证法来证明这个命题。设四面体ABCD中AB是最长的棱。如果任意一个顶点出发的三条棱都不能构成一个三角形,则对由A出发的三条棱,有AB≥AC±AD;又对由B出发的三条棱,有BA≥BC BD,两式相加得2AB≥AC AD BC BD (1)但在△ABC中,AB相似文献   

从一道数学竞赛题谈一题多解

<正>一题多解是指从不同的角度,运用不同的思维方式来解决同一道题的思考方法。在高中数学解题过程中,我们不但要熟练掌握常见题型的常规解法,而且还应该尝试用不同的方法去解同一道题,也就是我们常说的一题多解。本文就从一道数学竞赛题来谈谈一题多解,体验一题多解的妙趣。     

从一道数学竞赛题谈起

数学竞赛的关键在于命题,命题的关键在于创新。数学竞赛中一条重要的命题途径就是改造成题,推陈出新。怎样借鉴成题进行改造?在改造过程中又应怎样创新?让我们从一道数学竞赛题谈起。 命题1 设N是等边△ABC外接圆上的任意一点,则在AN、BN、CN三条线段中,必有一条线段是另两条线段之和。 这是波兰第六届数学竞赛试题,由托勒密定理立得如下结论:     

一道数学竞赛题的推广

原题设f（x）=4x/4x＋2,求和：f（1/1001）＋f（2/1001）＋…＋f（1000/1001）。（1986年全国高中数学联赛试题）     

一道数学竞赛题的讲评

一九八三年全国省、市、自治区联合数孕竞赛中有这样一个选译题: 已知函数厂(x)二ax’一满足一4(八l)(一l,一1成f(2)镇5,那么八3)应满足(A)7(f(3)(26,(B)一4(f(3)(15;(C)一1提八3)(20;‘D,一警“(‘)簇警. 竞赛结束之后,不少学生及老师在争论亥题的几种解法,在此特作如下讲评,愿与同行们共同探讨. 一、题目的分析 这种类型的题目的凉意是:对于一切满足一4《f(l)《一:,一1(f(2)《5的a、r,了(3)的变动范围应是多少.但是由于题目用了“应满足”三个字,欢使能包含八3)变化范围的任何一个集合均可以作为问题的解.所以,考前临时改选择支(A)为7《…     

一道数学竞赛题的解法

2006年全国初中数学竞赛预赛暨2005年山东省初中数学竞赛刚刚结束,其中第13题是这样的:如图1,△ABC中,AB=1,AC=2,D是BC的中点,AE平分∠BAC交BC于E,且DF∥AE,求CF的长.在参考解答中.提供了以下的解答方法:解如图2,过E分别作EH⊥AB,交AB于H,EG⊥AC,交AC于点G,因AE平分∠BAC,所以有EH=EG,从而有CBEE=SS△△AACBEE=AACB=21,又由DF∥AE,得CFCA=CCED=21·CBEC·21·BEC+ECE=12BECE+1=2112+1=43.所以CF=43×CA=43×2=23.图1图2在阅卷的过程中,我发现学生还有不同的解答方法:方法1如图3,过点D作DM∥AB交AC…     

巧解一道数学竞赛题

1985年初中数学联赛有这样一个填空题:有甲、乙、丙三种货物。若购甲3件,乙7件,丙1件,共需3.15元。若购甲4件,乙10件,丙1件,共需4.20元,现在购甲、乙、丙各1件共需____元。此题解法颇多,笔者这里给出一种十分巧妙的解法。设甲、乙、丙单价分别为x、y、z元,各买其一共需a元,则可列方程组计算易知该方程组的系数行列式等于零,又据题意该方程组有解,所以依据线性方程理论必有     

一道数学竞赛题的推广

本文以复数为工具推导了圆内接四边形的一些性质。     

一道数学竞赛题的推广

一九八七年全国初中数学联赛第一试选择题第2小题: 在一条直线上已知四个不同的点,依次是A、B、C、D,那么到A、B、C、D的距离之和最小的点。 (A)可以是直线AD外的某一点; (B)只是B点或C点; (C)只是线段AD的中点; (D)有无数多个点。推广一:设A_1、A_2、…,A_n(n∈N)依次为直线l上的n个点,求点P使P到A_1、A_2,…,A_n的距离之和最小,即 PA_1 PA_2 … PA_n最小。分析:要确定P点的位置,分两步考虑:第一,P点在直线l上,还是在直线l外?第二,P点若在直线l上,则应在什么位置?很容易证明:P点一定在l上,否则,假设P     

一道数学竞赛题的解法

第六届初中“祖冲之杯”数学邀请赛试题中第二题的第1题是: 计算:1+(1/1+2)+(1/1+2+3)+(1/1+2+3+4)+…+(1/1+2+3+…+100) 这类题直接计算难以奏效,我们借助下面的公式可得简便