高考“压轴题”课本“寻根”

题目已知a是给定的实常数,设函数f（x）=（x-a）^2（x＋b）e^x,b∈R,x=a是f（x）的一个极大值点．     

“源”于“疑惑”,“晓”于“探索”——对一个问题的探索历程

1 问题的提出 已知f（x）=ax2 ＋bx＋c（a≠0）,且方程f（x）=x无实数解,下列命题：①方程f[f（x）]=x也一定没有实数解;②若a＞0,则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立;③若a＜0,则必存在实数x0,使f[f（x0）]＞x0;④若a＋b＋c=0,则不等式f[f（x）]＜x对一切实数x都成立.正确命题的序号是____.本题是高三数学模拟试卷中的一道填空题,讲评课时,一位学生作了如下阐述：2疑惑：对问题的初步思考及质疑2.1对问题的初步思考     

是“巧合”而非“巧解”的教学反思

在平时课堂教学中,常常会遇到一些很巧妙的解法.问题结果正确,解题过程流畅,给人以简洁美的享受,但有些解法纯属巧合,其间隐藏着一些意想不到的错误.1 案例题1 已知a∈R,函数f（x）=sin x-｜a｜为奇函数,则a=（）.（A）0 （B）1 （C）-1 （D）士1巧解 由条件知,奇函数f（x）在x=0处有定义,则有f（0）=0.所以sin 0-｜a｜=0,解得a=0,故选A.剖析 这是2006年江苏高考卷中的一道题,不少教学参考书中都给出上述巧解.这里运用了结论“若奇函数f（x）在x=0处有定义,则f（0）=0”,解题过程看上去非常简洁,似乎无懈可击.但解题需讲究条件转化的等价性,它的逆命题是“若函数f（x）满足f（0）=0,则f（x）为奇函数”.     

奇思妙解函数中的“恒成立”

例题show：已知函数f（x）=1＋x/1-xe^-ax.（Ⅰ）设a〉0，讨论以y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）〉1，求a的取值范围。     

例谈“恒成立不等式”问题

本文“恒成立不等式”问题的界定：形如，f（x,a）〉0（或≥0或〈0或≤0），当x∈区间D时恒成立，求a的范围的问题．所谓“x∈D时，f（x,a）〉0恒成立”，从集合的观点看，就是D是不等式f（x,a）〉0的解集的子集；从数形结合的观点看，就是当x∈D时，函数y=f（x,a）的图象在x轴上方；从函数观点看，就是x∈D时，函数y=f（x，a）的最小值大于0．     

“解答题”检测题

1.设函数f（x）=cos x/4（sin x/4+cos x/4）-1/2。（1）求函数y=f（x）取最值时x的取值集合;（2）在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足（2a-c）cosB=bcosC,求函数f（A）的取值范围。2.已知函数f（x）=ax+b（1+x²）^1/2（x≥0）的图像经过（0,1）,且f(3^1/2)=2-3^1/2。（1）求f（x）的值域;     

求“真”务“实”——由一道含量词的数学问题所引发的探究与思考

近期,笔者所在学校的高三综合测试中,选用了某兄弟学校的一道模拟试题：函数f（x）=1/2ax2-（1＋1/a2）x＋1/alnx,a∈R.（1）当a=-1时,求f（x）的单调区间;（2）当a＞0时,讨论f（x）的单调性;（3）g（x）=b2x2-3x＋1ln2,当a=2,1≤x≤3时,g（x）＞f（x）恒有解,求b的取值范围.客观的讲,这道题本身的难度不算太大,关键是第（3）小题如何进行等价转化.笔者在阅卷过程中发现学生主要有以下三种不同思路与水平的解法,其中的“对与错”、”真与假”值得玩味.     

这里带不带“等号”值得探讨

试题 已知函数f（x）=a-x^2/x＋lnx（a∈R,x∈[1/2,2]）.（Ⅰ）当a∈[1/2,1/4）时,求f（x）的最大值;（Ⅱ）设g（x）=[f（x）-lnx]·x^2,k是g（x）图象上不同两点的连线的斜率,是否存在实数a,使得k〈1恒成立？若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由．     

含参不等式“恒成立”与“能成立”问题剖析

平时我们遇到的含参不等式"恒成立"与"能成立"问题,大都满足函数存在最值的条件,也总结出了如下的常用结论。1.若函数f（x）存在最值,则有a>f（x）恒成立（?）af（x）_max;a≥f（x）恒成立（?）a≥f（x）_max;amin;a≤f（x）恒成立（?）a≤f（x）_min。2.若函数f（x）存在最值,则有a>f（x）能成立（?）a>f（x）_min;a≥f（x）能成立（?）a≥f（x）_min;a相似文献   

2010、2009年高考中的分段函数

1 分段函数的求值（域）问题 例1 （2010陕西文）已知函数f（x）＝{3x＋2,x〈1,x2＋ax,x≥1,若f（f（0））＝4a,则实数a＝__. 解析 f（0）=2,f（f（0））=f（2）=4＋2a=4a,所以a=2.     

抽象函数的周期性研究

关于抽象函数的周期性研究,多见于报刊,但都不够全面,现将常见的类型归结于下,供参考．1．若函数f（x）（x∈R）满足f（x＋a）=f（x＋b）,则以f（x）（x∈R）是周期为a-b的函数．证明 令x’=x＋b,贝x＋a=x＋b＋（a-b）=x′＋（a-b）,由已知条件f（x＋a）=f（x＋b）得f（x′）=f（x′＋（a-b））,即a-b为函数f（x）的一个周期．     

f（x）（x∈A）的值域为[m，M]与m≤f（x）≤M对x∈A恒成立不等价——剖析一道全国高考题的别解

（2008年全国高考全国卷Ⅱ文21） 设a∈R,函数f（x）=ax^3-3x^2． （1）若x=2是函数y=f（x）的极值点,求a的值; （2）若函数g（x）=f（x）＋f＇（x）,x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求a的取值范围．     

剖析三个“二次”的联系

三个＂二次＂即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式,它们是中学数学的重要内容,具有丰富的内涵和密切的联系,也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.一、重点知识归纳1.二次函数的表达式.设二次函数f（x）=ax^2＋bx＋c,则f（x）=a（x＋b/（2a））^2-（b^2）/（4a）＋c.     

数学解题要从重视数学逻辑开始

1 问题提出 例1（2008年高考数学全国卷文科第21题）设a∈R,函数f（x） =ax3-3x2.（Ⅰ）若x=2是函数y=f（x）的极值点,求a的值;（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）＋f＇（x）,x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求a的取值范围.     

三次函数图象的对称中心的一条性质

引理：（1）若函数y=f（x）在定义域D上可导,且a∈D,则函数y=f（x）的图象关于点（a,f（a））对称 函数y=f’（x）的图象关于直线x=a对称．     

超级难题的简单解法（三）

一、深挖细查,突破解题的瓶颈 例1已知函数y=f（x）有反函数,定义：若对给定的实数a（a≠0）,函数y=f（x＋a）与y=f^-1（x＋a）互为反函数,则称y=f（x）满足＂a和性质＂;若函数y=f（ax）与y=f-1（ax）互为反函数,则称y=f（x）满足“a积性质”．     

浅议一个恒等式的来龙去脉

我们经常遇到这种问题：若f（x）=1/4^x＋2（或f（x）=1/a^x＋√a），求f（-3）＋f（-1）＋f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）的值，解答这类问题是依据这类函数一个恒等式：若f（x）=1/4^x=2，则f（x）＋f（1-x）=1/2，若：f（x）=1/a^x＋√a，则f（x）＋f（1-x）==1/√a。     

函数解题“多视角”

例题show：设函数f（x）=sin（2x＋φ）（-π〈φ〈0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=π/8。（Ⅰ）求φ；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；（Ⅲ）证明直线5x-2y＋c=0与函数y=f（x）的图象不相切。     

一道周期函数例题的一般情形

例若a是非零常数,对于任意的x∈R,函数,f（x）满足,f（x＋a）=1/2＋√f（x）-（f（x））^2,求证：f（x）是周期函数．     

一道周期函数例题的一般情形

例若a是非零常数,对于任意的x∈R,函数,f（x）满足,f（x＋a）=1/2＋√f（x）-（f（x））^2,求证：f（x）是周期函数．